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辽宁省大连市2021年中考数学真题试卷(含答案解析)

1、2021 年辽宁省大连市中考数学试卷年辽宁省大连市中考数学试卷 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 个小题,每题个小题,每题 3 分,共分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确) 1 (3 分)5 的相反数是( ) A5 B1 5 C 1 5 D5 2 (3 分)某几何体的展开图如图所示,该几何体是( ) A B C D 3 (3 分)2021 年党中央首次颁发“光荣在党 50 年”纪念章,约 7100000 名党员获此纪念章数 7100000 用科学记数法表示为( ) A71105 B7.1105 C7.1106 D

2、0.71107 4 (3 分)如图,ABCD,CEAD,垂足为 E,若A40,则C 的度数为( ) A40 B50 C60 D90 5 (3 分)下列运算正确的是( ) A (a2)3a8 Ba2a3a5 C (3a)26a2 D2ab2+3ab25a2b4 6 (3 分)某校健美操队共有 10 名队员,统计队员的年龄情况,结果如下:13 岁 3 人,14 岁 5 人,15 岁 2 人该健美操队队员的平均年龄为( ) A14.2 岁 B14.1 岁 C13.9 岁 D13.7 岁 7 (3 分)下列计算正确的是( ) A (3)23 B12 =23 C1 3 =1 D (2 +1) (2 1)

3、3 8 (3 分) “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加,2018 年 平均亩产量约 500 公斤,2020 年平均亩产量约 800 公斤若设平均亩产量的年平均增长率为 x,根据题 意,可列方程为( ) A500(1+x)800 B500(1+2x)800 C500(1+x2)800 D500(1+x)2800 9 (3 分)如图,在ABC 中,ACB90,BAC,将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC, 点 B 的对应点 B在边 AC 上(不与点 A,C 重合) ,则AAB的度数为( ) A B45 C45 D90 10 (3 分)下列说法正确

4、的是( ) 反比例函数 y= 2 中自变量 x 的取值范围是 x0; 点 P(3,2)在反比例函数 y= 6 的图象上; 反比例函数 y= 3 的图象,在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大 A B C D 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11 (3 分)不等式 3xx+6 的解集是 12 (3 分)在平面直角坐标系中,将点 P(2,3)向右平移 4 个单位长度,得到点 P,则点 P的坐标 是 13 (3 分)一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2随机摸取一个小球后, 放回并摇匀,再随机摸取一个小

5、球,两次取出的小球标号的和等于 4 的概率为 14 (3 分)我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗: “林下牧童闹如簇,不知人数不知竹每 人六竿多十四,每人八竿恰齐足 ”其大意是: “牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍,不知有多少人和竹 竿 每人 6 竿, 多 14 竿; 每人 8 竿, 恰好用完 ” 若设有牧童 x 人, 根据题意, 可列方程为 15 (3 分)如图,在菱形 ABCD 中,BAD60,点 E 在边 BC 上,将ABE 沿直线 AE 翻折 180,得 到ABE,点 B 的对应点是点 B若 ABBD,BE2,则 BB的长是 16 (3 分)如图,在正方形 ABCD 中,AB2,

6、点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 的延长线上,AFEF,设 BEx,AFy,当 0 x2 时,y 关于 x 的函数解析式为 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 4 小题,其中小题,其中 17、19、20 题各题各 9 分,分,18 题题 12 分,共分,共 39 分)分) 17 (9 分)计算::3 ;3 2:3 2:6:9 3 ;3 18 (12 分)某校计划举办以“庆祝建党百年,传承红色基因”为主题的系列活动,活动分为红歌演唱、诗 歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛,要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动为了解学生参加活 动的情况,随机选取该学校部分学生进行调查,以下是根据调查结

