1、2018-2019 学年山东省青岛市崂山区七年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市崂山区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （3 分）下列四个图形中，不是轴对称图形是（ ） A B C D 2 （3 分）下列计算正确是（ ） Aa3+a2a5 Ba8a4a2 C （a4）2a8 D （a）3（a）2a5 3 （3 分）如图，已知 ABED，ECF65，则BAF 的度数为（ ） A115 B65
2、 C60 D25 4 （3 分）下列事件：在足球赛中，弱队战胜强队；抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上；任取两 个正整数，其和大于 1；太阳从西边升起，其中确定事件有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5 （3 分）根据如图所示的计算程序若输入的值 x2，则输出的值 y 为（ ） A2 B7 C5 D3 6 （3 分）如图，在ABE 中，BABE，F 为 AE 中点若ABC34，C50，则ADB 的度数为 （ ） A60 B63 C67 D70 7 （3 分）若从长度分别为 3、5、6、9 的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为（ ） A B C D 8 （3 分）如图，AD
3、是ABC 中BAC 的平分线，DEAB 交 AB 于点 E，DFAC 交 AC 于点 F，若 SABC 7，DE2，AB4，则 AC 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9 （3 分）计算： （3） 2+（3.14）0 10 （3 分）PM2.5 是大气压中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示 为 11（3 分） 如图， 已知BACDAE90， ABAD， 要使ABCADE， 还需要添加的条件是 （只 需添加一个条件即可） 12
4、 （3 分）如图二，A、B 两点分别位于一个池塘的两端，点 C 是 AE 的中点，也是 BD 的中点，图一表示 的是小明从 D 点走到 E 点路程与时间的关系， 已知小明从 D 点到 E 点走了 3 分钟， 则 AB 米 13 （3 分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y（cm）与所挂的物体的质量 x（kg）间有下面的关 系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 则 y 关于 x 的关系式为 14 （3 分）若 ab4，ab3，则代数式（2a1） （2b+1）的值为 15 （3 分）如图，把一个长方形纸片 ABCD 折叠后，点 D，C 分别落
5、在 D，C的位置，DC交 BC 于点 G，若DEF65，则BGD的度数是 16 （3 分）一个大正方形和四个全等的小正方形接图、两种方两种方式摆放，则图的大正方形中阴 影部分的面积是 （用 a、b 的代数式表示） 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分） 17 （4 分）已知：AOB，点 C 在射线 OB 上 求作：点 P使点 P 在AOB 的平分线上，且 PCOA 四、解答题（本题共有四、解答题（本题共有 8 道题，满分道题，满分 68 分）分） 18 （14 分） （1）化简： （m3n4） （3m2n）（mn2）2 （2）化简： （3x+2）2（3x1） （1+3x） （3
6、）先化简，再求值：（2x+y） （y4x）（3x+y）2x，其中 x2，y1 19 （6 分）如图，方格子的边长为 1，ABC 的顶点在格点上 （1）画出ABC 关于直线 l 对称的A1B1C1； （2）求ABC 的面积 20 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，已知 BE 平分ABC，AEBABE，D70 （1）说明：ADBC； （2）求C 的度数 21 （6 分）一个布袋中有 8 个红球和 16 个白球，它们除颜色外都相同 （1）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的 概率是，问取走了多少个白球？（要
7、求通过列式或列方程解答） 22 （8 分）如图，在 RtABC 中，ABC90点 D 在 BC 的延长线上，且 BDAB过点 B 作 BEAC， 与 BD 的垂线 DE 交于点 E （1）求证：ABCBDE； （2）请找出线段 AB、DE、CD 之间的数量关系，并说明理由 23 （8 分）已知 A、B 两地相距 50 千米，甲于某日下午 1 时骑自行车从 A 地出发驶往 B 地，乙也在同日下 午骑摩托车按同路从 A 地出发驶往 B 地，如图所示，图中的折线 PQR 和线段 MN 分别表示甲、乙所行 驶的路程 S（千米）与该日下午时间 t（时）之间的关系根据图象回答下列问题： （1）甲出发 小时
