1、2021 年辽宁省大连市中考数学试卷年辽宁省大连市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每题个小题，每题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1 （3 分）5 的相反数是（ ） A5 B1 5 C 1 5 D5 2 （3 分）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ） A B C D 3 （3 分）2021 年党中央首次颁发“光荣在党 50 年”纪念章，约 7100000 名党员获此纪念章数 7100000 用科学记数法表示为（ ） A71105 B7.1105 C7.1106 D
2、0.71107 4 （3 分）如图，ABCD，CEAD，垂足为 E，若A40，则C 的度数为（ ） A40 B50 C60 D90 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （a2）3a8 Ba2a3a5 C （3a）26a2 D2ab2+3ab25a2b4 6 （3 分）某校健美操队共有 10 名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13 岁 3 人，14 岁 5 人，15 岁 2 人该健美操队队员的平均年龄为（ ） A14.2 岁 B14.1 岁 C13.9 岁 D13.7 岁 7 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （3）23 B12 =23 C1 3 =1 D （2 +1） （2 1）
3、3 8 （3 分） “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018 年 平均亩产量约 500 公斤，2020 年平均亩产量约 800 公斤若设平均亩产量的年平均增长率为 x，根据题 意，可列方程为（ ） A500（1+x）800 B500（1+2x）800 C500（1+x2）800 D500（1+x）2800 9 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，BAC，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC， 点 B 的对应点 B在边 AC 上（不与点 A，C 重合） ，则AAB的度数为（ ） A B45 C45 D90 10 （3 分）下列说法正确
4、的是（ ） 反比例函数 y= 2 中自变量 x 的取值范围是 x0； 点 P（3，2）在反比例函数 y= 6 的图象上； 反比例函数 y= 3 的图象，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）不等式 3xx+6 的解集是 12 （3 分）在平面直角坐标系中，将点 P（2，3）向右平移 4 个单位长度，得到点 P，则点 P的坐标 是 13 （3 分）一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2随机摸取一个小球后， 放回并摇匀，再随机摸取一个小
5、球，两次取出的小球标号的和等于 4 的概率为 14 （3 分）我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗： “林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每 人六竿多十四，每人八竿恰齐足 ”其大意是： “牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹 竿 每人 6 竿， 多 14 竿； 每人 8 竿， 恰好用完 ” 若设有牧童 x 人， 根据题意， 可列方程为 15 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD60，点 E 在边 BC 上，将ABE 沿直线 AE 翻折 180，得 到ABE，点 B 的对应点是点 B若 ABBD，BE2，则 BB的长是 16 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB2，
6、点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，AFEF，设 BEx，AFy，当 0 x2 时，y 关于 x 的函数解析式为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 小题，其中小题，其中 17、19、20 题各题各 9 分，分，18 题题 12 分，共分，共 39 分）分） 17 （9 分）计算：:3 ;3 2:3 2:6:9 3 ;3 18 （12 分）某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动分为红歌演唱、诗 歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动为了解学生参加活 动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结
