1、 1 / 20 第第 3 章章 圆的基本性质单元测试圆的基本性质单元测试(A 卷基础篇）卷基础篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2020武汉模拟）在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，O 的半径为 10，则 P（10，1） 与O 的位置关系为（ ） A点 P 在O 上 B点 P 在O 外 C点 P 在O 内 D无法确定 【思路点拨】先根据勾股定理求出 OP 的长，再与O 的半径为 10 相比较即可 【答案】解：圆心 P 的坐标为（10，1） ， OP O 的半径为 10， 10， 点
2、 P 在O 外 故选：B 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键 2 （3 分） （2020临清市二模）如图，O 的半径为 5，AB 为弦，若ABC30，则的长为（ ） A5 B C D 【思路点拨】连接 OC、OA，利用圆周角定理得出AOC60，再利用弧长公式求得即可 【答案】解：连接 OC、OA， ABC30， AOC60， 的长， 故选：D 2 / 20 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出AOC60 3 （3 分） （2020鼓楼区校级模拟）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 ECDB30，O 的 半径为 6cm则弦 C
3、D 的长为（ ） A3cm B6cm C3cm D6cm 【思路点拨】由圆周角定理得出COB60，由垂径定理得出 CEDE，由含 30角的直角三角形的 性质得 OEOC3cm，CEOE3cm，即可得出 CD 的长 【答案】解：CDB30， COB2CDB60， CDAB，O 的半径为 6cm， CEDE，OCE906030，OC6cm， OEOC3cm，CEOE3cm， CD2CE6cm； 故选：D 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及含 30角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定 理和圆周角定理是解题的关键 4 （3 分） （2020南召县模拟）如图，O 的直径 AB 与弦 CD
4、的延长线交于点 E，若 DEOB，AOC 84，则E 等于（ ） 3 / 20 A42 B28 C21 D20 【思路点拨】利用 OBDE，OBOD 得到 DODE，则EDOE，根据三角形外角性质得1 DOE+E， 所以12E， 同理得到AOCC+E3E， 然后利用EAOC 进行计算即可 【答案】解：连结 OD，如图， OBDE，OBOD， DODE， EDOE， 1DOE+E， 12E， 而 OCOD， C1， C2E， AOCC+E3E， EAOC8428 故选：B 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、 等弧等） 也考查了等腰三角形
5、的性质 5 （3 分） （2020 春沙坪坝区校级月考）如图，AB 是直径，C、D 为圆上的点，已知D 为 30，则CAB 的度数为（ ） A45 B50 C55 D60 4 / 20 【思路点拨】根据圆周角定理求出ACB90，BD30，根据三角形内角和定理求出CAB 即可 【答案】解：D30，圆周角D 和B 都对着， BD30， AB 为O 的直径， ACB90， CAB180BACB180309060， 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理，能根据圆周角定理得出ACB90和BD 30是解此题的关键 6 （3 分） （2020樊城区模拟） 如图， 已知O 的半径为 5，
6、弦 AB、 CD 所对的圆心角分别是AOB、 COD， 若AOB 与COD 互补，弦 CD6，则点 O 到弦 AB 的距离为（ ） A6 B8 C3 D4 【思路点拨】延长 CO 交O 于 E，连接 DE，过 O 作 OFDE 于 F，OHCD 于 H，OGAB 于 G，线 段 OG 的长是点 O 到弦 AB 的距离，根据垂径定理求出 DHHC3，DFEF，根据三角形的中位线求 出 DE2OH，根据勾股定理求出 OH 长，再根据勾股定理求出 OF 长即可 【答案】解：延长 CO 交O 于 E，连接 DE，过 O 作 OFDE 于 F，OHCD 于 H，OGAB 于 G，线 段 OG 的长是点
7、O 到弦 AB 的距离， COD 和DOE 互补，COD 和AOB 互补， DOEAOB， DEAB，OFOG， OHDC，CD6，OH 过 O， 5 / 20 DHHCDC3，OHDOHC90， 由勾股定理得：OH4， OCOE，DHHC，OH4， DE2OH8， OFDE，OF 过 O， DFEFDE4， 在 RtDFO 中，由勾股定理得：OF3， OGOF3， 即 O 到 AB 的距离是 3， 故选：C 【点睛】本题考查了垂径定理，互补的定义，三角形的中位线，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关 系，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键 7 （3 分） （2020
