1、第第 5 5 讲讲 一元二次方程的构造及应用一元二次方程的构造及应用 模块一模块一 利用根的定义构造方程利用根的定义构造方程 如果m、n分别是一元二次方程()axbxca 的两根，那么有ambmc ，anbnc ，相 反的，如果已知m、n分别满足ambmc ，anbnc ，且a ，那就可以构造一个一元二次方程 ()axbxca 使得m、n是它的解 模块二模块二 利用根系关系构造方程利用根系关系构造方程 如果m、n分别是一元二次方程()axbxca 的两根，由韦达定理， b mn a ， c mn a ，相反的， 如果已知m、n分别满足 b mn a ， c mn a ， 且a ， 那就可以构造
2、一个一元二次方程使得m、n是它的两根 这里主要提到的是同形构造及和积构造 模块一 利用根的定义构造方程 （1）已知a，b是不相等的实数，且aa ，bb ，求a bab 的值 （2）如果实数a，b分别满足aa ，bb ，求 ab 的值 【解析】【解析】（1）由根的定义，知a，b为一元二次方程xx 的两个根 由韦达定理知ab ，ab ，于是()a babab ab （2）由题意知：a，b为方程xx 的两个根，且a ，b ， 解方程xx ，得：x，x， 当ab时，有ab ，ab ， ab abab ； 当ab时，方程的根为x ，x 当ab 时， aba ； 当ab 时， aba 例题 1 综上所述，
3、 ab 或 或 【点评】【点评】通过这道题，让孩子们深刻理解如何利用根的定义去构造方程，而且要理解这两道常考题型的区别， 抓住题目给出的条件，根据条件去决定这道题需不需要讨论通过这道题，也加深孩子们对于分类讨 论思想的理解 已知实数ab，且满足()()aa ，()()bb ，求ab； ab ； ba ba ab 【解析】【解析】由根定义，a，b是方程()()xx 的两个根， 整理得a，b是一元二次方程xx 的两个根， 由根系关系，ab ，ab ， 则 ab abab ， 由可知ab ，ab ，于是a ，b ， ()()b ba ababaababab baba abababababab 【点评
4、】【点评】这道题是一道特别经典的题，老师可以大概提一下把（a+1）和（b+1）看做整体去构造也是可以的， 但是相对麻烦并且老师还可以结合例 1 去掉ab，那应该要分类讨论，带着学生们在做一遍 （1）已知pp ，qq，且pq ，求p q 的值 （2）实数s，t满足ss ，tt 且st ，求 sts t 的值 （3）实数p，q满足pp ，qq 且pq ，求p q 的值 【解析】【解析】（1）由pp ，qq有p ，q ，又pq ，所以p q ， 则qq可变形为 qq 由pp 及p q ， 可知p与 q 是方程xx 的根，因此p q 例题 2 例题 3 （2）由tt 可知，t ，故 tt 又ss ，s
5、ts t ，故s、 t 是方程xx 的两根，从而可知s t ， s t ，故 stss s ttt 【注意】注意】其实构造成xx 也可，不过此时两根变为 s 和t，由根系关系可知t s ， t s ，故 t sts s t t s （相对麻烦些） （3）由()qqq 得： qq g且pp ，因为pq ，即p q ，故p、 q 是方程xx 的两个不相等的实数根，由韦达定理： p q ，p q ；所以 p pp qqq 【点评】【点评】锻炼分析能力和同形构造能力：对比两个方程最简形式的系数能发现什么（从条件出发怎么变成同 形）？怎么出现一个字母的倒数（从结果出发） 模块二 利用根系关系构造方程 已
6、知ABC的三边a，b，c满足：bc，bcaa ，试确定ABC的形状 【解析】【解析】bc，bcaa ， b，c是关于x的方程()xxaa 有两个实数根 ()()aa ，整理得：() a 又() a ，a 此时，方程的两根相等， 即：bc ABC是等腰三角形 例题 4 若一直角三角形两直角边的长a、b()ab均为整数，且满足 abm abm 试求这个直角三角形的三边长 【解析】【解析】因为a、b为正整数，所以，m也为正整数且 +abm abm ， 从而，a、b是关于x的方程()xmxm 的两个不等整数解 所以()mmmm 必为完全平方数 不妨设mmk ，k为正整数，即mmk 由此知关于m的方程应
