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初三上册数学直升班培优讲 义:第9讲 二次函数的线段最值和面积最值(教师版)

1、3 -9 -6 Ox y B A 第第 9 9 讲讲 二次函数的线段最值和面积最值二次函数的线段最值和面积最值 模块一:二次函数的线段最值模块一:二次函数的线段最值 1定点在同侧,需要对称转化为异侧; 2动线段端点不重合,需要平移转化到同一点 模块二:二次函数的面积最值模块二:二次函数的面积最值 1铅垂法: 1 2 S 水平宽 铅垂高 分三步走:分三步走: (1)过动点作铅垂线,交另外两个定点连成的直线于一点; (2)设出点坐标,表示线段长; (3)利用二次函数配方求最值 2切线法:直线与抛物线相切,即联立解析式使0= 模块一 二次函数的线段最值 如图,已知抛物线 2 4yaxxc经过点(0,

2、6)A和(3,9)B. (1)求出抛物线的解析式; (2)点( ,)P m m与点Q均在抛物线上(其中0m ) ,且这两点关于抛物线对称 轴对称,求m的值及点Q的坐标; 例题 1 A B A l P A B 1 l 2 l P 2 P 1 P O O Q 2 l 1 l A P A B B A l B PQ B B A A Q d P C BA O x y (3)在满足(2)的情况下,在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得QMA的周长最小 【解析】【解析】(1)由题意得, 抛物线的解析式为:; (2)由点( ,)P m m在抛物线上得, ,即, 或(舍去) , 6, 6P (), 点P,Q关于对称

3、轴2x 对称,( 2,6)Q ; (3)连接AQ,AP,直线AP与对称轴2x 相交于点M, 由于P,Q两点关于对称轴对称,由轴对称性质可知, 此时的交点M,能够使得QAM的周长最小. 设直线PA的解析式, 直线PA的解析式为:, 设点 (2, )Mn,则有 此时点(2,2)M能够使得AMQ的周长最小 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解线段最值的方法及基本的计算 如图,已知二次函数 2 1 (0) 2 yxbxc c 的图象与x轴的正半轴相交 于点A、B,与y轴相交于点C,且 2 OCOA OB (1)求c的值; (2)若ABC的面积为 3,求该二次函数的解析式; (3)设D是(2)

4、中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC上是 否存在一点P使PBD的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存 在,请说明理由 【解析】【解析】(1)令 0y ,则 2 1 0 2 xbxc , 即 2 220 xbxc,设 1 ( ,0)A x, 2 (,0)B x, 则 12 2xxb, 12 2xxc ,又(0, )Cc,且 2 OCOA OB,得 2 12 cx x, 6 9129 c ac 1 6 a c 2 46yxx 2 46mmm 2 560mm 1 6m 2 1m ykxb 6 66 b kb 2 6 k b 26yx 2262n 例题 2 2 2cc,又0c ,2c ;

5、(2) 21 11 | | 22 ABC SAB OCxxc 22 21121 2 ()4416xxxxx xb, 当3 ABC S 时, 2 4163b ,得 2 25 4 b ,又0b , 5 2 b ,该二次函数的解析式为 2 15 2 22 yxx , (3) 过B作BEAC并延长BE到F使EFBE, 连续DF, 交直线AC于点P, 则所作的点P满足PBD 的周长最小由题意得,(1,0)A,(4,0)B, 5 9 , 2 8 D , 1OA,4OB ,2OC , 90BEAAOC,BAEOAC, EABOAC, AEOC ABAC , 3 5 5 AE , 6 5 5 BE , 12

6、5 5 BF , 同理,由RtRtFHBAEB得, FHAE FBAB , BHBE FBAB , 12 5 FH , 24 5 HB , 244 4 55 OH , 4 12 , 55 F , DF的解析式为: 1723 4411 yx ,又AC的解析式为22yx, 由 1723 4411 22 yx yx ,得 12 7 10 7 x y , 点 12 10 , 77 P 为所求 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习线段最小值的难点计算 如图,在平面直角坐标系中,RtAOB的顶点坐标分别为( 2,0)A ,(0,0)O,(0,4)B,把AOB绕点O按顺 时针方向旋转90,得到CO