8、碑林区校级一模）如图，点 A、B、C、D 在O 上，四边形 OBCD 是平行四边形，则A 的大小为（ ） A30 B45 C60 D无法确定 【思路点拨】连接 OC，根据平行四边形的性质得到 BCOD，得到OBC 为等边三角形，根据等边三 角形的性质得到BOC60，根据圆周角定理解答即可 【答案】解：连接 OC， 四边形 OBCD 是平行四边形， BCOD， BCOBOC， OBC 为等边三角形， BOC60， 6 / 20 由圆周角定理得，ABOC30， 故选：A 【点睛】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是 解题的关键 8 （3 分） （202
9、0马边县二模）如图，ABC 外接圆的圆心坐标是（ ） A （5，2） B （2，3） C （1，4） D （0，0） 【思路点拨】因为 BC 是线段，AB 是正方形的对角线，所以作 AB、BC 的垂直平分线，找到交点 D 即可 【答案】解：作线段 BC 的垂直平分线，作 AB 的垂直平分线， 两条直线相交于点 D， 所以 D 的坐标为（5，2） 故选：A 7 / 20 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外 心解题的关键是找到三角形外接圆圆心的位置 9 （3 分） （2019 秋洛阳期末）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AD 与 B
10、C 的延长线交于点 E， BA 与 CD 的延长线交于点 F，DCE85，F28，则E 的度数为（ ） A38 B48 C58 D68 【思路点拨】 根据三角形的外角的性质求出B， 根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可 【答案】解：BDCEF57， 四边形 ABCD 是O 的内接四边形， EDCB57， E180DCEEDC38， 故选：A 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等 于它的内对角是解题的关键 10 （3 分） （2019衢州一模）如图，已知 AB 和 CD 是O 的两条等弦OMAB，ONCD，垂足分别为 点 M、N，
11、BA、DC 的延长线交于点 P，联结 OP下列四个说法中： ；OMON；PAPC；BPODPO，正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【思路点拨】如图连接 OB、OD，只要证明 RtOMBRtOND，RtOPMRtOPN 即可解决问题 【答案】解：如图连接 OB、OD； 8 / 20 ABCD， ，故正确 OMAB，ONCD， AMMB，CNND， BMDN， OBOD， RtOMBRtOND， OMON，故正确， OPOP， RtOPMRtOPN， PMPN，OPBOPD，故正确， AMCN， PAPC，故正确， 故选：D 【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判
12、定和性质等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2018 秋古丈县期末）若点 P 到O 圆周上的最大距离为 8cm，最小距离为 2cm，则O 的半 径为 5cm 或 3cm 【思路点拨】分点 P 在圆内或圆外进行讨论 【答案】解：当点 P 在圆内时，O 的直径长为 8+210（cm） ，半径为 5cm； 当点 P 在圆外时，O 的直径长为 826（cm） ，半径为 3cm； 综上所述：O 的半径长为 5cm 或 3cm 故答案为：5cm 或
13、3cm 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知 9 / 20 点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系 12 （4 分） （2020闽侯县模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF CD2cm，则球的半径为 cm 【思路点拨】首先找到 EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF，设 OFx， 则 OM 是 2x，MF1，然后在直角三角形 MOF 中利用勾股定理求得 OF 的长即可 【答案】解：EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF
14、， 四边形 ABCD 是矩形， CD90， 四边形 CDMN 是矩形， MNCD2 设 OFx，则 ONOF， OMMNON2x，MF1， 在直角三角形 OMF 中，OM2+MF2OF2， 即： （2x）2+12x2， 解得：x， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形 13 （4 分） （2020海陵区一模）如图，四边形 ABCD 内接于O，且四边形 OABC 是平行四边形，则D 60 10 / 20 【思路点拨】直接利用平行四边形的性质得出AOCABC，再利用圆周角定理、圆内接四边形的性 质得出，DAOCABC，进而得出答案 【答
15、案】解：四边形 OABC 是平行四边形， AOCABC， D+ABC180，DAOCABC， 设Dx，则ABC2x， x+2x180， 解得：x60， 故D60 故答案为：60 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质，正确得出DAOC ABC 是解题关键 14（4 分）（2019淄川区二模） 如图， 已知点 C 是O 的直径 AB 上的一点， 过点 C 作弦 DE， 使 CDCO 若 的度数为 40，则的度数是 120 【思路点拨】连接 OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出AOD40，根据等腰三角形的性 质和三角形内角和定理计算即可 【答案】解：连接 OD、OE，
16、 的度数为 40， 11 / 20 AOD40， CDCO， ODCAOD40， ODOE， ODCE40， DOE100， AOE60， BOE120， 的度数是 120 故答案为 120 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 对的弦也相等 15 （4 分） （2020杭州模拟）如图，射线 PB，PD 分别交圆 O 于点 A，B 和点 C，D，且 ABCD8已 知圆 O 半径等于 5，OAPC，则 OP 的长度为 3 【思路点拨】作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，连接 OP，如图，利用在等圆中相等的弦所对应的弦心距 相等得到 OEO
17、F，则根据角平分线的性质定理的逆定理可判断 PO 平分BAD，则可证明APO AOP，所以 PAAO5，接着根据垂径定理得到 AEBEAB4，然后利用勾股定理先计算出 OE， 接着计算 OP 的长 【答案】解：作 OEAB 于 E，OFCD 于 F，连接 OP，如图， ABCD， 12 / 20 OEOF， 而 OEAB，OFCD， PO 平分BAD， APOOPC， OAPC， AOPOPC， APOAOP， PAAO5， OEAB， AEBEAB4， 在 RtAOE 中，OE3， 在 RtPOE 中，PO3 故答案为 3 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
18、的两条弧也考查了勾股 定理 16 （4 分） （2019 秋铁锋区期末）如图，AB 是O 的直径，AB6，点 C 在O 上，CAB30，D 为 的中点，P 是直径 AB 上一动点，则 PC+PD 的最小值为 【思路点拨】作出 D 关于 AB 的对称点 D，则 PC+PD 的最小值就是 CD的长度，在COD中根据 边角关系即可求解 【答案】解：作出 D 关于 AB 的对称点 D，连接 OC，OD，CD 13 / 20 又点 C 在O 上，CAB30，D 为的中点， BADCAB15 CAD45 COD90则COD是等腰直角三角形 OCODAB3， CD3， 故答案为 3 【点睛】本题考查了圆周角
19、定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2020武汉模拟）如图，A、B、C、D 是O 上四点，且 ABCD，求证：ADBC 【思路点拨】想办法证明即可 【答案】证明：ABCD， ， +， ， ADBC 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于 中考常考题型 14 / 20 18 （8 分） （2019 秋黄冈期末）如图，圆弧形桥拱的跨度 AB12 米，拱高 CD4 米，求拱桥的半径 【思路点拨】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在 CD 所在的直线
20、上，设圆心是 O连接 OA根据垂 径定理和勾股定理求解 【答案】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在 CD 所在的直线上，设圆心是 O， 连接 OA根据垂径定理，得 AD6， 设圆的半径是 r，根据勾股定理，得 r236+（r4）2，解得 r6.5， 答：拱桥的半径是 6.5 米 【点睛】此题考查了运用了勾股定理以及垂径定理注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形 进行有关的计算 19 （8 分） （2019 秋鼓楼区校级月考）如图，四边形 ABCD 内接于O，DAE 是四边形 ABCD 的一个外 角，且 DBDC，求证：AD 平分CAE 【思路点拨】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质
