1、 1 / 22 第第 2 章章 直线与圆的位置关系单元测试直线与圆的位置关系单元测试(A 卷基础篇）卷基础篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2019 秋新昌县期末）已知O 的半径为 3，直线 l 与O 相交，则圆心 O 到直线 l 的距离 d 的 取值范围是（ ） Ad3 Bd3 C0d3 Dd3 【思路点拨】根据直线 l 和O 相交dr，即可判断 【答案】解：O 的半径为 3，直线 l 与O 相交， 圆心 D 到直线 l 的距离 d 的取值范围是 0d3， 故选：C 【点睛】本题
2、考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住直线 l 和O 相交dr直线 l 和O 相切dr直线 l 和O 相离dr 2 （3 分） （2019 秋海曙区期末）平面直角坐标系中，P 的圆心坐标为（4，5） ，半径为 5，那么P 与 y 轴的位置关系是（ ） A相交 B相离 C相切 D以上都不是 【思路点拨】由题意可求P 到 y 轴的距离 d 为 4，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解 【答案】解：P 的圆心坐标为（4，5） ， P 到 y 轴的距离 d 为 4 d4r5 y 轴与P 相交 故选：A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方 法是
3、解决问题的关键 3 （3 分） （2020嘉定区一模）下列四个选项中的表述，正确的是（ ） A经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【思路点拨】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案 2 / 22 【答案】解：由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线， 故 A，B，D 选项不正确，C 选项正确， 故选：C 【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 4 （3 分） （20
4、20思明区校级二模）如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB 50，则APB 等于（ ） A50 B120 C100 D80 【思路点拨】连接 OA、OB，如图，根据切线的性质得到OAPOBP90，则利用四边形内角和 得到AOB+P180，再根据圆周角定理得到AOB100，然后计算P 的度数 【答案】解：连接 OA、OB，如图， PA、PB 是O 切线， OAPA，OBPB， OAPOBP90， AOB+P180， AOB2ACB250100， P18010080 故选：D 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半
5、 径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理 5 （3 分） （2019 秋宁阳县期末）如图，在ABC 中，BOC140，I 是内心，O 是外心，则BIC 等 于（ ） 3 / 22 A130 B125 C120 D115 【思路点拨】根据圆周角定理求出BOC2A，求出A 度数，根据三角形内角和定理求出ABC+ ACB，根据三角形的内心得出IBCABC，ICBACB，求出IBC+ICB 的度数，再求 出答案即可 【答案】解：在ABC 中，BOC140，O 是外心， BOC2A， A70， ABC+ACB180A110， I 为ABC 的内心， IBCABC，ICBACB， IBC+ICB5
6、5， BIC180（IBC+ICB）125， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点， 能综合运用定理进行推理是解此题的关键 6 （3 分） （2020 春绍兴月考）如图，直线 PA，PB，MN 分别与O 相切于点 A，B，D，PAPB8cm， 则PMN 的周长为（ ） A8cm B8cm C16cm D16cm 【思路点拨】根据切线长定理得出 AMMD，BNDN，求出PMN 的周长PA+PB，代入求出即可 【答案】解：直线 PA，PB，MN 分别与O 相切于点 A，B，D， AMMD，BNDN， 4 / 22 PAPB8cm， PM
7、N 的周长PM+MN+PN PM+MD+ND+PN PM+AM+BN+PN PA+PB 8cm+8cm 16cm， 故选：C 【点睛】本题考查了切线的性质和切线长定理，能根据切线长定理得出 AMMD 和 BNDN 是解此题 的关键 7 （3 分） （2020滨湖区模拟）已知直角三角形的外接圆半径为 6，内切圆半径为 2，那么这个三角形的面 积是（ ） A32 B34 C27 D28 【思路点拨】如图，点 O 是ABC 的外心，点 D 是ABC 的内心，E、F、M 是ABCD 内切圆与ABC 的切点设 ABa，BCb，则有 2，推出 a+b16，所以 a2+2ab+b2256，因为 a2+b21