7、果绘制的统计图表的一部分 活动项目 频数(人) 频率 红歌演唱 10 0.2 诗歌朗诵 爱国征文 党史知识竞赛 0.1 据以上信息,回答下列问题: (1)被调查的学生中,参加红歌演唱活动的学生人数为 人,参加爱国征文活动的学生人数占被 调查学生总人数的百分比为 %; (2)本次调查的样本容量为 ,样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为 人; (3)若该校共有 800 名学生,请根据调查结果,估计参加诗歌朗诵活动的学生人数 19 (9 分)如图,点 A,D,B,E 在一条直线上,ADBE,ACDF,ACDF求证:BCEF 20 (9 分)某校为实现垃圾分类投放,准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购

8、买 2 个大垃圾桶和 4 个小 垃圾桶共需 600 元;购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1560 元 (1)求大、小两种垃圾桶的单价; (2)该校购买 8 个大垃圾桶和 24 个小垃圾桶共需多少元? 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 3 小题,其中小题,其中 21 题题 9 分,分,22、23 题各题各 10 分,共分,共 29 分分. 21 (9 分)如图,建筑物 BC 上有一旗杆 AB,从与 BC 相距 20m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 57, 观测旗杆底部 B 的仰角为 50,求旗杆 AB 的高度(结果取整数) (参考数据: sin500.766, cos50

9、0.643, tan501.192; sin570.839, cos570.545, tan57 1.540) 22 (10 分)如图 1,ABC 内接于O,直线 MN 与O 相切于点 D,OD 与 BC 相交于点 E,BCMN (1)求证:BACDOC; (2)如图 2,若 AC 是O 的直径,E 是 OD 的中点,O 的半径为 4,求 AE 的长 23 (10 分)某电商销售某种商品一段时间后,发现该商品每天的销售量 y(单位:千克)和每千克的售价 x(单位:元)满足一次函数关系(如图所示) ,其中 50 x80 (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若该种商品的成本为每千克 4

10、0 元, 该电商如何定价才能使每天获得的利润最大?最大利润是多少? 五、解答题(五、解答题(24、25 小题小题 11 分,分,26 小题小题 12 分,共分,共 34 分)分) 24 (11 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,AB3,BC4,P、Q 均从点 B 出发,点 P 以 2 个单位每秒的 速度沿 BAAC 的方向运动,点 Q 以 1 个单位每秒的速度沿 BCCD 运动,设运动时间为 t 秒 (1)求 AC 的长; (2)若 SBPQS,求 S 关于 t 的解析式 25 (11 分)已知 ABBD,AEEF,ABDAEF (1)找出与DBF 相等的角并证明; (2)求证:BFDAFB

11、; (3)AFkDF,EDF+MDF180,求 26 (12 分)已知函数 y= 1 2 2+ 1 2 + () 2 + ( ) ,记该函数图象为 G (1)当 m2 时, 已知 M(4,n)在该函数图象上,求 n 的值; 当 0 x2 时,求函数 G 的最大值 (2)当 m0 时,作直线 x= 1 2m 与 x 轴交于点 P,与函数 G 交于点 Q,若POQ45时,求 m 的值; (3)当 m3 时,设图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交与点 B,过点 B 作 BCBA 交直线 xm 于点 C,设 点 A 的横坐标为 a,C 点的纵坐标为 c,若 a3c,求 m 的值 2021 年辽宁省大

12、连市中考数学试卷年辽宁省大连市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 10 个小题,每题个小题,每题 3 分,共分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确) 1 (3 分)5 的相反数是( ) A5 B1 5 C 1 5 D5 【分析】根据相反数的定义直接求得结果 【解答】解:5 的相反数是 5 故选:A 2 (3 分)某几何体的展开图如图所示,该几何体是( ) A B C D 【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 【解答】解:扇形和圆折叠后,能围成的几何体

13、是圆锥 故选:D 3 (3 分)2021 年党中央首次颁发“光荣在党 50 年”纪念章,约 7100000 名党员获此纪念章数 7100000 用科学记数法表示为( ) A71105 B7.1105 C7.1106 D0.71107 【分析】根据科学记数法的定义即可判断,将一个较大或较小的数字写成 a10n的形式,其中 1a10 且 n 为整数 【解答】解:根据科学记数法的定义,将一个较大或较小的数字写成 a10n的形式,其中 1a10 且 n 为整数 71000007.1106 故选:C 4 (3 分)如图,ABCD,CEAD,垂足为 E,若A40,则C 的度数为( ) A40 B50 C6

