1、四川省泸县四川省泸县 2020 届高三数学上学期期中理科试题（届高三数学上学期期中理科试题（3） 第第 I I 卷卷( (选择题选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合 题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1设全集U R，集合 2 log2Axx，310Bx xx，则 UB A A, 1 B, 10,3 C0,3 D0,3 2已知复数 1 z i i ，则z的虚部是 A. 1 2 B. 1 2 i C. 1 2 D. 1 2 i 3设命题： 2 :,(1)10pxZx ，则
2、 p 为 A 2 ,(1)10 xZx B 2 00 ,110 xZx C 2 ,(1)10 xZx D 2 00 ,110 xZx 4设x，y满足约束条件 2390 30 0 xy xy y ，则 2zxy 的最大值是 A 9 2 B3 C6 D8 5 22 cos15sin195 22 的值为（ ） A 3 2 B 1 2 C 3 2 D 1 2 6函数 f（x）xe cosx（x，）的图象大致是 A B C D 7函数( )3sincos ,0,f xxx x的单调递减区间是 A. 3 2 , 0 B. 3 2 , 2 C. , 3 D. 6 5 , 2 8已知01abc ，logamc
3、，logbnc， c ra，则m n r ，的大小关系是 A.nmr B. mrn C.rmn D.mnr 9设函数 32 1f xxaxax若 f x为奇函数，则曲线 yf x在点00，处的切线方程为 A2yx By x C2yx Dy x 10已知函数 yf x在区间(,0)内单调递增，且 fxf x，若 1.2 1 2 1 log 3 ,2, 2 afbfcf ，则a，b，c的大小关系为 Abca Bacb Cbac Dabc 11函数 1 1 y x 的图像与函数2sin( 24)yxx 的图像所有交点的横坐标之和等于 A2 B4 C6 D8 12设函数 lnf xxxm，若曲线 1
4、e1e cos 22 yx 上存在 00 ,x y，使得 00 ffyy 成 立，则实数m的取值范围为 A. 2 0,ee1 B. 2 0,ee 1 C. 2 0,ee1 D. 2 0,ee 1 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分） 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 (2,),(1, 2)abm rr ，且ab，则实数m的值是_. 14设函数 sin, ,f xAxA 为参数，且0,0,0A的部分图象如图所示，则 的值为_. 15 已知曲线 3 2ln 3 x f xx x 在点 1,1f处的切线的倾斜角为， 则 22 2 sinc
5、os 2sincoscos = _ 16 已知函数 32 331f xxaxx在区间2,3上至少有一个极值点， 则a的取值范围为_ 三、解答题（共三、解答题（共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 2117 21 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. .） 17.（本大题满分 12 分） 已知函数 2 43,f xxxaaR. （）若函数 yf x的图象与x轴无交点，求a的取值范围； （）若函数 yf
6、 x在 1,1 上存在零点，求a的取值范围. 18（本大题满分 12 分） 已知向量,cos2,sin2 ,amxbx n，函数 f xa b，且 yf x的图像过点, 3 12 和点 2 , 2 3 . （）求 ,m n的值； （）将 yf x的图像向左平移(0)个单位后得到函数 yg x的图像，若 yg x图像上 各最高点到点（0,3）的距离的最小值为 1，求 yg x的单调递增区间. 19（本大题满分 12 分） 在锐角三角形ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知()(sinsin)(sinsin)acACbAB. （）求角C的大小； （）求 22 coscos
7、AB的取值范围。 20（本大题满分 12 分） 如图,在三棱锥PACD中, 3ABBD ,PB 底面ACD，BCAD，10AC ，5PC ，且 2 cos 10 ACP. （）若E为AC上一点，且EFAC，证明：平面PBE 平面PAC. （）求二面角APCD的余弦值. 21（本大题满分 12 分） 已知函数 2 11 ( )ln 22 f xaxxax （a为常数，0a）. （I） 当( )yf x在 1 2 x 处取得极值时， 若关于x的方程( )=0f x -b在0,2上恰有两个不相等的实数根， 求实数b的取值范围； （II）若对任意的(1,2)a，总存在 0 1 ,1 2 x 使不等式
8、2 0 23f xm aa 成立，求实数m的取值 范围. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 23cos 1 3sin x y （为参数）.以坐标原点O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （）求曲线C的极坐标方程； （）过点( 2,1)的直线l与曲线C交于A，B两点，且2AB ，求直线l的方程. 23已知函数( ) |25|(0)f xxaxa. （）当2a时，解不等式( )5f x ； （）当 ,22xaa时，不等式(