8、后，乙才开始出发；乙的速度为 千米/时：甲骑自行车在全程的平均速 度为 千米； （2）乙出发多少小时后就追上了甲？写出解答过程： （3）请你自己再提出一个符合题意的问题情境，并解答 24 （10 分）将一副三角板中的两根直角顶点 C 叠放在一起（如图） ，其中A30，B60，D E45 （1）若BCD150，求ACE 的度数； （2）试猜想BCD 与ACE 的数量关系，请说明理由； （3）若按住三角板 ABC 不动，绕顶点 C 转动三角板 DCE，试探究BCD 等于多少度时，CDAB，并 简要说明理由 25 （10 分）问题背景： 我们学习了整式的乘法， 两个多项式相乘， 我们可以运用法则，
9、将其展开， 例如：（a+b）（a+2b） a2+3ab+2b2， 而将等号的左右两边互换，我们得到了 a2+3ab+2b2（a+b） （a+2b） ，等号的左边是一个多项式，而右 边是几个整式相乘的形式，我们规定将一个多项式写成几个整式相乘的形式，这种运算称之为“因式分 解” 问题提出： 如何将 2a2+3ab+b2进行因式分解呢？ 问题探究： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且 具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图 形面积的方法进行直观推导和解释 例如：我们可以通过表示几何图形面积的方
10、法来快速的对多项式 a2+2ab+b2进行因式分解 如图 1 所示边长为（a+b）的大正方形是由 1 个边长为 aa 的正方形，2 个边长为 ab 的长方形，1 个 边长为 bb 的正方形（ab）组成，我们可以用两种方法表示大正方形的面积，这个图形的面积可以表 示成：a2+2ab+b2或（a+b）2 a2+2ab+b2（a+b）2 我们将等号左边的多项式写成了右边两个整式相乘的形式，从而成功的对多项式 a2+2ab+b2进行了因式 分解 请你类比上述方法，利用图形的几何意义对多项式 2a2+3ab+b2进行因式分解（要求自己构图并写出推证 过程） 问题拓展： 如何利用图形几何意义的方法推导：1
11、3+2332？如图 2，A 表示 1 个 11 的正方形，即：11113 B 表示 1 个 22 的正方形，C 与 D 恰好可以拼成 1 个 22 的正方形，因此：A、B、C、D 就可以表示 2 个 22 的正方形，即：22223而 A、B、C、D 恰好可以拼成一个（1+2）（1+2）的大正方形 由此可得：13+23（1+2）232 尝试解决： 请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推导出 13+23+33的值 （要求自己构造图形并写出推证 过程） 归纳猜想： 13+23+33+n3 2018-2019 学年山东省青岛市崂山区七年级（下）期末数学试卷学年山东省青岛市崂山区七年级（下）期末数
12、学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1 （3 分）下列四个图形中，不是轴对称图形是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根 据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合
13、题意； 故选：B 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折 叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形 2 （3 分）下列计算正确是（ ） Aa3+a2a5 Ba8a4a2 C （a4）2a8 D （a）3（a）2a5 【分析】 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案 【解答】解：A、a3+a2无法计算，故此选项错误； B、a8a4a4，故此选项错误； C、 （a4）2a8，正确； D、 （a）3（a）2a5，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并
14、同类项和幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法 则是解题关键 3 （3 分）如图，已知 ABED，ECF65，则BAF 的度数为（ ） A115 B65 C60 D25 【分析】由平行线的性质得出内错角相等BACECF65，再由平角的定义即可得出BAF 的度 数 【解答】解：ABED， BACECF65， BAF180BAC18065115； 故选：A 【点评】本题考查了平行线的性质、平角的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问 题的关键 4 （3 分）下列事件：在足球赛中，弱队战胜强队；抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上；任取两 个正整数，其和大于 1；太阳从西边升起，其中确定事件有
15、（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能 事件，必然事件和不可能事件都是确定的根据确定事件的概念对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，不是确定事件，故不合题意； 抛掷 1 枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，不是确定事件，故不合题意； 任取两个正整数，其和大于 1 是必然事件，是确定事件，故符合题意； 太阳从西边升起，是不可能事件，是确定事件，故符合题意 综上可得只有属于确定事件，共 2 个 故选：B 【点评】本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可
