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第2章 直线与圆的位置关系单元测试(B卷提升篇)(浙教版)(解析版)

1、 1 / 26 第第 2 章章 直线与圆的位置关系单元测试直线与圆的位置关系单元测试(B 卷提升篇)卷提升篇) 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分) (2020武汉模拟)已知O 的半径等于 8cm,圆心 O 到直线 l 上某点的距离为 8cm,则直线 l 与 O 的公共点的个数为( ) A0 B1 或 0 C0 或 2 D1 或 2 【思路点拨】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线 l 和O 相离,然后根据相离的定义对各选 项进行判断 【答案】解:O 的半径等于 8cm,圆心 O 到直线

2、l 的距离为 8cm, 即圆心 O 到直线 l 的距离小于或等于圆的半径, 直线 l 和O 相切或相交, 直线 l 与O 公共点的个数为 1 或 2 故选:D 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系:设O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,则当直线 l 和O 相交dr;直线 l 和O 相切dr;直线 l 和O 相离dr 2 (3 分) (2020广州)如图,RtABC 中,C90,AB5,cosA,以点 B 为圆心,r 为半径作B, 当 r3 时,B 与 AC 的位置关系是( ) A相离 B相切 C相交 D无法确定 【思路点拨】根据三角函数的定义得到 AC,根据勾股定理求得 BC

3、,和B 的半径比较即可 【答案】解:RtABC 中,C90,AB5,cosA, , AC4, BC3, 2 / 26 r3, BCr3, B 与 AC 的位置关系是相切, 故选:B 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,注意:直线和圆有三种位置关系:相切、相交、相离 3 (3 分) (2019 秋濮阳期末)下列说法中,不正确的个数是( ) 直径是弦;经过圆内一定点可以作无数条直径;平分弦的直径垂直于弦;过三点可以作一个圆; 过圆心且垂直于切线的直线必过切点 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【思路点拨】根据弦的定义即可判断; 根据圆的定义即可判断; 根据垂径定理的推论:平分弦(不是

4、直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧即可判断; 确定圆的条件:不在同一直线上的三点确定一个圆即可判断; 根据切线的性质:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点即可判断 【答案】解:直径是特殊的弦所以正确,不符合题意; 经过圆心可以作无数条直径所以不正确,符合题意; 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦所以不正确,符合题意; 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆所以不正确,符合题意; 过圆心且垂直于切线的直线必过切点所以正确,不符合题意 故选:C 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、确定圆的条件,解决本题的关键是掌握圆的相关定义和性 质 4 (3 分) (2020玉田县一模)如图,点 I

5、为ABC 的内心,AB4cm,AC3cm,BC2cm,将ACB 平 移,使其顶点与点 I 重合,则图中阴影部分的周长为( ) A1cm B2cm C3cm D4cm 【思路点拨】连接 AI,BI,根据点 I 为ABC 的内心,可得 IA 和 IB 分别平分CAB 和CBA,再根据 ACB 平移,使其顶点与点 I 重合,可得 DIAC,EIBC,可得角相等,从而得等腰三角形,进而可 3 / 26 得图中阴影部分的周长 【答案】解:如图,连接 AI,BI, 点 I 为ABC 的内心, IA 和 IB 分别平分CAB 和CBA, CAIDAI,CBIEBI, 将ACB 平移,使其顶点与点 I 重合,

6、 DIAC,EIBC, CAIDIA,CBIEIB, DAIDIA,EBIEIB, DADI,EBEI, DE+DI+EIDE+DA+EBAB4 所以图中阴影部分的周长为 4 故选:D 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、平移的性质,解决本题的关键是掌握三角形的内心 5(3 分)(2020浙江自主招生) 已知 ACBC 于 C, BCa, CAb, ABc, 下列选项中O 的半径为 的是( ) A B C D 【思路点拨】根据圆切线的性质和相似三角形的性质分别进行判定即可 【答案】解:A、设圆的半径是 x,圆切 AC 于 E,切 BC 于 D,切 AB 于 F,如图(1) , 4 / 26

7、 同样得到正方形 OECD,AEAF,BDBF,则 ax+bxc, x, 故本选项错误; B、设圆切 AB 于 F,圆的半径是 y,连接 OF,如图(2) , 则BCAOFA, , , 故本选项错误; C、连接 OE、OD, AC、BC 分别切圆 O 于 E、D, OECODCC90, OEOD, 四边形 OECD 是正方形, OEECCDOD, 设圆 O 的半径是 r, OEBC, AOEB, AEOODB, ODBAEO, , 5 / 26 , 解得:r, 故本选项错误; D、从上至下三个切点依次为 D,E,F;并设圆的半径为 x; BDBF, ADBDBABFBAa+xc; 又bxAEA

8、Da+xc; 所以 x, 故本选项正确 故选:D 【点睛】本题主要考查对正方形的性质和判定,切线的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内切 圆与内心,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键 6 (3 分) (2019武汉模拟)在 RtABC 中,C90,AC5,BC12若以 C 为圆心,r 为半径的圆 与斜边 AB 只有一个公共点,则半径 r 的值或取值范围是( ) A B5r12 或 r C5r12 D5r12 或 r 【思路点拨】此题注意两种情况: (1)圆与 AB 相切时; (2)点 A 在圆内部,点 B 在圆上或圆外时根 据勾股定理以及直角三角形