8、22 144，推出 2ab112，推出ab28，由此即可解决问题 【答案】解：如图，点 O 是ABC 的外心，点 D 是ABC 的内心，E、F、M 是ABCD 内切圆与ABC 的切点 设 ABa，BCb，则有 2， a+b16， a2+2ab+b2256， a2+b2122144， 2ab112， ab28 ABC 的面积为 28 5 / 22 故选：D 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识，解题的关键是记住直角三角形的内切圆 半径 r，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题 8 （3 分） （2020延边州模拟）如图，AB 与O 切于点 B，OB3，C 是 OB 上
9、一点，连接 AC 并延长与O 交于点 D，连接 OD，A40，D30，则的长为（ ） A B C D 【思路点拨】根据切线的性质得到ABO90，根据三角形的内角和得到DOB1803050 100，根据弧长的计算公式即可得到结论 【答案】解：AB 与O 切于点 B， ABO90， A40， ACB50， OCDACB50， D30， DOB1803050100， 的长， 故选：C 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，弧长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的 关键 9 （3 分） （2019 秋巴彦县期末）如图所示，点 A 是半径为 2 的O 外一点，OA4，AB 是O 的切线， B
10、 为切点，弦 BCOA，连接 AC，则图中阴影部分的面积为（ ） 6 / 22 A2 B2 C3 D 【思路点拨】根据三角形面积求法，得出OCB 与ACB 同底等高面积相等，再利用切线的性质得出 COB60，利用三角形的面积求出即可 【答案】解：连接 OB，OC， AB 是圆的切线， ABO90， 在直角ABO 中，OB2，OA4， OAB30，AOB60， OABC， CBOAOB60，且 S阴影部分SBOC， BOC 是等边三角形，边长是 2， 图中阴影部分的面积2， 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切线的性质，正确证明BOC 是等边三角形是解题的 关键 10 （3
11、分） （2019 秋洛宁县期末）如图，点 A 的坐标为（3，2） ，A 的半径为 1，P 为 x 轴上一动点， PQ 切A 于点 Q，则当 PQ 最小值时，点 P 的坐标为（ ） 7 / 22 A （4，0） B （2，0） C （4，0）或（2，0） D （3，0） 【思路点拨】连结 AQ、AP，由切线的性质可知 AQQP，由勾股定理可知 QP，故此当 AP 有最小值时，PQ 最短，根据垂线段最短可得到点 P 的坐标 【答案】解：连接 AQ，AP 根据切线的性质定理，得 AQPQ； 要使 PQ 最小，只需 AP 最小， 根据垂线段最短，可知当 APx 轴时，AP 最短， P 点的坐标是（3，
12、0） 故选：D 【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形性质此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性 质进行分析 二填空题（共二填空题（共 6 小题，小题，每小题每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分） （2019 秋江城区期中）O 的半径 r5cm，圆心到直线 l 的距离 OM4cm，在直线 l 上有一点 P，且 PM3cm，则点 P 在O 上 【思路点拨】由条件计算出 OP 的长度与半径比较大小即可 【答案】解：由题意可知OPM 为直角三角形，且 PM3cm，OM4cm， 由勾股定理可求得 OP5cmr， 故点 P 在O 上 故答案为：上 【点睛】 本题主要考查点和圆
13、的位置关系的判定， 只要计算出 P 点到圆心的距离再与半径比较大小即可 12 （4 分） （2020青海） 如图， 在ABC 中， C90， AC3， BC4， 则ABC 的内切圆半径 r 1 8 / 22 【思路点拨】在ABC 中，C90，AC3，BC4，根据勾股定理可得 AB5，设ABC 的内切圆 与三条边的切点分别为 D、E、F，连接 OD、OE、OF，可得 ODAB，OEBC，OFAC，可得矩形 EOFC，再根据切线长定理可得 CECF，所以矩形 EOFC 是正方形，可得 CECFr，所以 AFAD 3r，BEBD4r，进而可得ABC 的内切圆半径 r 的值 【答案】解：在ABC 中，
14、C90，AC3，BC4， 根据勾股定理，得 AB5， 如图，设ABC 的内切圆与三条边的切点分别为 D、E、F， 连接 OD、OE、OF， ODAB，OEBC，OFAC， C90， 四边形 EOFC 是矩形， 根据切线长定理，得 CECF， 矩形 EOFC 是正方形， CECFr， AFADACFC3r， BEBDBCCE4r， AD+BDAB， 3r+4r5， 解得 r1 则ABC 的内切圆半径 r1 9 / 22 故答案为：1 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心 13 （4 分） （2020浙江自主招生）RtABC 中，C90，AC8cm，BC
