1、第第 4 4 讲讲 一元二次方程的特殊根问题一元二次方程的特殊根问题 模块一模块一 一元二次方程的公共根一元二次方程的公共根 1 1一元二次方程公共根问题的一般解法：一元二次方程公共根问题的一般解法： （1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个参数的一 个方程，解得参数 （2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和所有方 程的根 模块二模块二 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 1 1判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路： 判断整系数一元二次方程axbxc
2、是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、判别式与根 系关系起十分重要的作用 2 2解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法 （1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质讨论当 根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑能因式分解优先考虑） （2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式必须是完全平方式，且，利 用这条性质可以确定整参数整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数 （3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母得 出不定方程来
3、求解，或利用“和与积必须是整数” ，结合整除性分析求解但后者必须进行检验所求的参数值要 满足判别式 （一般用于实参数实参数） 模块一 一元二次方程的公共根 已知关于x的方程xkx 的一个解与方程 xx x 的解相同 （1）求k的值 （2）求方程xkx 的另一个解 【解析】【解析】（1）由题意可以得到 xx x ， 即xx ，解得x ，x ， 例题 1 经检验x ，x 都是方程 xx x 的解 当两方程相同的解为x 时，则得k ，解得k ； 当两方程相同的解为x 时，则得k ，解得k 综上所述k 或者k （2）由（1）得x 或者x 是方程xkx 的一个解， 由韦达定理得方程的另外一个解为x 或x
4、 ， 【点评】【点评】这是一道中考题，难度偏基础，主要是把我们前面的方程综合起来的这样一道公共解的题目，还有就 是考查孩子们对于多种情况一一进行讨论的思想，也就是强调数学学习的严谨性，希望同学们学会解 决这种基础题的方法 （1） 求k的值， 使得关于x的一元二次方程xkx ，()xxk 有相同的根， 并求两个方程的根 （2）已知 1 x为方程xkx 的根，x为方程xkx 的根，且xx ，求k的值 【解析】【解析】（1）不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有 aka ， ()aak 有，()kaak ，即()()ka ， k ，或a 当k 时，两个方程都变为xx ， 两个方程有两个相同的
5、根 , x ，没有相异的根； 当a 时，代入或都有k ， 此时两个方程变为x，xx 解这两个方程，x的根为x，x ；xx 的根为x，x x 为两个方程的相同的根， 综上x的根为x，x ；xx 的根为x，x （2）由已知可知xkx 和xkx 又xx ，则xkx ，即xkx ， 例题 2 消去二次项可解得kx 代入xkx ，整理得x ， 此时k ，考虑两个方程的判别式：k ，k ， k ，k 满足k ， k 【点评】【点评】在这个公共解中，对于这种两个方程均含有参数值k，通常情况下可以分三步：1 设 2 代 3 消这种问 题考察起来通常较难所以对于这种含参的题目要敢于去想，敢于去做 模块二 一元二
6、次方程的整数根 （南充市外地生招生考试）关于x的一元二次方程为()mxmxm ，m为何整数时，此一元二次方 程的两个根都为整数？ 【解析】【解析】根据题意得m ，()mxmxm ，即()()()mxmx m x m ，x由题意知 m x mm ，方程的两个根都是整数， m 是为整数，m 或，m 或 0 或 3 或1 【点评】【点评】这道题主要锻炼孩子们利用因式分解法讨论整数根问题的思维，但是这种题，有的时候要看清是否为 题目是否给出一元二次方程的条件，如果没有，就需要讨论，而这道题也可以利用求根公式求出解 已知关于x的方程()()()kk xk x 的解都是整数，求整数k的值 【解析】【解析】
7、当k 时，原方程化为x ，解得x ，故当k 时，原方程的解都是整数 当k 时，原方程化为x ，解得x ，故当k 时，原方程的解都是整数 当k 或k 时，原方程可化为()()k xk x ， 例题 3 例题 4 x k ，x k kQ为整数，且x、x均为整数， k ，得, , , , , ,k ， k ，得, , ,k 故当k的值为 4，6，8，12 时，原方程的根都为整数 【点评】【点评】这个题由于含有参数，因此运用了因式分解的方法，并且都进行了讨论 【注意】【注意】如果含参方程没有告诉是什么类型方程，一定要记得分类讨论 当m为何整数时，方程xmxm 有整数解 【解析】【解析】解法 1：将方程
