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专题04 中考图形折叠问题-中考数学专题拓展提高讲练(解析版)

1、 1.考点解析 中考数学中,经常通过折叠操作类问题考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力,题目 灵活多变,趣味性强,更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣,体会数学学习的快乐。几何图 形的折叠问题,实质上是轴对称问题。解答这类问题的关键是根据轴对称的性质,找准折叠前后的两个全 等图形。确定其中对应角相等、对应线段相等。折痕平分线段、平分角等条件。 2.考点分类:考点分类见下表 考点分类 考点内容 考点分析与常见题型 常考热点 矩形性质、勾股定理 求线段长度或者面积来源:Zxxk.Com 一般考点 三角形内角和定理 求角度或关系 冷门考点 三角函数 三角函数值或者求角度 【方法点

2、拨】 1. 要注意折叠前后线段、角的变化,全等图形的构造; B 通常要设求知数可以是未知 的线段或者未知的角度; C 利用勾股定理构造方程。 一、中考题型分析一、中考题型分析 中考图形折叠问题在近几年的中考中出现的频率还是非常高的,一般以填空题或者解答题的形式出现, 一般以角度的计算,或者求线段长度的问题为主,占 4-8 分左右,此类题目难度中等,在后面的压轴题目 的小问中也有可能出现,一般占分 4 分左右,难度较大,需要学生对折叠图形前后的变化有充分的认识与 理解。 二、典例精析二、典例精析 考点一:考点一:求角的度数求角的度数 典例一:典例一: 如图, 在折纸活动中, 小明制作了一张ABC

3、 纸片, 点 D、 E 分别是边 AB、 AC 上, 将ABC 沿着 DE 折叠压平,A 与 A重合,若A=75 ,则1+2=【 】 来源:Zxxk.Com来源:学+科+网 A150 B210 C105 D75 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),三角形内角和定理。 学科¥#网 【总结】【总结】抓住翻折以后的角度相等,再根据三角形内角和 180 得出相应的数量关系 典例二:典例二:如图,在平行四边形 ABCD 中,A=70 ,将平行四边形折叠,使点 D、C 分别落在点 F、 E 处(点 F、E 都在 AB 所在的直线上) ,折痕为 MN,则AMF 等于【 】 A70 B40 C30 D20

4、【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,平行四边形的性质,平行线的性质,平角的定义。 【解析】【解析】四边形 ABCD 是平行四边形,ABCD。 根据折叠的性质可得:MNAE,FMN=DMN,ABCDMN。 A=70 ,FMN=DMN=A=70 。 AMF=180 DMNFMN=180 70 70 =40 。故选 B。 【总结【总结】研究角度首先要抓住相等的角,再根据平行线的性质得出角度的相等关系,进行一定的等量研究角度首先要抓住相等的角,再根据平行线的性质得出角度的相等关系,进行一定的等量 代换。代换。 考点二:考点二:求线段长度求线段长度 典例一:典例一:如图,正方形纸片 ABCD 的边长

5、为 3,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,将 AB、AD 分别和 AE、 AF 折叠,点 B、D 恰好都将在点 G 处,已知 BE=1,则 EF 的长为【 】 A B C D3 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,勾股定理。 【总结】【总结】利用折叠之后的线段相等,核心步骤是设长度为 x,然后去表示相关的一些线段长度,利用勾股 定理列出方程。 典例二:典例二:如图,矩形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,将矩形 ABCD 沿直线 DE 折叠,点 A 恰好落在边 BC 的点 F 处若 AE5,BF3,则 CD 的长是【 】 A7 B8 C9 D10 【考点】【

6、考点】折叠的性质,矩形的性质,勾股定理。 【解析】【解析】根据折叠的性质,EF=AE5;根据矩形的性质,B=900。 在 RtBEF 中,B=900,EF5,BF3, 根据勾股定理,得。 CD=AB=AEBE=54=9。故选 C。 考点三:考点三:求图形面积求图形面积 典例一:典例一:如图,在ABC 中,C90 ,将ABC 沿直线 MN 翻折后,顶点 C 恰好落在 AB 边上的 点 D 处,已知 MNAB,MC6,NC,则四边形 MABN 的面积是【 】 A B C D 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,相似三角形的判定和性质, 【解析】【解析】连接 CD,交 MN 于 E

7、, 【总结】【总结】利用折叠的性质,注意要用线段相等,因为面积和长度的关系更近。然后抓住相等关系和相似关 系得出面积关系,从而解出此题。 学#¥科网 典例二:典例二:如图,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 B 与 CD 的中点重合,若 AB=2,BC=3,则FCB 与BDG 的面积之比为【 】 A9:4 B3:2 C4:3 D16:9 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,折叠对称的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。 【解析】【解析】设 BF=x,则由 BC=3 得:CF=3x,由折叠对称的性质得:BF=x。 考点四:考点四:求周长问题求周长问题 典例一:典例一:如图,已知正