15、6cm，则其内心和外心之间的 距离是 cm 【思路点拨】根据内心域外心的位置，再利用勾股定理即可求解 【答案】解：如图，在 RtABC，C90，AC8cm，BC6cm， AB10cm， AM 为外接圆半径 设 RtABC 的内切圆的半径为 r，则 ODOEr，C90， 四边形 OECD 是正方形， CECDr，AEAN6r，BDBN8r， 即 8r+6r10， 解得 r2cm， AN4cm； 在 RtOMN 中， MNAMAN1cm， OM（cm） 故答案为：cm 【点睛】此题考查了直角三角形的外心与内心概念及内切圆的性质，得出外心与内心的位置是解题关键 14 （4 分） （2020鹿城区校级
16、二模）如图，AD 切O 于点 A，AB 是O 的直径，BD 交O 于点 C已知 AD2，AB4，则弦 BC 的长为 【思路点拨】根据切线的性质和圆周角定理得到ABD、ABC 都是直角三角形；由勾股定理求得 BD 10 / 22 的长度；最后由射影定理来求线段 BC 的长度即可 【答案】解：如图，连接 AC AD 切O 于点 A，AB 是O 的直径， ADAB，即BAD90 AD2，AB4， BD2 又AB 是O 的直径， BCA90，即 ACBD AB2BCBD，即 422BC， BC 故答案是： 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得 出垂
17、直关系简记作：见切点，连半径，见垂直 15 （4 分） （2020铜山区二模）如图，点 I 是ABC 的内心，连接 AI 并延长交ABC 的外接圆于点 D，若 ACB70，则DBI 55 【思路点拨】由三角形的内心的性质可得BADCAD，ABICBI，由外角的性质和圆周角的性 质可得BIDDBI，由三角形内角和定理可求解 【答案】解：点 I 是ABC 的内心， BADCAD，ABICBI， CADCBD， BADCBD， 11 / 22 BIDBAD+ABI，IBDCBI+CBD， BIDDBI， ACB70， ADB70， BIDDBI55 故答案为：55 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与
18、圆心，圆周角的定理，等腰三角形的性质等知识，证明BID DBI 是本题的关键 16 （4 分） （2020余姚市模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，P 是对角线 AC 上的动点，以点 P 为圆心，PC 长为半径作P当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长为 或 【思路点拨】作 PEAD 于 E，PFAB 于 F，根据勾股定理求出 AC，分P 与 AD 相切、P 与 AB 相 切相切两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算 【答案】解：作 PEAD 于 E，PFAB 于 F， 在 RtABC 中，AC5， 由题意可知，P 只能与矩形 ABCD 的边 AD、AB 相切，
19、 当P 与 AD 相切时，PEPC， PEAD，CDAD， PECD， APEACD， ，即， 解得，CP， 当P 与 AB 相切时，PFPC， PFAB，CBAB， PFBC， APEACD， 12 / 22 ，即， 解得，CP， 综上所述，当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长或， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、矩形的性质，掌握切线的判定定理、灵活运用分情况讨论思 想是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）在平面直角坐标系中，圆心 O 的坐标为（3，4） ，以半径 r 在坐标平面内作圆， （1）当 r 3
20、时，圆 O 与坐标轴有 1 个交点； （2）当 r 满足 3r4 时，圆 O 与坐标轴有 2 个交点； （3）当 r 4 或 5 时，圆 O 与坐标轴有 3 个交点； （4）当 r 4 且 r5 时，圆 O 与坐标轴有 4 个交点 【思路点拨】若 dr，则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没 有公共点，则直线和圆相离 【答案】解： （1）根据题意，知圆和 y 轴相切，则 r3； （2）根据题意，知圆和 y 轴相交，和 x 轴相离，则 3r4； （3）根据题意，知直线和 x 轴