16、能不发生的事件，称为随机事件事 件分为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确定事件又分为必然事件和不可能事件 5 （3 分）根据如图所示的计算程序若输入的值 x2，则输出的值 y 为（ ） A2 B7 C5 D3 【分析】由于 x20，则把 x2 代入 x2+1 中计算即可 【解答】解：当 x2，yx2+14+15 故选：C 【点评】本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值 6 （3 分）如图，在ABE 中，BABE，F 为 AE 中点若ABC34，C50，则ADB 的度数为 （ ） A60 B63 C67 D70 【分析】根据等腰三角形的性质可求DBC
17、，再根据三角形外角的性质即可求解 【解答】解：在ABE 中，BABE，F 为 AE 中点，ABC34， DBC17， C50， ADB67 故选：C 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合 7 （3 分）若从长度分别为 3、5、6、9 的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为（ ） A B C D 【分析】利用列举法可得：从长度分别为 3、5、6、9 的四条线段中任取三条的可能结果有：3、5、6；3、 5、9；3、6、9；5、6、9；能组成三角形的有：3、5、6；5、6、9；然后利用概率公式求解即可求得答 案 【解答】解：从长度分
18、别为 3、5、6、9 的四条线段中任取三条的可能结果有：3、5、6；3、5、9；3、 6、9；5、6、9； 能组成三角形的有：3、5、6；5、6、9； 能组成三角形的概率为： 故选：A 【点评】此题考查了列举法求概率的知识此题难度不大，注意用到的知识点为：概率所求情况数与 总情况数之比 8 （3 分）如图，AD 是ABC 中BAC 的平分线，DEAB 交 AB 于点 E，DFAC 交 AC 于点 F，若 SABC 7，DE2，AB4，则 AC 的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】首先由角平分线的性质可知 DFDE2，然后由 SABCSABD+SACD及三角形的面积公式得 出结果 【解
19、答】解：AD 是ABC 中BAC 的平分线，DEAB 于点 E，DFAC 交 AC 于点 F， DFDE2 又SABCSABD+SACD，AB4， 742+AC2， AC3 故选：A 【点评】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意 掌握应用 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9 （3 分）计算： （3） 2+（3.14）0 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式+1 故答案为： 【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的
20、性质，正确化简各数是解题关键 10（3 分） PM2.5 是大气压中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物， 将 0.0000025 用科学记数法表示为 2.5 10 6 【分析】因为 0.00000251，所以 0.00000252.510 6 【解答】解：0.00000252.510 6； 故答案为：2.510 6 【点评】本题考查了较小的数的科学记数法，10 的次数 n 是负整数，它的绝对值等于非零数字前零的个 数 11 （3 分）如图，已知BACDAE90，ABAD，要使ABCADE，还需要添加的条件是 AE AC （只需添加一个条件即可） 【分析】此题是一道开放型的题目，答案
21、不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可 【解答】解：AEAC； 理由是：在ABC 和ADE 中 ABCADE（SAS） ， 故答案为：AEAC 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记判定定理的内容是解此题的关键，注意：全 等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 12 （3 分）如图二，A、B 两点分别位于一个池塘的两端，点 C 是 AE 的中点，也是 BD 的中点，图一表示 的是小明从 D 点走到 E 点路程与时间的关系， 已知小明从 D 点到 E 点走了 3 分钟， 则 AB 450 米 【分析】根据题目中的条件可证明ACBDCE，再
22、根据全等三角形的性质可得 ABDE，进而得到 答案 【解答】解：由图一知，小明从 D 点走到 E 点的速度为 3002150， DE1503450， 点 C 是 AD 的中点，也是 BE 的中点， ACDC，BCEC， 在ACB 和DCE 中， ACBDCE（SAS） ， DEAB450 米， 故答案为：450 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理 13 （3 分）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y（cm）与所挂的物体的质量 x（kg）间有下面的关 系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 则 y 关