14、0 D90 【分析】根据平行线的性质,可得AD40根据垂直的定义,得CED90再根据三角形 内角和定理,可求出C 的度数 【解答】解:ABCD,A40, DA40 CEAD, CED90 又CED+C+D180, C180CEDD180904050 故选:B 5 (3 分)下列运算正确的是( ) A (a2)3a8 Ba2a3a5 C (3a)26a2 D2ab2+3ab25a2b4 【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式子的值,再判断 即可 【解答】解:选项 A、 (a2)3a2 3a6,故本选项不符合题意; 选项 B、a2a3a2+3a5,故本选项符合

15、题意; 选项 C、 (3a)29a2,故本选项不符合题意; 选项 D、2ab2+3ab25ab2,故本选项不符合题意; 故选:B 6 (3 分)某校健美操队共有 10 名队员,统计队员的年龄情况,结果如下:13 岁 3 人,14 岁 5 人,15 岁 2 人该健美操队队员的平均年龄为( ) A14.2 岁 B14.1 岁 C13.9 岁 D13.7 岁 【分析】直接利用加权平均数的计算公式计算得出答案 【解答】解:13 岁 3 人,14 岁 5 人,15 岁 2 人, 该健美操队队员的平均年龄为:133:145:152 10 =13.9(岁) 故选:C 7 (3 分)下列计算正确的是( ) A

16、 (3)23 B12 =23 C1 3 =1 D (2 +1) (2 1)3 【分析】根据二次根式的性质,立方根的概念,平方差公式进行化简计算,从而作出判断 【解答】解:A、 (3)23,故此选项不符合题意; B、12 = 23,正确,故此选项符合题意; C、1 3 = 1,故此选项不符合题意; D、 (2 +1) (2 1)211,故此选项不符合题意, 故选:B 8 (3 分) “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加,2018 年 平均亩产量约 500 公斤,2020 年平均亩产量约 800 公斤若设平均亩产量的年平均增长率为 x,根据题 意,可列方程为

17、( ) A500(1+x)800 B500(1+2x)800 C500(1+x2)800 D500(1+x)2800 【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为 x,根据“2018 年平均亩产(1+增长率)22020 年平均亩 产”即可列出关于 x 的一元二次方程,解方程即可得出结论 【解答】解:水稻亩产量的年平均增长率为 x, 根据题意得:500(1+x)2800, 故选:D 9 (3 分)如图,在ABC 中,ACB90,BAC,将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC, 点 B 的对应点 B在边 AC 上(不与点 A,C 重合) ,则AAB的度数为( ) A B45 C45 D90 【分析

18、】由旋转知 ACAC,BACCAB,ACA90,从而得出ACA是等腰直角三角形,即 可解决问题 【解答】解:将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC, ACAC,BACCAB,ACA90, ACA是等腰直角三角形, CAA45, BAC, CAB, AAB45 故选:C 10 (3 分)下列说法正确的是( ) 反比例函数 y= 2 中自变量 x 的取值范围是 x0; 点 P(3,2)在反比例函数 y= 6 的图象上; 反比例函数 y= 3 的图象,在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大 A B C D 【分析】根据反比例函数的性质即可得出结果 【解答】解:反比例函数 y= 2 中自变量

19、 x 的取值范围是 x0,故说法正确; 因为316,故说法正确; 因为 k30,反比例函数 y= 3 的图象,在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小,故说法错误; 故选:A 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分)分) 11 (3 分)不等式 3xx+6 的解集是 x3 【分析】移项,合并同类项,系数化成 1 即可 【解答】解:3xx+6, 移项,得 3xx6, 合并同类项,得 2x6, 系数化成 1,得 x3, 故答案为:x3 12 (3 分)在平面直角坐标系中,将点 P(2,3)向右平移 4 个单位长度,得到点 P,则点 P的坐标