9、) |4|f xx恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案参考答案 1-5:DADCA 6-10:BCADA 11-12:DD 131 14 3 15 8 7 16 5 5 , 4 3 17(1)若函数yf(x)的图象与x轴无交点， 则方程f(x)0 的根的判别式0，即 164(a3)1. 故a的取值范围为a1. (2)因为函数f(x)x 24xa3 图象的对称轴是 x2， 所以yf(x)在1,1上是减函数 又yf(x)在1,1上存在零点， 所以,即, 解得8a0.故实数a的取值范围为8a0. 18（1）由题意知， sin2cos2f xmxnx. 因为 yf x的图像过点, 3 12 和点 2
10、 , 2 3 ， 所以 3, 66 44 2, 33 msinncos msinncos ，即 13 3, 22 31 2, 22 mn mn 解得3,1mn. （2）由（1）知 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx ， 由题意知， 2sin 22 6 g xf xx . 设 yg x的图像上符合题意的最高点为 0,2 x， 由题意知， 2 0 11x ，所以 0 0 x ， 即到点（0,3）的距离为 1 的最高点为（0,2）， 将其代入 yg x得，sin 21 6 .因为0，所以 6 ， 因此， 2sin 22cos2 2 g xxx . 由222,kxkkZ得, 2 kxkk
11、Z ， 所以函数 yg x的单调递增区间为, 2 kkkZ . 19（1）因为sinsinsinsinacACbAB，由正弦定理得 acacb ab，即 222 abcab， 则 222 1 22 abc ab 根据余弦定理得 1 cos 2 C 又因为0C，所以 3 C （2）因为 3 C ，所以 4 22 3 BA 则 22 1cos21cos21 coscos1cos2cos2 222 AB ABAB 14 1cos2cos2 23 AA 1 13 1cos2sin2 2 22 AA 1 1cos 2 23 A 因为三角形ABC为锐角三角形且 3 C ，所以 62 A 则 24 2 33
12、3 A 所以 1 1cos 2 62 A ， 所以 22 13 coscos 24 AB即 22 coscosAB的取值范围为 13 24 ， 20（1）证明： PB 平面ACD，AC 平面ACD PBAC. 又BEAC，BEBDB， AC 平面PBE. AC 平面PAC， 平面PBE 平面PAC. （2）解： 在ACP中，由余弦定理得 222 2 2cos152 5 213 10 APACPCAC PCACP , 13AP ， 由条件得 22 22 22 10, 5, 13, ABBC BCPB ABPB 解得 3, 1, 2. AB BC PB / /BQ平面PAC，BQ 平面PAD，平面
13、PAC平面PADPA， / /BQPA， 3 PQAB QDBD . 过Q作/ /QHPB，交AD于H，则QH为三棱锥QACD的高，则 11 42 QHPB. 3 14ADABBD ， 1111 4 1 3223 Q ACD V . 即三棱锥QACD的体积为 1 3 。 21（1） 1 2,10 1 12 1 2 aa fxxa fa ax a ，即 2 20aa，又0a所以2a， 此时 221 12 xx fx x ，所以 1 0, 2 x 上递减， 1 ,2 2 x 上递增， 又 1135 0ln,2ln 2242 fff ，所以 31 ln 42 b （2） 2 22 2222 2 11
14、1 xaxaaxax a fxxa axaxax 因为12a，所以 2 2121 0 222 aaa aa ，即 2 21 22 a a 所以 f x在 1 1 2 ，上单调递增，所以 max 11 1ln1 22 f xfaa 问题等价于对任意1,2a，不等式 2 11 ln123 22 aam aa 成立 设 2 11 ln123 12 22 h aaam aaa ， 则 2 211 1 22 11 am a h amam aa 当0m时， 0h a ，所以 h a在区间1,2上单调递减，此时 10h ah 所以0m不可能使 0h a 恒成立，故必有，因为 2 14aa 若 1 8 m ，
15、可知 h a在区间1,2上单调递增，在此区间上有 10h ah满足要求 若 1 0 8 m，可知 h a在区间 1 1,min1,2 4m 上递减，在此区间上有 10h ah，与 0h a 恒成立相矛盾，所以实数m的取值范围是 1 , 8 . 22（）消去参数，可得曲线C的普通方程为 22 (2)(1)9xy， 22 4240 xyxy.由 cos sin x y rq rq = = 所以曲线C的极坐标方程为 2 4 cos2 sin40. （）显然直线l的斜率存在，否则无交点. 设直线l的方程为1(2)yk x ，即210kxyk . 而2AB ，则圆心到直线l的距离 2 2 9 12 2
16、2 AB dr . 又 2 |4 | 1 k d k ，所以 2 |4 | 2 2 1 k k ，解得1k . 所以直线l的方程为10 xy 或30 xy. 23（1）当2a时， 33 ,2 5 2257, 2 2 5 33, 2 x x f xxxxx xx ， 由 5f x ，得 2 3 35 x x ，即 2 2 3 x x ，2x 或 5 2 2 75 x x ，即 5 2 2 2 x x ，22x 或 5 2 335 x x ，即 5 2 8 3 x x ， 8 3 x 综上：2x或 8 3 x ， 所以不等式 5f x 的解集为 8 |2 3 x xx或. （2） 4f xx， 254f xxaxx， 因为,22xaa，22aa， 所以2a， 又,22xaa，0 xa，40 x， 得254xaxx. 不等式恒成立，即254xa在,22xaa时恒成立， 不等式恒成立必须4a，4254axa ， 解得129axa .所以 21 449 aa aa ， 解得 13 1 5 a，结合24a，所以 13 2 5 a，即a的取值范围为 13 2, 5 .