7、果绘制的统计图表的一部分 活动项目 频数（人） 频率 红歌演唱 10 0.2 诗歌朗诵 爱国征文 党史知识竞赛 0.1 据以上信息，回答下列问题： （1）被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为 人，参加爱国征文活动的学生人数占被 调查学生总人数的百分比为 %； （2）本次调查的样本容量为 ，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为 人； （3）若该校共有 800 名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数 19 （9 分）如图，点 A，D，B，E 在一条直线上，ADBE，ACDF，ACDF求证：BCEF 20 （9 分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购
8、买 2 个大垃圾桶和 4 个小 垃圾桶共需 600 元；购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1560 元 （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买 8 个大垃圾桶和 24 个小垃圾桶共需多少元？ 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 21 题题 9 分，分，22、23 题各题各 10 分，共分，共 29 分分. 21 （9 分）如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 20m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 57， 观测旗杆底部 B 的仰角为 50，求旗杆 AB 的高度（结果取整数） （参考数据： sin500.766， cos50
9、0.643， tan501.192； sin570.839， cos570.545， tan57 1.540） 22 （10 分）如图 1，ABC 内接于O，直线 MN 与O 相切于点 D，OD 与 BC 相交于点 E，BCMN （1）求证：BACDOC； （2）如图 2，若 AC 是O 的直径，E 是 OD 的中点，O 的半径为 4，求 AE 的长 23 （10 分）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（单位：千克）和每千克的售价 x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示） ，其中 50 x80 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2） 若该种商品的成本为每千克 4
10、0 元， 该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题（五、解答题（24、25 小题小题 11 分，分，26 小题小题 12 分，共分，共 34 分）分） 24 （11 分）如图，四边形 ABCD 为矩形，AB3，BC4，P、Q 均从点 B 出发，点 P 以 2 个单位每秒的 速度沿 BAAC 的方向运动，点 Q 以 1 个单位每秒的速度沿 BCCD 运动，设运动时间为 t 秒 （1）求 AC 的长； （2）若 SBPQS，求 S 关于 t 的解析式 25 （11 分）已知 ABBD，AEEF，ABDAEF （1）找出与DBF 相等的角并证明； （2）求证：BFDAFB
11、； （3）AFkDF，EDF+MDF180，求 26 （12 分）已知函数 y= 1 2 2+ 1 2 + () 2 + ( ) ，记该函数图象为 G （1）当 m2 时， 已知 M（4，n）在该函数图象上，求 n 的值； 当 0 x2 时，求函数 G 的最大值 （2）当 m0 时，作直线 x= 1 2m 与 x 轴交于点 P，与函数 G 交于点 Q，若POQ45时，求 m 的值； （3）当 m3 时，设图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交与点 B，过点 B 作 BCBA 交直线 xm 于点 C，设 点 A 的横坐标为 a，C 点的纵坐标为 c，若 a3c，求 m 的值 2021 年辽宁省大
12、连市中考数学试卷年辽宁省大连市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每题个小题，每题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1 （3 分）5 的相反数是（ ） A5 B1 5 C 1 5 D5 【分析】根据相反数的定义直接求得结果 【解答】解：5 的相反数是 5 故选：A 2 （3 分）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ） A B C D 【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题 【解答】解：扇形和圆折叠后，能围成的几何体
13、是圆锥 故选：D 3 （3 分）2021 年党中央首次颁发“光荣在党 50 年”纪念章，约 7100000 名党员获此纪念章数 7100000 用科学记数法表示为（ ） A71105 B7.1105 C7.1106 D0.71107 【分析】根据科学记数法的定义即可判断，将一个较大或较小的数字写成 a10n的形式，其中 1a10 且 n 为整数 【解答】解：根据科学记数法的定义，将一个较大或较小的数字写成 a10n的形式，其中 1a10 且 n 为整数 71000007.1106 故选：C 4 （3 分）如图，ABCD，CEAD，垂足为 E，若A40，则C 的度数为（ ） A40 B50 C6