20、是 (2,3) 【分析】利用“横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加,下移减”的规律求解可得 【解答】解:点 P(2,3)向右平移 4 个单位长度后得到点 P的坐标为(2+4,3) ,即(2,3) , 故答案为: (2,3) 13 (3 分)一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2随机摸取一个小球后, 放回并摇匀,再随机摸取一个小球,两次取出的小球标号的和等于 4 的概率为 1 4 【分析】画树状图,共有 4 种等可能的结果,两次取出的小球标号的和等于 4 的结果有 1 种,再由概率 公式求解即可 【解答】解:画树状图如图: 共有 4 种等可能的结果,两次取出的小球标号

21、的和等于 4 的结果有 1 种, 两次取出的小球标号的和等于 4 的概率为1 4, 故答案为:1 4 14 (3 分)我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗: “林下牧童闹如簇,不知人数不知竹每 人六竿多十四,每人八竿恰齐足 ”其大意是: “牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍,不知有多少人和竹 竿每人 6 竿,多 14 竿;每人 8 竿,恰好用完 ”若设有牧童 x 人,根据题意,可列方程为 6x+14 8x 【分析】设有牧童 x 人,根据“每人 6 竿,多 14 竿;每人 8 竿,恰好用完” ,结合竹竿的数量不变,即 可得出关于 x 的一元一次方程,此题得解 【解答】解:设有牧童 x 人, 依

22、题意得:6x+148x 故答案为:6x+148x 15 (3 分)如图,在菱形 ABCD 中,BAD60,点 E 在边 BC 上,将ABE 沿直线 AE 翻折 180,得 到ABE,点 B 的对应点是点 B若 ABBD,BE2,则 BB的长是 22 【分析】 根据菱形 ABCD 中, BAD60可知ABD 是等边三角形, 结合三线合一可得BAB30, 求出ABB75,可得EBBEBB45,则BEB是直角三角形,借助勾股定理求出 BB的长 即可 【解答】解:菱形 ABCD, ABAD,ADBC, BAD60, ABC120, ABBD, BAB= 1 2 = 30, 将ABE 沿直线 AE 翻折

23、 180,得到ABE, BEBE,ABAB, ABB= 1 2 (180 30) = 75, EBBABEABB1207545, EBBEBB45, BEB90, 在 RtBEB中,由勾股定理得: BB= 22+ 22= 22, 故答案为:22 16 (3 分)如图,在正方形 ABCD 中,AB2,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 的延长线上,AFEF,设 BEx,AFy,当 0 x2 时,y 关于 x 的函数解析式为 y= 4+2 2 (0 x2) 【分析】由勾股定理表示 AE,通过作垂线构造直角三角形,由等腰三角形的性质得出 AMME,分别用 含有 x、y 的代数式表示 AM,A

24、E,再根据相似三角形对应边成比例即可得出 y 与 x 之间的函数关系式 【解答】解:过点 F 作 FMAE,垂足为 M, AFEF, AMME, 在 RtABE 中, AE= 2+ 2= 4 + 2, AM= 4+2 2 , BAMF90,FAMAEB, ABEFMA, = , 即4: 2 = 4+2 2 , xy= 4+2 2 , 即 y= 4+2 2 (0 x2) , 故答案为:y= 4+2 2 (0 x2) 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 4 小题,其中小题,其中 17、19、20 题各题各 9 分,分,18 题题 12 分,共分,共 39 分)分) 17 (9 分)计算::3 ;

25、3 2:3 2:6:9 3 ;3 【分析】分式的混合运算,先算乘法,然后再算减法 【解答】解:原式= +3 3 (+3) (+3)2 3 3 = 3 3 3 = 3 3 1 18 (12 分)某校计划举办以“庆祝建党百年,传承红色基因”为主题的系列活动,活动分为红歌演唱、诗 歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛,要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动为了解学生参加活 动的情况,随机选取该学校部分学生进行调查,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分 活动项目 频数(人) 频率 红歌演唱 10 0.2 诗歌朗诵 爱国征文 党史知识竞赛 0.1 据以上信息,回答下列问题: (1)被调查的学生中,参加红