7、D (1)求C、D两点的坐标; (2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式; 例题 3 (3)在(2)中的抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方),且1EF ,使四边形ACEF的周长最小, 求出E、F两点的坐标 【解析】【解析】(1)由旋转的性质可知:2OCOA,4ODOB C点的坐标是(0, 2),D点的坐标是(4,0). (2)设所求抛物线的解析式为 2 yaxbxc. 由题意,得 420, 4, 1640. abc c abc ,解得 1 2 a ,1b ,4c . 所求抛物线的解析式为 2 1 4 2 yxx . (3)如图,只需求AFCE最短,抛物线 2 1 4 2 yxx

8、的对称轴为1x . 将点A向上平移至 1( 2,1) A ,则 1 AFAE,作 1 A关于对称轴1x 的对称点 2(4,1) A, 连接 2 A C, 2 A C与对称轴交于点E,E为所求. 可求得 2 A C的解析式为 1 2 4 yx . 当1x 时, 7 4 y . 点E的坐标为 7 1, 4 ,点F的坐标为 3 1, 4 , 此时周长的最小值为2 2171 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要练习线段最小值的难点变形 模块二 二次函数的面积最值 如图,已知抛物线经过点( 1,0)A 、(3 0)B ,、(0,3)C三点 (1)求抛物线的解析式 y x OD C B A F E

9、A2A1 y x OD C B A 例题 4 (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合) ,过M作MN/y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m 的代数式表示MN的长 (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说 明理由 【解析】【解析】(1)设抛物线的解析式为:(1)(3)ya xx,则: (0 1)(03)3a,1a ; 抛物线的解析式: 2 (1)(3)23yxxxx (2)设直线BC的解析式为:,则有: ,解得; 故直线BC的解析式: 则( ,3)M mm、 2 ( ,23)N mmm; 故 22 23 (3)3 (03)

10、Nmmmmmm - (3)如图; 11 () 22 BNCMNB SSMN ODDBMN OB , 2 2 13327 (3 ) 3(03) 2228 BNC Smmmm , 当时,的面积最大,最大值为 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解铅垂线法,三步走 如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,6OB , 1 tan 3 ABO,将此三角形绕原点O逆 时针旋转90,得到DOC,抛物线 2 yaxbxc经过点A、B、C (1)求抛物线的解析式; (2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,是否存在一点P,使PCD得面积最大?若存在, 求出PCD的面积的最大值

11、;若不存在,请说明理由 ykxb 30 3 kb b 1 3 k b 3yx 3 2 m BNC 27 8 例题 5 x y N M O C BA 【解析】【解析】(1)在RtAOB中, 1 tan 3 OA ABO OB , 1 2 3 OAOB, 由题意得,90BOCAOD ,6OCOB,2ODOA, A、B、C的坐标分别为(2,0),0 6(, ),( 6,0) 设抛物线解析式为(6)(2)ya xx, 6 ( 2)6a ,解得 1 2 a , 抛物线解析式为 1 (6)(2) 2 yxx ,即 2 1 26 2 yxx ; (2)设直线CD的解析式为ykxb, 由题意得 60 2 kb

12、 b ,解得 1 3 2 k b ,直线CD的解析式为 1 2 3 yx, 过点P作PM/y轴交CD于M,如图 2,则 2 1 ,26 2 P ttt , 1 ,2 3 M tt , 22 1117 2624 2323 PMttttt , PCDPCNPDN SSS , 2 2 1337121 6712 22236 PCD SPMttt , 60t ,且 3 2 2 a ,当 7 3 t 时, PCD S有最大值,最大值为121 6 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要让孩子们自己练习下,铅垂线的方法求面积 如图, 抛物线 2 3(0)yaxaxc a与y轴交于C点, 与x轴交于A、B两