14、0 D90 【分析】根据平行线的性质，可得AD40根据垂直的定义，得CED90再根据三角形 内角和定理，可求出C 的度数 【解答】解：ABCD，A40， DA40 CEAD， CED90 又CED+C+D180， C180CEDD180904050 故选：B 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （a2）3a8 Ba2a3a5 C （3a）26a2 D2ab2+3ab25a2b4 【分析】根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断 即可 【解答】解：选项 A、 （a2）3a2 3a6，故本选项不符合题意； 选项 B、a2a3a2+3a5，故本选项符合
15、题意； 选项 C、 （3a）29a2，故本选项不符合题意； 选项 D、2ab2+3ab25ab2，故本选项不符合题意； 故选：B 6 （3 分）某校健美操队共有 10 名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13 岁 3 人，14 岁 5 人，15 岁 2 人该健美操队队员的平均年龄为（ ） A14.2 岁 B14.1 岁 C13.9 岁 D13.7 岁 【分析】直接利用加权平均数的计算公式计算得出答案 【解答】解：13 岁 3 人，14 岁 5 人，15 岁 2 人， 该健美操队队员的平均年龄为：133:145:152 10 =13.9（岁） 故选：C 7 （3 分）下列计算正确的是（ ） A
16、 （3）23 B12 =23 C1 3 =1 D （2 +1） （2 1）3 【分析】根据二次根式的性质，立方根的概念，平方差公式进行化简计算，从而作出判断 【解答】解：A、 （3）23，故此选项不符合题意； B、12 = 23，正确，故此选项符合题意； C、1 3 = 1，故此选项不符合题意； D、 （2 +1） （2 1）211，故此选项不符合题意， 故选：B 8 （3 分） “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018 年 平均亩产量约 500 公斤，2020 年平均亩产量约 800 公斤若设平均亩产量的年平均增长率为 x，根据题 意，可列方程为
17、（ ） A500（1+x）800 B500（1+2x）800 C500（1+x2）800 D500（1+x）2800 【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为 x，根据“2018 年平均亩产（1+增长率）22020 年平均亩 产”即可列出关于 x 的一元二次方程，解方程即可得出结论 【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为 x， 根据题意得：500（1+x）2800， 故选：D 9 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，BAC，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC， 点 B 的对应点 B在边 AC 上（不与点 A，C 重合） ，则AAB的度数为（ ） A B45 C45 D90 【分析
18、】由旋转知 ACAC，BACCAB，ACA90，从而得出ACA是等腰直角三角形，即 可解决问题 【解答】解：将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC， ACAC，BACCAB，ACA90， ACA是等腰直角三角形， CAA45， BAC， CAB， AAB45 故选：C 10 （3 分）下列说法正确的是（ ） 反比例函数 y= 2 中自变量 x 的取值范围是 x0； 点 P（3，2）在反比例函数 y= 6 的图象上； 反比例函数 y= 3 的图象，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 A B C D 【分析】根据反比例函数的性质即可得出结果 【解答】解：反比例函数 y= 2 中自变量
19、 x 的取值范围是 x0，故说法正确； 因为316，故说法正确； 因为 k30，反比例函数 y= 3 的图象，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，故说法错误； 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）不等式 3xx+6 的解集是 x3 【分析】移项，合并同类项，系数化成 1 即可 【解答】解：3xx+6， 移项，得 3xx6， 合并同类项，得 2x6， 系数化成 1，得 x3， 故答案为：x3 12 （3 分）在平面直角坐标系中，将点 P（2，3）向右平移 4 个单位长度，得到点 P，则点 P的坐标
20、是 （2，3） 【分析】利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得 【解答】解：点 P（2，3）向右平移 4 个单位长度后得到点 P的坐标为（2+4，3） ，即（2，3） ， 故答案为： （2，3） 13 （3 分）一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2随机摸取一个小球后， 放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于 4 的概率为 1 4 【分析】画树状图，共有 4 种等可能的结果，两次取出的小球标号的和等于 4 的结果有 1 种，再由概率 公式求解即可 【解答】解：画树状图如图： 共有 4 种等可能的结果，两次取出的小球标号