26、歌演唱活动的学生人数为 10 人,参加爱国征文活动的学生人数占被 调查学生总人数的百分比为 40 %; (2)本次调查的样本容量为 50 ,样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为 5 人; (3)若该校共有 800 名学生,请根据调查结果,估计参加诗歌朗诵活动的学生人数 【分析】 (1)由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数,由扇形图可得参加爱国征文活动的学生 人数占被调查学生总人数的百分比; (2) 由参加红歌演唱活动的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量, 根据参加党史知识竞赛活动的 学生人数的频率即可求解; (3) 求出样本中参加爱国征文活动的学生人数, 根据样本容量求出样本中参加

27、诗歌朗诵活动的学生人数, 可得样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数所占比例,即可求解 【解答】解: (1)由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数为 10 人,由扇形图可得参加爱国征文 活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 40%, 故答案为:10,40; (2)被调查的学生总数为 100.250(人) , 500.15(人) , 故答案为:50,5; (3)样本中参加爱国征文活动的学生人数:5040%20(人) , 样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数:501020515(人) , 800 15 50 =240(人) , 答:估计参加诗歌朗诵活动的学生人数为 240 人 19 (9 分)如图

28、,点 A,D,B,E 在一条直线上,ADBE,ACDF,ACDF求证:BCEF 【分析】根据线段的和差得到 ABDE,由平行线的性质得到AEDF,根据全等三角形的性质即可 得到结论 【解答】证明:ADBE, AD+BDBE+BD, 即 ABDE, ACDF, AEDF, 在ABC 与DEF 中, = = = , ABCDEF(SAS) , BCEF 20 (9 分)某校为实现垃圾分类投放,准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买 2 个大垃圾桶和 4 个小 垃圾桶共需 600 元;购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1560 元 (1)求大、小两种垃圾桶的单价; (2)该校购买 8 个大垃

29、圾桶和 24 个小垃圾桶共需多少元? 【分析】 (1)设大垃圾桶的单价为 x 元,小垃圾桶的单价为 y 元,根据“购买 2 个大垃圾桶和 4 个小垃 圾桶共需 600 元;购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1560 元” ,即可得出关于 x,y 的二元一次方程 组,解之即可得出结论; (2)利用总价单价数量,即可求出该校购买 8 个大垃圾桶和 24 个小垃圾桶所需费用 【解答】解: (1)设大垃圾桶的单价为 x 元,小垃圾桶的单价为 y 元, 依题意得:2 + 4 = 600 6 + 8 = 1560, 解得: = 180 = 60 答:大垃圾桶的单价为 180 元,小垃圾桶的单价为

30、 60 元 (2)1808+60242880(元) 答:该校购买 8 个大垃圾桶和 24 个小垃圾桶共需 2880 元 四、解答题(本题共四、解答题(本题共 3 小题,其中小题,其中 21 题题 9 分,分,22、23 题各题各 10 分,共分,共 29 分分. 21 (9 分)如图,建筑物 BC 上有一旗杆 AB,从与 BC 相距 20m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 57, 观测旗杆底部 B 的仰角为 50,求旗杆 AB 的高度(结果取整数) (参考数据: sin500.766, cos500.643, tan501.192; sin570.839, cos570.545, tan

31、57 1.540) 【分析】在 RtBCD 中,由锐角三角函数定义求得 BC 的长,再在 RtACD 中,由锐角三角函数定义 求得 AC 的长,即可解决问题 【解答】解:在 RtBCD 中,tanBDC= , BCCDtanBDC20tan50201.19223.84(m) , 在 RtACD 中,tanADC= , ACCDtanADC20tan57201.54030.8(m) , ABACBC30.823.847(m) 答:旗杆 AB 的高度约为 7m 22 (10 分)如图 1,ABC 内接于O,直线 MN 与O 相切于点 D,OD 与 BC 相交于点 E,BCMN (1)求证:BACD