23、于 x 的关系式为 y0.5x+10 【分析】根据题意可知，弹簧总长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg）之间符合一次函数关系，可设 y kx+10代入求解 【解答】解：设弹簧总长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg）之间符合一次函数关系为 ykx+10 由题意得 10.5k+10，解得 k0.5， 该一次函数解析式为 y0.5x+10， 故答案为 y0.5x+10 【点评】主要考查了用待定系数法求函数的解析式，关键是根据弹簧总长度 y（cm）与所挂物体质量 x （kg）之间符合一次函数关系 14 （3 分）若 ab4，ab3，则代数式（2a1） （2b+1）的值为 21 【分析】根据多项
24、式乘多项式的法则将（2a1） （2b+1）变形为 4ab+2（ab）1，再把 ab4，ab 3 代入计算即可 【解答】解：ab4，ab3， （2a1） （2b+1）4ab+2a2b1 4ab+2（ab）1 44+231 16+61 21 故答案为 21 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型 15 （3 分）如图，把一个长方形纸片 ABCD 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C的位置，DC交 BC 于点 G，若DEF65，则BGD的度数是 40 【分析】过 D作 DHAD，则 ADBCDH，依据平行线的性质，即可得到AEDHDE，BGD HDG，再根据
25、折叠的性质，即可得到AED50，进而得到BGD的度数 【解答】解：如图，过 D作 DHAD， ADBC， ADBCDH， AEDHDE，BGDHDG， 由折叠可得，DEFDEF65， AED50， HDE50， 又EDGD90， HDG905040， BGD40， 故答案为：40 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等 16 （3 分）一个大正方形和四个全等的小正方形接图、两种方两种方式摆放，则图的大正方形中阴 影部分的面积是 ab （用 a、b 的代数式表示） 【分析】设大正方形的边长为 x，小正方形的边长为 y，根据图示可得等量关系：大正方形边长+2 个 小
26、正方形的边长a，大正方形边长2 个小正方形的边长b，解出 x、y 的值，再利用大正方形的面 积减去 4 个小正方形的面积即可求解 【解答】解：设大正方形的边长为 x，小正方形的边长为 y， 由图和列出方程组得， 解得：； 图的大正方形中阴影部分的面积（）24（）2ab 故答案为：ab 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的关系，表示出大小两 个正方形的边长 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）分） 17 （4 分）已知：AOB，点 C 在射线 OB 上 求作：点 P使点 P 在AOB 的平分线上，且 PCOA 【分析】作AOB 的平分线 OM，作
27、 CNOA，CN 交 OM 于点 P，点 P 即为所求 【解答】解：如图，点 P 即为所求 【点评】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型 四、解答题（本题共有四、解答题（本题共有 8 道题，满分道题，满分 68 分）分） 18 （14 分） （1）化简： （m3n4） （3m2n）（mn2）2 （2）化简： （3x+2）2（3x1） （1+3x） （3）先化简，再求值：（2x+y） （y4x）（3x+y）2x，其中 x2，y1 【分析】 （1）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求 出值； （2
28、）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果； （3）原式中括号中利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项 式法则计算得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式（m3n4） （3m2n）（m2n4）m3n； （2）原式9x2+12x+49x2+112x+5； （3）原式（2xy8x2+y24xy9x26xyy2）x（8xy17x2）x8y17x， 当 x2，y1 时，原式83426 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 （6 分）如图，方格子的边长为 1，ABC
29、 的顶点在格点上 （1）画出ABC 关于直线 l 对称的A1B1C1； （2）求ABC 的面积 【分析】 （1）分别找出 A、B、C 三点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去周围多余三角形的面积即可得到ABC 的面积 【解答】解： （1）如图所示： （2）ABC 的面积： 34 1234 5 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，关键是找出对称点的位置 20 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，已知 BE 平分ABC，AEBABE，D70 （1）说明：ADBC； （2）求C 的度数 【分析】 （1）根据角平分线定义和已知求出AEBCBE，根据平行线的判定推出即可； （2）