21、的和等于 4 的结果有 1 种， 两次取出的小球标号的和等于 4 的概率为1 4， 故答案为：1 4 14 （3 分）我国古代著作增删算法统宗中记载了一首古算诗： “林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每 人六竿多十四，每人八竿恰齐足 ”其大意是： “牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹 竿每人 6 竿，多 14 竿；每人 8 竿，恰好用完 ”若设有牧童 x 人，根据题意，可列方程为 6x+14 8x 【分析】设有牧童 x 人，根据“每人 6 竿，多 14 竿；每人 8 竿，恰好用完” ，结合竹竿的数量不变，即 可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 【解答】解：设有牧童 x 人， 依
22、题意得：6x+148x 故答案为：6x+148x 15 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD60，点 E 在边 BC 上，将ABE 沿直线 AE 翻折 180，得 到ABE，点 B 的对应点是点 B若 ABBD，BE2，则 BB的长是 22 【分析】 根据菱形 ABCD 中， BAD60可知ABD 是等边三角形， 结合三线合一可得BAB30， 求出ABB75，可得EBBEBB45，则BEB是直角三角形，借助勾股定理求出 BB的长 即可 【解答】解：菱形 ABCD， ABAD，ADBC， BAD60， ABC120， ABBD， BAB= 1 2 = 30， 将ABE 沿直线 AE 翻折
23、 180，得到ABE， BEBE，ABAB， ABB= 1 2 (180 30) = 75， EBBABEABB1207545， EBBEBB45， BEB90， 在 RtBEB中，由勾股定理得： BB= 22+ 22= 22， 故答案为：22 16 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，AFEF，设 BEx，AFy，当 0 x2 时，y 关于 x 的函数解析式为 y= 4+2 2 （0 x2） 【分析】由勾股定理表示 AE，通过作垂线构造直角三角形，由等腰三角形的性质得出 AMME，分别用 含有 x、y 的代数式表示 AM，A
24、E，再根据相似三角形对应边成比例即可得出 y 与 x 之间的函数关系式 【解答】解：过点 F 作 FMAE，垂足为 M， AFEF， AMME， 在 RtABE 中， AE= 2+ 2= 4 + 2， AM= 4+2 2 ， BAMF90，FAMAEB， ABEFMA， = ， 即4: 2 = 4+2 2 ， xy= 4+2 2 ， 即 y= 4+2 2 （0 x2） ， 故答案为：y= 4+2 2 （0 x2） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 4 小题，其中小题，其中 17、19、20 题各题各 9 分，分，18 题题 12 分，共分，共 39 分）分） 17 （9 分）计算：:3 ;
25、3 2:3 2:6:9 3 ;3 【分析】分式的混合运算，先算乘法，然后再算减法 【解答】解：原式= +3 3 (+3) (+3)2 3 3 = 3 3 3 = 3 3 1 18 （12 分）某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活动分为红歌演唱、诗 歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动为了解学生参加活 动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分 活动项目 频数（人） 频率 红歌演唱 10 0.2 诗歌朗诵 爱国征文 党史知识竞赛 0.1 据以上信息，回答下列问题： （1）被调查的学生中，参加红
26、歌演唱活动的学生人数为 10 人，参加爱国征文活动的学生人数占被 调查学生总人数的百分比为 40 %； （2）本次调查的样本容量为 50 ，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为 5 人； （3）若该校共有 800 名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数 【分析】 （1）由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数，由扇形图可得参加爱国征文活动的学生 人数占被调查学生总人数的百分比； （2） 由参加红歌演唱活动的学生人数及其频率可得本次调查的样本容量， 根据参加党史知识竞赛活动的 学生人数的频率即可求解； （3） 求出样本中参加爱国征文活动的学生人数， 根据样本容量求出样本中参加
27、诗歌朗诵活动的学生人数， 可得样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数所占比例，即可求解 【解答】解： （1）由频数分布表可得参加红歌演唱活动的学生人数为 10 人，由扇形图可得参加爱国征文 活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为 40%， 故答案为：10，40； （2）被调查的学生总数为 100.250（人） ， 500.15（人） ， 故答案为：50，5； （3）样本中参加爱国征文活动的学生人数：5040%20（人） ， 样本中参加诗歌朗诵活动的学生人数：501020515（人） ， 800 15 50 =240（人） ， 答：估计参加诗歌朗诵活动的学生人数为 240 人 19 （9 分）如图