32、OC; (2)如图 2,若 AC 是O 的直径,E 是 OD 的中点,O 的半径为 4,求 AE 的长 【分析】(1) 连接 OB, 如图 1, 根据切线的性质得到 ODMN, 则 ODBC, 利用垂径定理得到 = , 然 后根据圆周角定理得到结论; (2)先计算出 CE23,根据垂径定理得到 BECE23,接着利用勾股定理计算出 AB,然后计算 AE 的长 【解答】 (1)证明:连接 OB,如图 1, 直线 MN 与O 相切于点 D, ODMN, BCMN, ODBC, = , BODCOD, BAC= 1 2BOC, BACCOD; (2)E 是 OD 的中点, OEDE2, 在 RtOC

33、E 中,CE= 2 2= 42 22=23, OEBC, BECE23, AC 是O 的直径, ABC90, AB= 2 2=82 (43)2=4, 在 RtABE 中,AE= 2+ 2=42+ (23)2=27 23 (10 分)某电商销售某种商品一段时间后,发现该商品每天的销售量 y(单位:千克)和每千克的售价 x(单位:元)满足一次函数关系(如图所示) ,其中 50 x80 (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若该种商品的成本为每千克 40 元, 该电商如何定价才能使每天获得的利润最大?最大利润是多少? 【分析】 (1)待定系数法求解可得; (2)设电商每天获得的利润为 w

34、元,根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式,将其配 方成顶点式即可得最值情况 【解答】解: (1)设 ykx+b, 将(50,100) 、 (80,40)代入,得:50 + = 100 80 + = 40 , 解得: = 2 = 200 y2x+200 (50 x80) ; (2)设电商每天获得的利润为 w 元, 则 w(x40) (2x+200) 2x2+280 x8000 2(x70)2+1800, 20,且对称轴是直线 x70, 又50 x80, 当 x70 时,w 取得最大值为 1800, 答:该电商售价为 70 元时获得最大利润,最大利润是 1800 元 五、解答题(五、解答题

35、(24、25 小题小题 11 分,分,26 小题小题 12 分,共分,共 34 分)分) 24 (11 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,AB3,BC4,P、Q 均从点 B 出发,点 P 以 2 个单位每秒的 速度沿 BAAC 的方向运动,点 Q 以 1 个单位每秒的速度沿 BCCD 运动,设运动时间为 t 秒 (1)求 AC 的长; (2)若 SBPQS,求 S 关于 t 的解析式 【分析】 (1)根据勾股定理直接计算 AC 的长; (2)根据点 P、Q 的运动位置进行分类,分别画图表示相应的BPQ 的面积即可 【解答】解: (1)四边形 ABCD 为矩形, B90, 在 RtABC 中,

36、由勾股定理得: AC= 2+ 2= 32+ 42= 5, AC 的长为 5; (2)当 0t1.5 时,如图, S= 1 2 = 1 2 2 = 2; 当 1.5t4 时,如图,作 PHBC 于 H, CP82t, sinBCA= = , 3 5 = 8;2, = 24 5 6 5 , S= 1 2 = 1 2 (24 5 6 5 ) = 32 5 + 12 5 ; 当 4t7 时,如图,点 P 与点 C 重合, S= 1 2 4 ( 4) = 2 8 综上所述:S= 2(0 1.5) 32 5 + 12 5 (1.5 4) 2 8(4 7) 25 (11 分)已知 ABBD,AEEF,ABD