8、方形 ABCD 的对角线长为 2,将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠,则图中阴影 部分的周长为 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理。 【解析】【解析】如图,正方形 ABCD 的对角线长为 2,即 BD=2,A=90 ,AB=AD,ABD=45 , AB=BDcosABD=BDcos45=2。 AB=BC=CD=AD=2。 由折叠的性质:AM=AM,DN=DN,AD=AD, 图中阴影部分的周长为 AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。 【总结】【总结】根据折叠的性质与正方

9、形的特征,找到一些线段的长度关系,再利用勾股定理,三角函数得出其 他的一些线段长度 典例二:典例二: 如图, 在矩形 ABCD 中, AB=10, BC=5 点 E、 F 分别在 AB、 CD 上, 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠, 使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、D1处,则阴影部分图形的周长为【 】 A.15 B.20 C.25 D.30 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形和折叠的性质。 【解析】【解析】 根据矩形和折叠的性质, 得 A1E=AE, A1D1=AD, D1F=DF, 则阴影部分的周长即为矩形的周长, 为 2(10+5)=30。故选 D。 考点

10、四:求比值问题考点四:求比值问题 典例一:典例一:如图,菱形纸片 ABCD 中,A=600,将纸片折叠,点 A、D 分别落在 A、D处,且 AD 经过 B,EF 为折痕,当 DFCD 时,的值为【 】 A. B. C. D. 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的 三角函数值。 【解析】【解析】延长 DC 与 AD,交于点 M, 【总结】【总结】根据折叠与菱形的性质得出线段长度之间的关系,利用特殊角度和三角函数找出直角三角形的 边之间的关系,从而求出答案。 典例二:典例二:如图,在矩形 ABCD 中,ADAB,将矩形 ABCD 折叠

11、,使点 C 与点 A 重合, 折痕为 MN,连结 CN若CDN 的面积与CMN 的面积比为 14,则 的值为【 】 A2 B4 C D 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,折叠的性质,矩形、菱形的判定和性质,勾股定理。 【解析】【解析】过点 N 作 NGBC 于 G,由四边形 ABCD 是矩形,易得四边形 CDNG 是矩形,又由折叠的性质, 可得四边形 AMCN 是菱形,由CDN 的面积与CMN 的面积比为 1:4,根据等高三角形的面积比等于对 应底的比,可得 DN:CM=1:4,然后设 DN=x,由勾股定理可求得 MN 的长,从而求得答案: 1. 如图,矩形 ABCD 中,E 是 AD

12、的中点,将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE,延长 BG 交 CD 于 F 点, 若 CF=1,FD=2,则 BC 的长为【 】 A B C D 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形的性质和判定,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定 理。 学科#网 【解析】【解析】过点 E 作 EMBC 于 M,交 BF 于 N。 2. 折纸是一种传统的手工艺术,也是每一个人从小就经历的事,它是一种培养手 指灵活性、协调能力的游戏,更是培养智力的一种手段在折纸中,蕴涵许多数学知识,我们还可以通过 折纸验证数学猜想把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开,请选择所得到的数学结论 【 】 A角

13、的平分线上的点到角的两边的距离相等 B在直角三角形中,如果一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 C直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) 。 3. 如图,在 RtABC 中,C=90 ,A=30 ,BC=1,点 D 在 AC 上,将ADB 沿直线 BD 翻折后,将点 A 落在点 E 处,如果 ADED,那么线段 DE 的长为 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),折叠对称的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,三角形内 角和定理,等腰三角形的判定和性质。 【解析】【解

14、析】在 RtABC 中,C=90 ,A=30 ,BC=1, 。 将ADB 沿直线 BD 翻折后,将点 A 落在点 E 处,ADB=EDB,DE=AD。 ADED,CDE=ADE=90 , EDB=ADB=。 CDB=EDBCDE=135 90 =45 。 C=90 ,CBD=CDB=45 。 CD=BC=1。DE=AD=ACCD=。 .4. 如图,在等腰ABC 中,ABAC,BAC50 BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O,点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合,则CEF 的度数是 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),等腰三角形的性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线的判定和性质。

15、点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合,EOEC,CEFFEO。 CEFFEO(18002 400) 250 。 5. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,将ABE 沿 AE 折叠,使点 B 落在 AC 上的点 B 处,又将CEF 沿 EF 折叠,使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 BC:AB 的值为 。 来源:Z.xx.k.Com 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的性质,矩形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,全等三角 形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 学科#网 6.如图, 将正方形ABCD沿BE 对折, 使点A落在对角

16、线BD 上的A处, 连接AC, 则BAC= 度 来源:学科网 【考点】【考点】折叠问题,折叠的对称性质,正方形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,相似三 角形的判定和性质,三角形内角和定理,平角定义。 【解析】【解析】由折叠的对称和正方形的性质,知ABEABE, BEA=67.50,ADE 是等腰直角三角形。 设 AE=AE=AD =x,则 ED=。设 CD=y,则 BD=。 。 又EDA=ADC=450,EDAADC。DAC=DEA=67.50450=112.50。 BAC=1800112.50=67.50。 7.如图,在扇形 OAB 中,AOB=90 ,半径 OA=6将扇形 OAB 沿过点 B 的直 线折叠,点 O 恰好落在 上点 D 处,折痕交 OA 于点 C,求整个阴影部分的周长和面积 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,弧 长的扇形面积的计算。