21、相切或与坐标轴有公共交点，即原点，则 r4 或 5； （4）根据题意，知直线和 x 轴相交，则 r4 且 r5 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小 关系完成判定 18 （8 分） （2019 秋海曙区期末）已知，如图，直线 MN 交O 于 A，B 两点，AC 是直径，AD 平分CAM 交O 于 D，过 D 作 DEMN 于 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 DE8cm，AE4cm，求O 的半径 13 / 22 【思路点拨】 （1）连接 OD，根据平行线的判定与性质可得ODEDEM90，且 D 在O 上，故 DE 是O 的
22、切线 （2）由直角三角形的特殊性质，可得 AD 的长，又有ACDADE，根据相似三角形的性质列出比例 式，代入数据即可求得圆的半径 【答案】 （1）证明：连接 OD OAOD， OADODA OADDAE， ODADAE DOMN DEMN， ODEDEM90 即 ODDE D 在O 上，OD 为O 的半径， DE 是O 的切线； （2）解：AED90，DE8cm，AE4cm， AD4， 连接 CD， AC 是O 的直径， ADCAED90 CADDAE， ACDADE ， ， 14 / 22 解得 AC20 O 的半径是 10cm 【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定
23、理、相似三角形的判定和性质等知 识，在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键 19 （8 分） （2020玉林）如图，AB 是O 的直径，点 D 在直径 AB 上（D 与 A，B 不重合） ，CDAB，且 CDAB，连接 CB，与O 交于点 F，在 CD 上取一点 E，使 EFEC （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 D 是 OA 的中点，AB4，求 CF 的长 【思路点拨】 （1）连接 OF，易证DBC+C90，由等腰三角形的性质得DBCOFB，C EFC，推出OFB+EFC90，则OFE90，即可得出结论； （2）连接 AF，则AFB90，求出 BD3OD3，CDAB4，BC5，证
24、明FBA DBC，得出，求出 BF，由 CFBCBF 即可得出结果 【答案】 （1）证明：连接 OF，如图 1 所示： CDAB， DBC+C90， OBOF， 15 / 22 DBCOFB， EFEC， CEFC， OFB+EFC90， OFE1809090， OFEF， OF 为O 的半径， EF 是O 的切线； （2）解：连接 AF，如图 2 所示： AB 是O 的直径， AFB90， D 是 OA 的中点， ODDAOAAB41， BD3OD3， CDAB，CDAB4， CDB90， 由勾股定理得：BC5， AFBCDB90，FBADBC， FBADBC， ， BF， CFBCBF5
25、【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性 质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键 16 / 22 20 （10 分） （2019 秋拱墅区校级期末）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为 80cm，腰长为 50cm （1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径； （2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少 cm？ 【思路点拨】 （1）由于三角形 ABC 是等腰三角形，过 A 作 ADBC 于 D，那么根据勾股定理得到 AD 30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在 AD
26、 上， 分别连接 AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解； （2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为 R，根据垂 径定理和勾股定理即可求解 【答案】解： （1）如图，过 A 作 ADBC 于 D 则 AD30，BDCD40， 设最大圆半径为 r， 则 SABCSABO+SBOC+SAOC， ， 解得：r； （2）设覆盖圆的半径为 R，圆心为 O， ABC 是等腰三角形，过 A 作 ADBC 于 D， BDCD40，AD30， O在 AD 直线上，连接 OC， 在 RtODC 中， 由 R2402+（R30）2， R； 若以 BD 长为半径为
27、 40cm，也可以覆盖， 最小为 40cm 17 / 22 【点睛】此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强， 解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性 21 （10 分） （2020义乌市校级模拟）如图 1，AB 是O 的直径，PB，PC 是O 的两条切线，切点分别为 B，C （1）求证：CPB2ABC； （2）延长 BA、PC 相交于点 D（如图 2） ，设O 的半径为 2，sinPDB，求 PC 的长 【思路点拨】 （1）连接 OP，由切线长定理得 PCPB，CPOBPO，证得EPBABC，则可得 出结论； （2） 连接 OC， 得