37、AEF (1)找出与DBF 相等的角并证明; (2)求证:BFDAFB; (3)AFkDF,EDF+MDF180,求 【分析】 (1)由三角形的外角及已知条件ABDAEF,可找出并证明BAEDBF; (2) 连接 AD, 先证明ABDAEF, 得出BDGAFB, 再证明BGDAGF、 AGBFGD, 即可证明BFDAFB; (3)作点 D 关于直线 BF 的对称点 D,连接 MD,作 EHMD交 AC 于点 H,可证明EFD EAH,进而得出结论 【解答】解: (1)如图 1,BAEDBF, 证明:DBF+ABFABD,ABDAEF, DBF+ABFAEF, AEFBAE+ABF, BAE+A

38、BFDBF+ABF, BAEDBF (2)证明:如图 2,连接 AD 交 BF 于点 G, ABBD,AEEF, = , ABDAEF, ABDAEF, BDGAFB, BGDAGF, BGDAGF, = , = , AGBFGD, AGBFGD, BADBFD, BADBDGAFB, BFDAFB (3)如图 3,作点 D 关于直线 BF 的对称点 D,连接 MD、DD,作 EHMD交 AC 于点 H,则 BF 垂直平分 DD, DFDF,DMDM, MFMF, DMFDMF, EHFMDFMDF, EDF+MDF180,EHA+EHF180, EDFEHA, EFDAFBEAH,EFAE,

39、 EFDEAH(AAS) , DFAH, = = ,DFDF, = = ; = ; = 1, AFkDF, = , = 1 26 (12 分)已知函数 y= 1 2 2+ 1 2 + () 2 + ( ) ,记该函数图象为 G (1)当 m2 时, 已知 M(4,n)在该函数图象上,求 n 的值; 当 0 x2 时,求函数 G 的最大值 (2)当 m0 时,作直线 x= 1 2m 与 x 轴交于点 P,与函数 G 交于点 Q,若POQ45时,求 m 的值; (3)当 m3 时,设图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交与点 B,过点 B 作 BCBA 交直线 xm 于点 C,设 点 A 的横坐标

40、为 a,C 点的纵坐标为 c,若 a3c,求 m 的值 【分析】 (1)先把 m2 代入函数 y 中,把 M(4,n)代入 yx22x+2 中,可得 n 的值; 将 0 x2 分为两部分确定 y 的最大值,当 0 x2 时,将 y= 1 2x 2+1 2x+2 配方可得最值,再将 x2 代入 yx22x+2 中,可得 y2,对比可得函数 G 的最大值; (2)证明POQ 是等腰直角三角形,得 OPPQ,列方程可得结论; (3)如图 2,过点 C 作 CDy 轴于 D,证明ABOBCD(ASA) ,得 OABD,列方程可得结论 【解答】解: (1)当 m2 时,y= 1 2 2 + 1 2 +

41、2(2) 2 2 + 2( 2) , M(4,n)在该函数图象上, n4224+210; 当 0 x2 时,y= 1 2x 2+1 2x+2= 1 2(x 1 2) 2+21 8, 1 2 0, 当 x= 1 2时,y 有最大值是 2 1 8, 当 x2 时,y2222+22, 221 8, 当 0 x2 时,函数 G 的最大值是 21 8; (2)如图 1,由题意得:OP= 1 2m, POQ45,OPQ90, POQ 是等腰直角三角形, OPPQ, 1 2m= 1 2 (1 2) 2 + 1 2 1 2m+m, 解得:m10,m26, m0, m6; (3)如图 2,过点 C 作 CDy

42、轴于 D, 当 x0 时,ym, OBm, CDm, CDOB, ABBC, ABCABO+CBD90, CBD+BCD90, ABOBCD, AOBCDB90, ABOBCD(ASA) , OABD, 当 xm 时,y0,即 1 2x 2+1 2x+m0, x2x2m0, 解得:x1= 11+8 2 ,x2= 1+1+8 2 , OA= 1+81 2 ,且 1 8 m3, 点 A 的横坐标为 a,C 点的纵坐标为 c,若 a3c, ODc= 1 3a, BDmODm+ 1 3a, OABD, 1:8;1 2 =m+ 1 3 11+8 2 , 解得:m10(此时,A,B,C 三点重合,舍) ,m2= 20 9