30、根据平行线的性质得出C+D180，代入求出即可 【解答】解： （1）BE 平分ABC， ABECBE， AEBABE， AEBCBE， ADBC； （2）ADBC， C+D180， D70， C110 【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，注意：内错角相等，两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补 21 （6 分）一个布袋中有 8 个红球和 16 个白球，它们除颜色外都相同 （1）求从袋中摸出一个球是红球的概率； （2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的 概率是，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答） 【分析】根据概
31、率的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全部情况的总数 二者的比值就是其发生的概率 【解答】解： （1）布袋中有 8 个红球和 16 个白球，共 24 个，故从袋中摸出一个球是红球的概率是 P ； （2）解法一：球的总数不变，改变后，摸出一个球是红球的概率是，故红球有 2415 个， 红球增加的数目及取走白球的数目为 1587 答：取走了 7 个白球 解法二：设取走 x 个白球，则，解得 x7 答：取走了 7 个白球 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出 现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 22 （8 分）如图，在
32、RtABC 中，ABC90点 D 在 BC 的延长线上，且 BDAB过点 B 作 BEAC， 与 BD 的垂线 DE 交于点 E （1）求证：ABCBDE； （2）请找出线段 AB、DE、CD 之间的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）利用已知得出ADBE，进而利用 ASA 得出ABCBDE 即可； （2）根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：BEAC， A+ABE90， ABC90， DBE+ABE90， ADBE， 在ABC 和BDE 中， ABCBDE（ASA） ； （2）解：ABDE+CD， 理由：由（1）证得，ABCBDE， ABBD，BCDE， BDCD+BC，
33、 ABCD+DE 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 23 （8 分）已知 A、B 两地相距 50 千米，甲于某日下午 1 时骑自行车从 A 地出发驶往 B 地，乙也在同日下 午骑摩托车按同路从 A 地出发驶往 B 地，如图所示，图中的折线 PQR 和线段 MN 分别表示甲、乙所行 驶的路程 S（千米）与该日下午时间 t（时）之间的关系根据图象回答下列问题： （1）甲出发 1 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 50 千米/时：甲骑自行车在全程的平均速度为 12.5 千米； （2）乙出发多少小时后就追上了甲？写出解答过程： （3）请你自己再提
34、出一个符合题意的问题情境，并解答 【分析】 （1）根据图象，当时间变化时，路程将怎样变化，进而得出答案，乙骑摩托车从下午 2 时，到 下午 3 时，路程由 0 变化到 50 千米，得出乙的速度，同理甲在行走的过程中，前期与后期的速度不同， 但总里程 50 千米，用时 4 小时，求出平均速度， （2）可以求出各自的函数关系式，依据图象和关系式求出图象交点坐标即可 【解答】解： （1）从图象中发现乙比甲晚出发 1 小时，乙 1 小时走了 50 千米，速度为 50 千米/小时，甲 的平均速度总路程除以所用总时间，即 50（51）12.5 千米/小时 故答案为：1，50，12.5 （2）设 QR 的关
35、系式为：skt+b，把 Q（2，20） ，R（5，50）代入得： 解得：k10，b0， QR 的关系式为：s10t （2t5） 同理可求出：MN 的关系式为：s50t100 （2t3） 10t50t100 t2.5 2.520.5 答：乙出发 0.5 小时后就追上了甲； （3）提出问题： “乙出发多少时间，两车相距 15 千米” 求出 PQ 的关系式为：s20t20 （1t2） 甲在前乙在后相距 15 千米，即：10t（50t100）15，解得：t，2小时； 乙在前甲在后相距 15 千米，即：50t10010t15，解得：t，2小时； 答：乙出发小时或小时，两车相距 15 千米 【点评】考查一