7、有整数解，则()()()Dkk 也必为完全平方数于是 k为完全平方数 令()knk ，其中n为正整数则()()nkkn nk 显然nnk又 ，于是，分三种情况讨论： n 时，k ，无整数解； n 时，k ，解得k ，m ，直角三角形的三边长分别为 5，12，13； n 时，k ，解得k ，m ，直角三角形三边长分别为 6，8，10 综上，直角三角形的三边长分别为 5，12，13 或 6，8，10 【点评】这道题当然可以直接利用判别式为完全平方数去进行配方去做，然后利用平方差公式去做，根据两数 之和和两数之差同奇偶去把这道题给解决 已知x、y均为实数，且满足xyxy，x yxy 求： （1）xy
8、 ； （2）x yx yxy ； （3）xx yx yxyy 【解析】【解析】由已知xyxy，x yxy , 所以xy和xy是方程tt 的两个实数根 解方程得t，t即xy ，xy；或者xy ，xy i）当xy ，xy时，x、y是方程uu 的两个根 因为() ，所以方程有实数根 （1）()xyxyxy （2）()()x yx yxyxy xyxy 例题 5 例题 6 （3）xx yx yxyy ()xyxyx y ii）当xy ，xy时，x、y是方程vv 的两个根 因为() ，所以方程没有实数根 综上可知 （1）xy （2）x yx yxy （3）xx yx yxyy 【点评】【点评】这道题主要
9、锻炼学生的双重构造方程的能力，属于较难的代数的题，考察也比较综合，联系到恒等变 形，及知二推二 1若 2 210aa ， 2 210bb ，则 ab ba 的值为_或_（按照从大到小填写） 2已知mm ， nn ，且mn，则 mn 的值为_ 【解析】【解析】12 或； 2由mm 可知，m ，故 mm ，即 mm ， 又 nn ，mn，故 m 、 n 是方程x x 的两根； 由根系关系可知， mn 3若1ab ，且 2 5200190aa， 2 9200150bb，则 1aba b _ （填小数形式） 演练 1 演练 2 【解析】【解析】由 2 9200150bb得， 2 11 5200190
10、bb ，又 2 5200190aa， 所以a， 1 b 可以看作是方程 2 5200190 xx的两个根 由韦达定理，得： 19 5 a a bb ， 12001 5 a b ；故 11992 398.4 5 aba b 4已知关于x的方程xbxb 有两个相等的实数根，y、y是关于y的方程()yb y 的两 个根，求以y，y为根、二次项系数为 2 的一元二次方程 【解析】【解析】由求根公式知，()bb ， 解得b ，b， 当b 时， 关于y的方程无解； 当b 时， 方程yy ，解得y ，y，故y ，y，故所求方程为()()yy ，即 yy 5已知：a，b，c三数满足方程组 ab abcc ，试
11、求方程bxcxa 的根 【解析】【解析】由方程组得：a，b是方程xxcc 的两根， ()c ，c ，ab ， 所以原方程为xx ， x ，x 6已知x、y是正整数，并且xyxy，x yxy ，则xy _ 【解析】【解析】由于()xyxy，)xyxy ， 则xy与()xy为方程tt 的两个根， 得到t， t， 即xy ，xy ； 演练 3 演练 4 演练 5 或者xy ，xy ； 的时候x、y为方程uu 的根， ，不是完全平方数，x、y不可能为题目 中要求的正整数，舍； 的时候x、y为方程uu 的根，u ，u 故()xyxyxy 大家都知道一元二次方程，由韦达定理根与系数关系知道：， 对于一个一元三次方程，根与系数也有同样的关系：， ，同学们自己证明下，看看自己能证明出来吗? 知 识 链 接