8、xmxm 左边因式分解可得()()xm xm ， 故 xm xm ，或 xm xm ，或 xm xm ，或 xm xm ， 解得 x m ， x m ， x m ， x m 故m 或m 解法 2：将方程xmxm 整理成标准形式：xmxm ， 由原方程有整数解，首先必须满足()()mmm 为一个完全平方数，不妨设 ()n n ， 则有()()mnmnmn ， 又mn、mn的奇偶性相同，且mnmn （由于n ） 则有 mn mn ， mn mn ， mn mn ， mn mn ， 解得 m n ， m n ， m n ， m n 代入 mmn 中检验可知，均满足题意故m 或m 【点评】【点评】这道
9、题首先可以使用因式分解来做，但是这里主要提出用判别式法主要提出用判别式法去求整数解问题，让孩子们感受下 不同方法间的不同技巧 例题 5 例题 6 （全国初中联赛）已知方程xxnn 的根都是整数，求整数n的值 【解析】【解析】由题方程xxnn 的根都是整数，则)（- nn （）nn 为一个完全 平方数，所以nn 为一个完全平方数，不妨设=nnk ()k ， （这种方法在处理完全 平方数的问题中很常用）配方得到()nk ，即()()nknk ，考虑到k是非负的，所 以nk ，11，对应的nk ，5，得到n ，0， 【点评】【点评】这道题主要锻炼利用判别式法求整数解问题，设“=k（k为非负整数） ”
10、 ，再利用平方差求解；关于 这道题，老师可以总结ab和ab是同奇偶的 （1）当m是什么整数时，关于x的方程()xmxm 的两根都是整数? （2）已知关于x的方程()xaxa 的两根都是整数，求a的值 【解析】【解析】（1）设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得： xxm x xm ， 从上面两式中消去m，可得x xxx ， ()()()xx 则有 x x 或 x x ， 解得： x x 或 x x ， 由此xx 或 0，所以mx x 或 7 （2）设两个根为xx ，由韦达定理得 xxa x xa 从上面两式中消去a得x xxx ，所以()()xx ， 所以 x x 或 x x 即 x x
11、或 x x 所以ax x 或 16 【点评】【点评】这道题主要用韦达定理去解决整数根问题，本质是得到关于两根的不定方程这道题也可利用判别式 的方法去解，但是在用判别式的方法解之前，需要先说明a、m为整数在此处老师们可以引入： ()()ababab，()()ababab ； 对于实数参问题可以考虑使用韦达定理去消参 对于实数参问题可以考虑使用韦达定理去消参 例题 7 进行求解进行求解 1一元二次方程xx 的某个根，也是一元二次方程()xkx 的根，则k的值为（ ） A B Ck 或 Dk 或 【解析】【解析】答案：D 由题意x x ，解得x ，x 当x 是方程 ()xkx 的根时，解得k ， 当
12、x 是方程 ()xkx 的根时，解得k ，综上，k 或 2已知m为非负实数，当m _时，关于x的方程xmx 与xxm 仅有一个相同的 实根 【解析】【解析】设相同的根为，则由题意我们有 m m 所以mm 即()mm （1）当m 时，代入原方程求得m ，方程为x与xx ，满足题意； （2）m 时，代入原方程，两方程均为xx ，解得x ，即它们的两根都相同，不合 题意，舍去，故只有当m 时，两方程仅有一个相同的实根 3方程xkx 和方程xkx 有一个根互为倒数，则k的值为_ 【解析】【解析】由已知可知xkx 和方程xkx 必有一个公共根消去二次项可解得kx 代入 演练 1 演练 2 演练 3 xk
13、x ，整理得x ，即k 时原方程有一根互为倒数 4关于x的二次方程()()kkxkkxk 的两根都是整数求满足条件的所有整数k的值 【解析】【解析】由()()kkxkkxk 可知，()()()()kxkkxk ， 故 k x k ， k x k （由题意可知，kkk 且k ） ， k x kk ， k x kk ， 故k ，k ，同时满足两式的k值为 3 或 6，故k 或k 5当m是何整数时，关于x的一元二次方程mxx 与xmxmm 的根都是整数 【解析】【解析】由题意可知，方程mxx 的判别式()()mmm ， 方程xmxmm 的判别式为()()()mmmm ， 故m ， 又m为整数，m ，
14、 故m 或m ， 当m 时， 题干中的两个方程分别为xx 、 xx ，满足题意；当m 时，题干中的两个方程分别为xx 、xx ，不 合题意故m 6已知关于x的方程()xaxa （a ）的两根都是整数，求a的值 【解析】【解析】设两个根为xx ，由韦达定理得 xxa x xa 从上面两式中消去参数a得x xxx ，所以 ()()xx ，所以 x x 或 x x 即 6 2 x x 或 0 x x 所以12ax x 或 0，故3a 或 0 演练 4 演练 5 演练 6 很久以前， 人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题。然而对一元三次方程的求解却使众多的 数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。 1494 年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论。他认为在当时的数 学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。 费罗在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在 1500 年左右，得到了这样一类缺项三次方程的求 解公式。在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。 塔塔利亚，原名丰塔纳，1534 年他宣称得到了形如这类没有一次项的三次方程的解的方法， 后来更加热心于研究一般三次方程的解法。到 1541 年，终于完全解决了三次方程的求解问题。 知 识 链 接