1、四川省四川省射洪县射洪县 20202020 届高三数学上学期期中试题届高三数学上学期期中试题( (理理) ) 第第 I I 卷卷( (选择题选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1已知集合1,0,1,2 ,|2 x ABy y ，则AB A1,0,1 B1,2 C0,1，2 D 1,1，2 2复数 1 i i 的共轭复数为 A B C D 3若命题，则是 A， B， C， D， 4如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高
2、为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个 几何体的表面积为 A.2 B. 5 2 C.4 D.5 5函数的最大值是 A. B. C. D. 6若实数 , x y满足 4 2 1 xy xy x ，则 1 xy x 的最小值是 4 230yxx x 22 324 322 324 3 A. 4 11 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 2 7已知函数的最小正周期是，那么正数 A B C D 8若 1 tan 43 ，则cos2等于 A. 3 5 B. 1 2 C. 1 3 D.3 9函数 1 sin 1 x x e yx e 的部分图像大致为 A B C D 10已知 ln2ln3ln6 , 236
3、 abc则, ,a b c的大小关系是 A.cba B.bac C.abc D.cab 11若函数 3 3 =-ln 3 fxxxx，则曲线 yf x在点 -1,-1f处的切线的倾斜角是 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 12 若对于任意xR都有( )2 ()3cossinf xfxxx， 则函数(2 )cos2yfxx的图象的对称中心 为 A ,0 , 4 kk Z B,0 ,kkZ C,0 , 24 k k Z D,0 , 2 k k Z 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知函数 2 21f
4、xx xf ，则 1f的值为_ 14已知函数sin()(0,0)yAxA的图像上一个最高点的坐标为(2, 2)，由这个最高点到其 相邻的最低点间图像与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为_ 15己知函数 ( )f x是定义在R上的周期为 2 的奇函数，0 1x时，( )4xf x ， 5 ()(2019) 2 ff的值 是_. 16, ,A B C D是同一球面上的四个点，, 2 ABCBACABAC 中，,AD平面ABC， 6AD， 2 3AB ,则该球的表面积为_. 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤，第 17 2117 21 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .） 17.（本大题满分 12 分） 已知向量)sin,(cosa ，)sin,(cosb ， 5 52 |ba . （）求cos( ) 的值； （2）若0 22 ，且 5 sin 13 ，求sin的值. 18（本大题满分 12 分） 在 ABC中，, ,a b c分 别 为 角, ,A B C的 对 边 ，且sinsinsinBCA C. （）求角A； （2）若3a ，求2bc的最大值. 19（本大
6、题满分 12 分） 已知( )f x为定义在1,1上的奇函数，当1,0 x 时，函数解析式 1 ( )() 42 xx a f xaR （）写出( )f x在0,1上的解析式； （）求( )f x在0,1上的最大值 20（本大题满分 12 分） 已知在三棱锥ABCD中，ABC是等腰直角三角形，且,2,ACBC BC AD 平面 ,1.BCD AD （）求证：平面ABC 平面ACD； （）若E为AB的中点，求二面角A CED的余弦值. 21（本大题满分 12 分） 已知函数，其中，为自然对数的底数. （）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值； （）若，函数在区间内有零点，求 的取值范围 （二
7、）选考题：共（二）选考题：共 1010 分，请考生在第分，请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt （t为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 cos (0)aa. （）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （）若直线l与曲线C相交于,A B两点，设点(0, 1)M，已知 2 | | |MAMBAB，求实数a的值.