28、出 sinCDO， 求出 OD3， 设 PCx， 由勾股定理得出， 解得 x2则可得出答案 【答案】解： （1）证明：连接 OP， 18 / 22 PB，PC 是O 的两条切线， PCPB，CPOBPO， PEBC， PEB90， EPB+PBE90， AB 为直径， ABP90， PBE+ABC90， EPBABC， CPB2ABC； （2）连接 OC， PC 是O 的切线， OCCD， OCD90， O 的半径为 2，sinPDB， 19 / 22 sinCDO， OD3， DC， 设 PCx， BD2+PB2PD2， ， 解得 x2 PC2 【点睛】此题主要考查了切线长定理，勾股定理，锐
29、角三角函数和切线的性质等知识，熟练运用方程的 思想方法是解题关键 22 （12 分） （2020浙江自主招生）射线 QN 与等边ABC 的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 ACQN， AMMB2cm，QM4cm动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒， 以点 P 为圆心，cm 为半径的圆与ABC 的边相切（切点在边上） ，求 t 值（单位：秒） 【思路点拨】先判断BNM 为等边三角形，再分类讨论：当P 与 AB 相切 D 点时，如图 1，连结 PD， 根据切线的性质得 PDAB，PD，在 RtPDM 中计算出 DMPD1，则 PM2，则 QP
30、4 22，易得 t2（秒） ；作 AEMN 于 E，CFMN 于 F，如图 2，在 RtAEM 中计算出 EM1，AE EM， 同理可得 CF， 则当P 与 AC 相切时， 点 P 在线段 EF 上， 由于 QE3， QFOE+EF 7， 所以 3t7； 当P 与 BC 相切 D 点时， 如图 3， 与第一种情况一样可得 PN2， 则 QPQM+MN+PN 8，于是得到此时 t8（秒） 【答案】解：ABC 为等边三角形，MNAC， BNM 为等边三角形， 当P 与 AB 相切 D 点时，如图 1， 20 / 22 连结 PD，则 PDAB，PD， 在 RtPDM 中，PMD60， DMPD1，
31、 PM2， QP422， t2（秒） ； 作 AEMN 于 E，CFMN 于 F，如图 2， 在 RtAEM 中，EMD60，AM2cm， EM1，AEEM， 同理可得 CF， 当P 与 AC 相切时，点 P 在线段 EF 上， QE413，QFOE+EF3+47， 3t7； 当P 与 BC 相切 D 点时，如图 3， 连结 PD，则 PDAB，PD， 在 RtPDN 中，PND60， DNPD1， PN2， QPQM+MN+PN4+2+28， t8（秒） 综上所述，t 的值为 2 或 3t7 或 8 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证，
32、21 / 22 常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题也考查了等边三角形的性质 的性质 23 （12 分） （2020江都区二模）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AC 为直径，DE BC，垂足为 E （1）求证：CD 平分ACE； （2）判断直线 ED 与O 的位置关系，并说明理由； （3）若 CE2，AC8，求阴影部分的面积 【思路点拨】 （1）根据圆周角定理，由，得到BADACD，再根据圆内接四边形的性质得 DCEBAD，所以ACDDCE； （2）连结 OD，如图，利用内错角相等证明 ODBC，而 DEBC，则 ODDE，于是根据切线的判定 定理可得
33、DE 为O 的切线； （3）作 OHBC 于 H，易得四边形 ODEH 为矩形，所以 ODEH4，则 CHHECE2，于是有 HOC30，得到COD60，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积 S扇形OCDSOCD进行计算 【答案】 （1）证明：， BADACD， DCEBAD， ACDDCE， 即 CD 平分ACE； （2）解：直线 ED 与O 相切理由如下： 连结 OD，如图， OCOD， OCDODC， 22 / 22 而OCDDCE， DCEODC， ODBC， DEBC， ODDE， DE 为O 的切线； （3）解：作 OHBC 于 H，则四边形 ODEH 为矩形， ODEH， CE2，AC8， OCOD4， CHHECE422， 在 RtOHC 中，HOC30， COD60， 阴影部分的面积S扇形OCDSOCD 42 4 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线 是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了扇形的计算