28、，点 A，D，B，E 在一条直线上，ADBE，ACDF，ACDF求证：BCEF 【分析】根据线段的和差得到 ABDE，由平行线的性质得到AEDF，根据全等三角形的性质即可 得到结论 【解答】证明：ADBE， AD+BDBE+BD， 即 ABDE， ACDF， AEDF， 在ABC 与DEF 中， = = = ， ABCDEF（SAS） ， BCEF 20 （9 分）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买 2 个大垃圾桶和 4 个小 垃圾桶共需 600 元；购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1560 元 （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买 8 个大垃
29、圾桶和 24 个小垃圾桶共需多少元？ 【分析】 （1）设大垃圾桶的单价为 x 元，小垃圾桶的单价为 y 元，根据“购买 2 个大垃圾桶和 4 个小垃 圾桶共需 600 元；购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1560 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程 组，解之即可得出结论； （2）利用总价单价数量，即可求出该校购买 8 个大垃圾桶和 24 个小垃圾桶所需费用 【解答】解： （1）设大垃圾桶的单价为 x 元，小垃圾桶的单价为 y 元， 依题意得：2 + 4 = 600 6 + 8 = 1560， 解得： = 180 = 60 答：大垃圾桶的单价为 180 元，小垃圾桶的单价为
30、 60 元 （2）1808+60242880（元） 答：该校购买 8 个大垃圾桶和 24 个小垃圾桶共需 2880 元 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 3 小题，其中小题，其中 21 题题 9 分，分，22、23 题各题各 10 分，共分，共 29 分分. 21 （9 分）如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 20m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 57， 观测旗杆底部 B 的仰角为 50，求旗杆 AB 的高度（结果取整数） （参考数据： sin500.766， cos500.643， tan501.192； sin570.839， cos570.545， tan
31、57 1.540） 【分析】在 RtBCD 中，由锐角三角函数定义求得 BC 的长，再在 RtACD 中，由锐角三角函数定义 求得 AC 的长，即可解决问题 【解答】解：在 RtBCD 中，tanBDC= ， BCCDtanBDC20tan50201.19223.84（m） ， 在 RtACD 中，tanADC= ， ACCDtanADC20tan57201.54030.8（m） ， ABACBC30.823.847（m） 答：旗杆 AB 的高度约为 7m 22 （10 分）如图 1，ABC 内接于O，直线 MN 与O 相切于点 D，OD 与 BC 相交于点 E，BCMN （1）求证：BACD
32、OC； （2）如图 2，若 AC 是O 的直径，E 是 OD 的中点，O 的半径为 4，求 AE 的长 【分析】（1） 连接 OB， 如图 1， 根据切线的性质得到 ODMN， 则 ODBC， 利用垂径定理得到 = ， 然 后根据圆周角定理得到结论； （2）先计算出 CE23，根据垂径定理得到 BECE23，接着利用勾股定理计算出 AB，然后计算 AE 的长 【解答】 （1）证明：连接 OB，如图 1， 直线 MN 与O 相切于点 D， ODMN， BCMN， ODBC， = ， BODCOD， BAC= 1 2BOC， BACCOD； （2）E 是 OD 的中点， OEDE2， 在 RtOC
33、E 中，CE= 2 2= 42 22=23， OEBC， BECE23， AC 是O 的直径， ABC90， AB= 2 2=82 (43)2=4， 在 RtABE 中，AE= 2+ 2=42+ (23)2=27 23 （10 分）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（单位：千克）和每千克的售价 x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示） ，其中 50 x80 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2） 若该种商品的成本为每千克 40 元， 该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）待定系数法求解可得； （2）设电商每天获得的利润为 w
34、元，根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配 方成顶点式即可得最值情况 【解答】解： （1）设 ykx+b， 将（50，100） 、 （80，40）代入，得：50 + = 100 80 + = 40 ， 解得： = 2 = 200 y2x+200 （50 x80） ； （2）设电商每天获得的利润为 w 元， 则 w（x40） （2x+200） 2x2+280 x8000 2（x70）2+1800， 20，且对称轴是直线 x70， 又50 x80， 当 x70 时，w 取得最大值为 1800， 答：该电商售价为 70 元时获得最大利润，最大利润是 1800 元 五、解答题（五、解答题