8、23已知函数( ) |41|2|f xxx （）解不等式( )8f x ； （）若关于x的不等式 2 ( )5|2|8f xxaa的解集不是空集，求a的取值范围 参考答案参考答案 1-5:BCDBB 6-10:CBABB 11-12:BD 13-3 142sin 84 yx 152 1660 17（1） 2 5 5 ab， 22 4 2. 5 aa bb 又(cos ,sin)a，(cos,sin)b， 22 1ab ，coscossinsincos()a b， 3 cos(). 5 （2）0 22 ，0. 由（1）得 3 cos() 5 ， 4 sin() 5 ， 又 5 sin 13 ，
9、12 cos 13 ，sinsin()sin()coscos()sin 4123533 . 51351365 18（1）因为sinsinsinBCAC，所以sinsinsinACCAC， 所以 1 sincoscossinsinsincoscossincos 2 ACACCACACA， 因为0A，所以 3 A . （2）由（1）得 2 3 CB ， 由正弦定理2 sinsinsin abc R ABC ，所以 3 2 sin sinsin() 33 bc B B ， 所以 2 2 3sin,2 3sin() 3 bB cB ， 所以 2 22 3sin4 3sin()2 3(2sin3cos)
10、 3 bcBBBB 2 21sin()B，其中 3 tan,(0,) 22 ， 由 2 (0,) 3 B ，存在B使得 2 B ，所以sin()B的最大值为 1， 所以2bc的最大值为2 21. 19（1）( )f x为定义在1,1上的奇函数，且( )f x在0 x处有意义，(0)0f， 即 00 1 (0)10 42 a fa 1a 设0,1x，则1,0 x ， 11 ()42 42 xx xx fx ； 又 ()fxf x，( )42 xx f x；所以( )24 xx f x （2）当0,1x时， 2 ( )242(2 ) xxxx f x ，设2 (0) x tt，则 2 ( )f t
11、tt 0,1x，1,2t当1t 时，取最大值，最大值为1 10 20（1） 证明： 因为AD 平面,BCD BC 平面BCD， 所以ADBC， 又因为,ACBC ACADA， 所以BC 平面,ACD BC 平面ABC，所以平面ABC 平面ACD. 由已知可得3CD 如图所示建立空间直角坐标系，由已知0,0,0C，0,2,0B，3,0,1A， 3,0,0D， 31 ,1, 22 E .有 31 ,1, 22 CE ，3,0,1CA，3,0,0CD ，设平面ACE的法 向量, ,nx y z，有 30 0 , 31 00 22 xz n CA n CExyz ，令1x ，得1,0,3n ， 设平面
12、CED的法向量, ,mx y z，有 30 0 , 31 00 22 x m CD m CExyz ，令1y ，得0,1, 2m，二 面角A CED的余弦值 2 315 cos 52 5 n m n m . 21：（） 当时，所以. 当时，由得. 若，则；若，则. 所以当时，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，所以. （）设为在区间内的一个零点，则由可知， 在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减. 则不可能恒为正，也不可能恒为负. 故在区间内存在零点. 同理在区间内存在零点. 所以在区间内至少有两个零点. 由（）知，当时，在上单调递增，故在内至
13、多有一个零点. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点. 所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增， 因此，必有 . 由得：，有 ;解得. 当时，在区间内有最小值. 若，则， 从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以. 又， 故此时在和内各只有一个零点和. 由此可知在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增. 所以， 故在 内有零点.综上可知， 的取值范围是. 22解：（1）因为直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt 消去t化简得直线l的普通方程：310 xy 由2acos得 2 2a cos，因为 222 xy， cosx 所以 22 2xyax， 所以曲线C的直角坐标方程为 22
14、 20 xyax （2）将 1 2 3 1 2 xt yt 代入 22 20 xyax得 2 2 13 10 42 ttat 即 2 310ta t ， 2 340a 则 12 3tta， 1 2 1t t ， 1 2 1MAMBtt， 2 |1AB 2 22 2 12121 2 |4341ABttttt ta 0a，53a ，满足 2 340a 53a 23（1）由题意可得 33,2 1 51, 2 4 1 33, 4 xx f xxx xx ， 当2x时，338x ，得 5 3 x ，无解； 当 1 2 4 x 时，51 8x ，得 9 5 x ，即 91 54 x； 当 1 4 x 时，338x ，得 11 3 x ，即 111 43 x.所以不等式的解集为 911 | 53 xx. （2） 5241489f xxxx ，则由题可得 2 89aa，解得1a或9a.