36、次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的关系式以及识图能力，能从图象中获取相 关数量关系，感受自变量、因变量的变化关系，两个函数之间存在一定的关系，第（3）问是开放问题， 可根据情况灵活完成 24 （10 分）将一副三角板中的两根直角顶点 C 叠放在一起（如图） ，其中A30，B60，D E45 （1）若BCD150，求ACE 的度数； （2）试猜想BCD 与ACE 的数量关系，请说明理由； （3）若按住三角板 ABC 不动，绕顶点 C 转动三角板 DCE，试探究BCD 等于多少度时，CDAB，并 简要说明理由 【分析】 （1）由BCD150，ACB90，可得出DCA 的度数，进而得出ACE
37、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由BCDACB+ACD，ACEDCEACD 可得出结 论； （3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解 【解答】解： （1）BCAECD90，BCD150， DCABCDBCA1509060， ACEECDDCA906030； （2）BCD+ACE180，理由如下： BCDACB+ACD90+ACD， ACEDCEACD90ACD， BCD+ACE180； （3）当BCD120或 60时，CDAB 如图，根据同旁内角互补，两直线平行， 当B+BCD180时，CDAB，此时BCD180B18060120； 如图，根据内错角相等，两直线平行， 当B
38、BCD60时，CDAB 【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互 补，两直线平行熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键 25 （10 分）问题背景： 我们学习了整式的乘法， 两个多项式相乘， 我们可以运用法则， 将其展开， 例如：（a+b）（a+2b） a2+3ab+2b2， 而将等号的左右两边互换，我们得到了 a2+3ab+2b2（a+b） （a+2b） ，等号的左边是一个多项式，而右 边是几个整式相乘的形式，我们规定将一个多项式写成几个整式相乘的形式，这种运算称之为“因式分 解” 问题提出： 如何将 2a2+3ab+b2进行因式分解呢？
39、问题探究： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且 具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图 形面积的方法进行直观推导和解释 例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速的对多项式 a2+2ab+b2进行因式分解 如图 1 所示边长为（a+b）的大正方形是由 1 个边长为 aa 的正方形，2 个边长为 ab 的长方形，1 个 边长为 bb 的正方形（ab）组成，我们可以用两种方法表示大正方形的面积，这个图形的面积可以表 示成：a2+2ab+b2或（a+b）2 a2+2ab+b2（a+b）2 我
40、们将等号左边的多项式写成了右边两个整式相乘的形式，从而成功的对多项式 a2+2ab+b2进行了因式 分解 请你类比上述方法，利用图形的几何意义对多项式 2a2+3ab+b2进行因式分解（要求自己构图并写出推证 过程） 问题拓展： 如何利用图形几何意义的方法推导：13+2332？如图 2，A 表示 1 个 11 的正方形，即：11113 B 表示 1 个 22 的正方形，C 与 D 恰好可以拼成 1 个 22 的正方形，因此：A、B、C、D 就可以表示 2 个 22 的正方形，即：22223而 A、B、C、D 恰好可以拼成一个（1+2）（1+2）的大正方形 由此可得：13+23（1+2）232
41、尝试解决： 请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推导出 13+23+33的值 （要求自己构造图形并写出推证 过程） 归纳猜想： 13+23+33+n3 （1+2+3+n）2 【分析】问题探究： 利用正方形纸片 3 张，长方形纸片 3 张，即可拼成一个长方形，依据图形即可将多项式 2a2+3ab+b2写成 两个整式乘积的形式 尝试解决： 根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由此探究 13+23+33？肯定构成大正方形有 9 个基本图形 （3 个正方形 6 个长方形）组成，如图所示可以推证 归纳猜想： 根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为 13+23+33+n3（1+2+3+
42、n）2来求得 【解答】解：问题探究： 如图所示： 多项式 2a2+3ab+b2写成两个整式乘积的形式为： （a+b） （2a+b） 尝试解决： 如图，A 表示 1 个 11 的正方形，即 11113， B 表示 1 个 22 的正方形，C 与 D 恰好可以拼成 1 个 22 的正方形， 因此 B、C、D 就可以拼成 2 个 22 的正方形，即：22223； G 与 H、E 与 F 和 I 可以拼成 3 个 33 的正方形，即：33333； 而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）（1+2+3）的大正方形， 因此可得：13+23+33（1+2+3）262 归纳猜想： 根据规律可得：13+23+33+n3（1+2+3+n）2 故答案为： （1+2+3+n）2 【点评】此题以因式分解为背景，利用用几何直观推导 13+23+33+n3的计算过程，通过几何图形之间 的数量关系做出几何解释，得出规律，然后应用解决问题采用归纳推理，由易到难，逐步得出结论