13、点,A点在B点左侧 点B的坐标为(1,0), 3OCBO (1)求抛物线的解析式; (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值; 【解析】【解析】(1)(1,0)B,1OB ;3OCBO,(0,3)C; 2 3yaxaxc过(1,0)B、03C(, ), 3 30 c aac ;解得 3 4 3 a c ,抛物线的解析式为: 2 39 3 44 yxx, (2)过点D作DM/y轴分别交线段AC和x轴于点M、N, 在 2 39 3 44 yxx中,令0y ,得方程 2 39 30 44 xx, 解这个方程,得 1 4x , 2 1x ,( 4,0)A , 设直线AC的

14、解析式为ykxb, 04 3 kb b ,解得 3 4 3 k b , AC的解析式为: 3 3 4 yx , 15115 ()2 222 ABCADCABCD SSSDM ANONDM 四形边 , 设 2 39 ,3 44 D xxx , 3 ,3 4 Mxx , 22 3393 33(2)3 4444 DMxxxx , 当2x 时,DM有最大值 3, 例题 6 此时四边形ABCD面积有最大值 27 2 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题可以讲解另外一种方法,切线法,让孩子们灵活运用 模块一 二次函数的线段最值 已知抛物线 2 1yaxbx经过点(1,3)A和点(2,1)B (1)求此抛

15、物线解析式; (2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点,求四边形ABCD周长的最小值 【解析】【解析】(1)依题意: 31 1421. ab ab , ,解得 2 4. a b , 抛物线的解析式为 2 241yxx (2)点(1,3)A关于y轴的对称点A的坐标是( 1,3), 点(2,1)B关于x轴的对称点B的坐标是(2,1). 由对称性可知 ABBCCDDAABBCCDDAABA B, 由勾股定理可求5AB ,5A B 所以,四边形ABCD周长的最小值是55ABA B 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上, 2OAAB,3OC ,

16、过点B作BDBC,交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别 交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式; (2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长; (3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方) ,且1PQ ,要使四边形BCPQ的周长最小,求出 P、Q两点的坐标 演练 1 演练 2 【解析】【解析】(1)由题意得(0,2)A、(2,2)B、(3,0)C. 设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为 2 2yaxbx. 则 4220 9320 ab ab ,解得 2 3 4 3 a b , 2 24 2 33 yxx (2

17、)由 22 2428 2(1) 3333 yxxx 顶点坐标为 8 1, 3 G 过G作GHAB,垂足为H 则1AHBH, 82 2 33 GH EAAB,GHAB, EA/GH, GH是BEA的中位线 4 2 3 EAGH 过B作BMOC,垂足为M则MBOAAB 90EBFABM, 90EBAFBMABF RtRtEBAFBM 4 3 FMEA 321CMOCOM, 47 1 33 CFFMCM (3)要使四边形BCPQ的周长最小,可将点C向上 FC B A D E O x y H G M F C B A D E O x y 平移一个单位,再做关于对称轴对称的对称点 1 C, 得点 1 C的

18、坐标为( 1,1)可求出直线 1 BC的解析式为 14 33 yx 直线 14 33 yx与对称轴1x 的交点即为点Q,坐标为 5 1, 3 点P的坐标为 2 1, 3 模块二 二次函数的面积最值 已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交于A,B两点,交y轴于C点,已知抛物线的对称轴为1x ,点(3,0)B,点 03C(, ),D为抛物线的顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)在x轴下方且在抛物线上有一动点F,求四边形OBFC的面积最大值 【解析】【解析】(1)由A、B关于对称轴对称,对称轴为1x ,点(3,0)B,得( 1,0)A 将A、B、C点的坐标代入函数解析式,得 0 930 3 abc abc c ,解得 1 2 3 a b c 故抛物线的解析式为 2 23yxx; (3)如图, 过F作FHx轴于H点,交BC于G点 设 2 ( ,23)F m mm,G点坐标为( ,3)m m, 22 3 (23)3FGmmmmm OCBBCFOBFC SSS 四形边 22 1191 3 3(3 ) 33 3(3 ) 3 2222 mmmm 演练 3 2 9339 2224 m , 当 3 2 m 时, 93963 2248 S 最大