35、（24、25 小题小题 11 分，分，26 小题小题 12 分，共分，共 34 分）分） 24 （11 分）如图，四边形 ABCD 为矩形，AB3，BC4，P、Q 均从点 B 出发，点 P 以 2 个单位每秒的 速度沿 BAAC 的方向运动，点 Q 以 1 个单位每秒的速度沿 BCCD 运动，设运动时间为 t 秒 （1）求 AC 的长； （2）若 SBPQS，求 S 关于 t 的解析式 【分析】 （1）根据勾股定理直接计算 AC 的长； （2）根据点 P、Q 的运动位置进行分类，分别画图表示相应的BPQ 的面积即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 为矩形， B90， 在 RtABC 中，
36、由勾股定理得： AC= 2+ 2= 32+ 42= 5， AC 的长为 5； （2）当 0t1.5 时，如图， S= 1 2 = 1 2 2 = 2； 当 1.5t4 时，如图，作 PHBC 于 H， CP82t， sinBCA= = ， 3 5 = 8;2， = 24 5 6 5 ， S= 1 2 = 1 2 (24 5 6 5 ) = 32 5 + 12 5 ； 当 4t7 时，如图，点 P 与点 C 重合， S= 1 2 4 ( 4) = 2 8 综上所述：S= 2(0 1.5) 32 5 + 12 5 (1.5 4) 2 8(4 7) 25 （11 分）已知 ABBD，AEEF，ABD
37、AEF （1）找出与DBF 相等的角并证明； （2）求证：BFDAFB； （3）AFkDF，EDF+MDF180，求 【分析】 （1）由三角形的外角及已知条件ABDAEF，可找出并证明BAEDBF； （2） 连接 AD， 先证明ABDAEF， 得出BDGAFB， 再证明BGDAGF、 AGBFGD， 即可证明BFDAFB； （3）作点 D 关于直线 BF 的对称点 D，连接 MD，作 EHMD交 AC 于点 H，可证明EFD EAH，进而得出结论 【解答】解： （1）如图 1，BAEDBF， 证明：DBF+ABFABD，ABDAEF， DBF+ABFAEF， AEFBAE+ABF， BAE+A
38、BFDBF+ABF， BAEDBF （2）证明：如图 2，连接 AD 交 BF 于点 G， ABBD，AEEF， = ， ABDAEF， ABDAEF， BDGAFB， BGDAGF， BGDAGF， = ， = ， AGBFGD， AGBFGD， BADBFD， BADBDGAFB， BFDAFB （3）如图 3，作点 D 关于直线 BF 的对称点 D，连接 MD、DD，作 EHMD交 AC 于点 H，则 BF 垂直平分 DD， DFDF，DMDM， MFMF， DMFDMF， EHFMDFMDF， EDF+MDF180，EHA+EHF180， EDFEHA， EFDAFBEAH，EFAE，
39、 EFDEAH（AAS） ， DFAH， = = ，DFDF， = = ; = ; = 1， AFkDF， = ， = 1 26 （12 分）已知函数 y= 1 2 2+ 1 2 + () 2 + ( ) ，记该函数图象为 G （1）当 m2 时， 已知 M（4，n）在该函数图象上，求 n 的值； 当 0 x2 时，求函数 G 的最大值 （2）当 m0 时，作直线 x= 1 2m 与 x 轴交于点 P，与函数 G 交于点 Q，若POQ45时，求 m 的值； （3）当 m3 时，设图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交与点 B，过点 B 作 BCBA 交直线 xm 于点 C，设 点 A 的横坐标
40、为 a，C 点的纵坐标为 c，若 a3c，求 m 的值 【分析】 （1）先把 m2 代入函数 y 中，把 M（4，n）代入 yx22x+2 中，可得 n 的值； 将 0 x2 分为两部分确定 y 的最大值，当 0 x2 时，将 y= 1 2x 2+1 2x+2 配方可得最值，再将 x2 代入 yx22x+2 中，可得 y2，对比可得函数 G 的最大值； （2）证明POQ 是等腰直角三角形，得 OPPQ，列方程可得结论； （3）如图 2，过点 C 作 CDy 轴于 D，证明ABOBCD（ASA） ，得 OABD，列方程可得结论 【解答】解： （1）当 m2 时，y= 1 2 2 + 1 2 +
41、2(2) 2 2 + 2( 2) ， M（4，n）在该函数图象上， n4224+210； 当 0 x2 时，y= 1 2x 2+1 2x+2= 1 2（x 1 2） 2+21 8， 1 2 0， 当 x= 1 2时，y 有最大值是 2 1 8， 当 x2 时，y2222+22， 221 8， 当 0 x2 时，函数 G 的最大值是 21 8； （2）如图 1，由题意得：OP= 1 2m， POQ45，OPQ90， POQ 是等腰直角三角形， OPPQ， 1 2m= 1 2 (1 2) 2 + 1 2 1 2m+m， 解得：m10，m26， m0， m6； （3）如图 2，过点 C 作 CDy
42、轴于 D， 当 x0 时，ym， OBm， CDm， CDOB， ABBC， ABCABO+CBD90， CBD+BCD90， ABOBCD， AOBCDB90， ABOBCD（ASA） ， OABD， 当 xm 时，y0，即 1 2x 2+1 2x+m0， x2x2m0， 解得：x1= 11+8 2 ，x2= 1+1+8 2 ， OA= 1+81 2 ，且 1 8 m3， 点 A 的横坐标为 a，C 点的纵坐标为 c，若 a3c， ODc= 1 3a， BDmODm+ 1 3a， OABD， 1:8;1 2 =m+ 1 3 11+8 2 ， 解得：m10（此时，A，B，C 三点重合，舍） ，m2= 20 9