21、解决问题即可 【答案】证明：DBDC， DBCDCB， EAD+BAD180，BAD+DCB180， EADDCB， DACDBC， 15 / 20 EADDAC， AD 平分CAE 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型 20 （10 分） （2020 春沙坪坝区校级月考）如图，已知 AB 是O 的直径，C，D 是O 上的点，OCBD， 交 AD 于点 E，连结 BC （1）求证：AEED； （2）若 AB6，CBD30，求图中阴影部分的面积 【思路点拨】 （1）根据圆周角定理得到ADB90，根据平行线的性质得
22、到AEOADB90， 即 OCAD，于是得到结论； （2）连接 CD，OD，根据平行线的性质得到OCBCBD30，根据等腰三角形的性质得到OCB OBC30，求得AOD120，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论 【答案】 （1）证明：AB 是O 的直径， ADB90， OCBD， AEOADB90，即 OCAD， 又OC 为半径， AEED， （2）解：连接 CD，OD， OCBD， OCBCBD30， OCOB， OCBOBC30， AOCOCB+OBC60， 16 / 20 COD2CBD60， AOD120， AB6， BD3，AD3， OAOB，AEED， ， S阴影S扇形AODS
23、AOD3 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键 21 （10 分） （2019 秋东西湖区期中）如图，AB，AC 是O 的两条弦，且 （1）求证：AO 平分BAC； （2）若 AB4，BC8，求半径 OA 的长 【思路点拨】 （1）已知 ABAC，又 OCOB，OAOA，则AOBAOC，根据全等三角形的性质知， 12，进而解答即可； （2）根据勾股定理解答即可 【答案】证明： （1）连接 OB、OC， 17 / 20 ABAC，OCOB，OAOA， AOBAOC（SSS） ， 12， AO 平分BAC； （2）连接 AO 并延长交 BC 于
24、 E，连接 OB， ABAC，AO 平分BAC， AEBC， 设 OAx，可得：AB2BE2AE2，OB2OE2+BE2， 可得：，x2OE2+42 解得：x5，OE3， 半径 OA 的长5 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件， 从而利用全等的性质解决问题 22 （12 分） （2020南京）如图，在ABC 中，ACBC，D 是 AB 上一点，O 经过点 A、C、D，交 BC 于点 E，过点 D 作 DFBC，交O 于点 F 求证： （1）四边形 DBCF 是平行四边形； （2）AFEF 【思路点拨】 （1）根据等腰三角形的性质得出BACB
25、，根据平行线的性质得出ADFB，求出 ADFCFD，根据平行线的判定得出 BDCF，根据平行四边形的判定得出即可； （2）求出AEFB，根据圆内接四边形的性质得出ECF+EAF180，根据平行线的性质得出 ECF+B180，求出AEFEAF，根据等腰三角形的判定得出即可 【答案】证明： （1）ACBC， BACB， 18 / 20 DFBC， ADFB， BACCFD， ADFCFD， BDCF， DFBC， 四边形 DBCF 是平行四边形； （2）连接 AE， ADFB，ADFAEF， AEFB， 四边形 AECF 是O 的内接四边形， ECF+EAF180， BDCF， ECF+B180，
26、 EAFB， AEFEAF， AFEF 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知 识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 23 （12 分） （2020永嘉县模拟）如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 是直径，C 为的中点，延长 AD， BC 交于 P，连结 AC （1）求证：ABAP； （2）当 AB10，DP2 时，求线段 CP 的长 19 / 20 【思路点拨】 （1）利用等角对等边证明即可 （2）利用勾股定理分别求出 BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题 【答案】 （1）证明：C 为的中点， BACCAP， AB 是直径， ACBACP90， ABC+BAC90，P+CAP90， ABCP， ABAP （2）解：如图，连接 BD AB 是直径， ADBBDP90， ABAP10，DP2， AD1028， BD6， PB2， ABAP，ACBP， BCPCPB， PC 20 / 20 【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型