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专题02 新定义阅读型问题-中考数学专题拓展提高讲练(解析版)

1、 1.考点解析 所谓“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要 求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. 2.考点分类:考点分类见下表 考点分类 考点内容 考点分析与常见题型 常考热点 三角形 三角形的性质与定理 一般考点 二次函数 结合高中二次函数的内容 冷门考点 圆 圆,曲线的新定义 【方法点拨】 “新定义型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法; 二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移. 一、中考题型分析一、中考题型分析 “新定义”型问题成为近年来

2、中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能 力。近几年命题情况来看,该类题型为必考型,一般一道选择或填空再加一道答题,占 8 到 12 分。 二、典例精析二、典例精析 考点一:规律题型中的新定义考点一:规律题型中的新定义 典例一:典例一:定义: a 是不为 1 的有理数,我们把 称为 a 的差倒数 如:2 的差倒数是 =-,1 的差倒数是= 已知 a1,a2是 a1 的差倒数,a3是 a2的差倒数, a4 是 a3的差倒数, ,依此类推,a2009 【考点】有【考点】有理数,倒数,新定义题型找规律 【解析】【解析】本题的核心是理解差倒数的概念,要根据定义去做,通过计算找

3、出差倒数的规律,同时逐一 分析循环的规律。 解答: a2= = a3= a4= =- 显然每三个循环一次,又因为 2009 3=669 余 2,故 a2009=a2 典例二:典例二:古希腊数学家把 1,3,6,10,15,21,叫做三角形数,其中 1 是第一个三角形数,3 是第二 个三角形数,6 是第三个三角形数,依此类推,第 100 个三角形数是_5_050_ 来源:学#科#网 考点二:运算题型中的新定义考点二:运算题型中的新定义来源来源:Zxxk.Com 典例一:典例一: 对于两个不相等的实数 a、 b , 定义一种新的运算如下, a*b= (a+b0) , 如: 3*2= =,那么 6*

4、(5*4)= 1 【解析】【解析】本题考察了运算的新定义,结合题目给定的运算方式进行模仿去计算 学科#网 【解答】【解答】6*(5*4)=6 *=6 * 3= =1 典例二:典例二:对于任意实数 m,n,定义一种运算 mnmnmn3,等式的右边是通常的加减和乘法运 算例如:353 535310.请根据上述定义解决问题:若 a2x7,且解集中有两个整数解,则 a 的取值范围是_4a5_ 【解析】【解析】 2x2x2x3x1 ax17,即 a1x6, 若解集中有两个整数解,则这两个整数解为 5,4 即 a14, a13,解得 4a5. 考点三:探索题型中的新定义考点三:探索题型中的新定义 典例一:

5、典例一:设 a,b 是任意两个实数,用 maxa,b表示 a,b 两数中较大者,例如:max1,1 1,max1,22,max4,34,参照上面的材料,解答下列问题:来源:Z+xx+k.Com (1)max5,2_5_,max0,3_3_; (2)若 max3x1,x1x1,求 x 的取值范围; (3)求函数 yx22x4 与 yx2 的图象的交点坐标,函数 yx22x4 的图象如图 112 所示, 请你在图中作出函数 yx2 的图象,并根据图象直接写出 maxx2,x22x4的最小值 【解析】 (1)比较 5 和 2,0 和 3 的大小关系即可求得答案; (2)若 max3x1,x1x1,得

6、x13x1,由此可求得答案; (3)求得抛物线与直线的交点坐标,再利用新定义确定 maxx2,x22x4的最小值 典例二:典例二:定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形 如图,等腰直角四边形 ABCD,ABBC,ABC90 . 若 ABCD1,ABCD,求对角线 BD 的长 若 ACBD,求证:ADCD. 【解析】由 ABCD,ABCD,得到四边形 ABCD 是平行四边形再根据 ABBC,ABC90 , 判断出平行四边形 ABCD 的形状,利用勾股定理计算出 BD 的长由 ABBC,ACBD,根据等腰 三角形的三线合一性得到ABDCBD,再证明ABDCBD; 学

7、科¥%网 1. 定义一种新的运算:x*yx2y x ,如:3*132 1 3 5 3,则(2*3)*2_2_ 【解析】 根据新运算的定义,(2*3)*222 3 2 *24*242 2 4 2. 2. 如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”,下列各组数据中, 能作为一个智慧三角形三边长的一组是( D ) A1,2,3 B1,1, 2 C1,1, 3 D1,2, 3 【解析】 A123,不能构成三角形故错误; B.1212( 2)2,是等腰直角三角形故错误; C.底边上的高线长是12 3 2 2 1 2,可知是顶角 120 ,底角 30 的等腰三角形故错误

8、; D.解直角三角形可知该三角形是三个角分别为 90 , 60 , 30 的直角三角形, 其中 90 30 3, 符合“智慧三角形”的定义 故 D 正确故选 D. 3. 我们定义:当 m,n 是正实数,且满足 mnmn 时,就称 P m,m n 为“完美点”,已知点 A(0,5)与点 B 都在直线 yxb 上,且 B 是“完美点”,若 C 也是“完美点”且 BC 2,则点 C 的坐标可以是 ( B ) A(1,2) B(2,1) C(3,4) D(2,4) 4. 如果关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0 有两个实数根, 且其中一个根为另一个根的 2 倍, 则称这样的 方程为“倍根方程”,以

9、下关于倍根方程的说法,正确的是_(写出所有正确说法的序号) 方程 x2x20 是倍根方程; 若(x2)(mxn)0 是倍根方程,则 4m25mnn20; 若点(p,q)在反比例函数 y2 x的图象上,则关于 x 的方程 px 23xq0 是倍根方程; 若方程 ax2bxc0 是倍根方程,且相异两点 M(1t,s),N(4t,s)都在抛物线 yax2bxc 上, 则方程 ax2bxc0 的一个根为5 4. 5. 若抛物线 L:yax2bxc(a,b,c 是常数,abc0)与直线 l 都经过 y 轴上的一点 P,且抛物线 L 的顶点 Q 在直线 l 上,则称此直线 l 与该抛物线 L 具有“一带一

10、路”关系此时,直线 l 叫做抛物线 L 的“带线”, 抛物线 L 叫做直线 l 的“路线” 学科¥%网 (1)若直线 ymx1 与抛物线 yx22xn 具有“一带一路”关系,求 m,n 的值;来源:学&科&网 (2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数 y6 x的图象上,它的“带线”l 的表达式为 y2x4,求此“路线”L 的 表达式; (3)当常数 k 满足1 2k2 时,求抛物线 L:yax 2(3k22k1)xk 的“带线”l 与 x 轴,y 轴所围成的三角 形的面积的取值范围 【解答】【解答】(1)令直线 ymx1 中 x0,则 y1,即直线与 y 轴的交点为(0,1),将(0,1)代入

11、抛物线 y x22xn 中,得 n1. 抛物线的表达式为 yx22x1(x1)2, 抛物线的顶点坐标为(1,0) 将点(1,0)代入到直线 ymx1 中,得 0m1, 解得 m1. 解得 p3k 22k1 2 .来源:学科网 “带线”l 的表达式为 y3k 22k1 2 xk. 令“带线”l:y3k 22k1 2 xk 中,y0,则 03k 22k1 2 xk,解得 x 2k 3k22k1. 即“带线”l 与 x 轴的交点为 2k 3k22k1,0 ,与 y 轴的交点为(0,k) “带线”l 与 x 轴,y 轴所围成的三角形面积 S1 2 2k 3k22k1 |k|, 1 2k2, 1 2 1 k2,