9、的面积计算出其斜边上的高,再根据位置关系与数量之间的联系进行求解 【答案】解:BCAC, 以 C 为圆心,r 为半径所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点 根据勾股定理求得 AB13 分两种情况: (1)圆与 AB 相切时,即 rCD51213; (2)点 A 在圆内部,点 B 在圆上或圆外时,此时 ACrBC,即 5r12 故选:D 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点,解此题的关键是画出符合条件的所 6 / 26 有情况 7 (3 分) (2019 秋乳山市期末)如图,在平面直角坐标系中,P 与 y 轴相切,直线 yx 被P 截得的 弦 AB 长为,若点 P 的坐标为(

10、4,p) ,则 p 的值为( ) A B C D 【思路点拨】首先作 PFx 轴于 F,交 AB 于 D,作 PEAB 于 E,连结 PB,由P 与 y 轴相切于点 C, P 的半径是 4,可得 OF4,继而求得点 D 的坐标,即可得ODF 与PDE 是等腰直角三角形,则可 求得 DF 的长,然后由垂径定理与勾股定理求得 PE 的长,继而求得 PD 的长,则可求得答案 【答案】解:如图,作 PFx 轴于 F,交 AB 于 D,作 PEAB 于 E,连结 PB, P 与 y 轴相切于点 C,P 的半径是 4, OF4, 把 x4 代入 yx 得 y4, D 点坐标为(4,4) , DF4, OD

11、F 为等腰直角三角形, PED 也为等腰直角三角形, PEAB, AEBEAB42, 在 RtPBE 中,PB4, PE2, PDPE2, PFPD+DF4+2, p4+2, 故选:B 7 / 26 【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证, 常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题也考查了垂径定理 8 (3 分) (2020河北模拟)如图,直线 AB、CD 相交于点 O,AOC30,半径为 2cm 的P 的圆心在 直线 OA 上,且与点 O 的距离为 6cm,如果 P 以 1cm/s 的速度沿直线 AB 由 A 向 B

12、的方向移动,那么P 与直线 CD 相切时P 运动的时间是( ) A3 秒或 10 秒 B3 秒或 8 秒 C2 秒或 8 秒 D2 秒或 10 秒 【思路点拨】作 PHCD 于 H,根据直角三角形的性质得到 OP2PH,分点 P 在 OA 上、点 P 在 AO 的 延长线上两种情况可,根据切线的性质解答 【答案】解:作 PHCD 于 H, 在 RtOPH 中,AOC30, OP2PH, 当点 P 在 OA 上,P 与直线 CD 相切时,OP2PH4cm, 点 P 运动的距离为 642, P 运动的时间是 2 秒, 当点 P 在 AO 的延长线上,P 与直线 CD 相切时,OP2PH4cm, 点

13、 P 运动的距离为 6+410, P 运动的时间是 10 秒, 故选:D 8 / 26 【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的 关键 9 (3 分) (2019白云区一模)如图,AC 是O 的直径,OB 是O 的半径,PA 切O 于点 A,PB 与 AC 的延长线相交于点 M,COBAPB已知 OB3,PA6,则 MB 的长为( ) A3 B4 C D6 【思路点拨】根据相似三角形的判定与性质,可得,构建解方程组,可得答案 【答案】解:PA 切O 于点 A, MAP90, P+M90 COBAPB, M+MOB90, MBO90,即 OBPB

14、, COBAPB,OBMPAM, OBMAPM, , , 由解得 MC2,BM4, 故选:B 【点睛】本题考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似 三角形解决问题,属于中考常考题型 10 (3 分) (2019 秋沂源县期末)如图,在O 中,AB 是直径,点 D 是O 上一点,点 C 是弧 AD 的中 9 / 26 点,CEAB 于点 E,过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G,连接 AD,分别交 CE,CB 于点 PQ连接 AC,关于下列结论:BADABC;GPGD;点 P 是ACQ 的外心,其中正确结论是( ) A B C D 【思路点拨】连接 B

15、D,由 GD 为圆 O 的切线,根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到GDPABD, 再由 AB 为圆的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到ACB 为直角,由 CE 垂直于 AB,得到AEP 为直角,再由一对公共角,得到三角形 APE 与三角形 ABD 相似,根据相似三角形的对应角相等可得出 APE 等于ABD,根据等量代换及对顶角相等可得出GPDGDP,利用等角对等边可得出 GP GD,选项正确;由直径 AB 垂直于弦 CF,利用垂径定理得到 A 为弧 CF 的中点,得到两条弧相等,再 由 C 为弧 AD 的中点,得到两条弧相等,等量代换得到三条弧相等,根据等弧所对的圆周角相等可得出 CAPAC

16、P,利用等角对等边可得出 APCP,又 AB 为直径得到ACQ 为直角,利用等角的余角相 等可得出PCQPQC,得出 CPPQ, 即 P 为直角三角形 ACQ 斜边上的中点, 即为直角三角形 ACQ 的外心,选项正确 【答案】解:在O 中,AB 是直径,点 D 是O 上一点,点 C 是弧 AD 的中点, 弧 AC弧 CD弧 BD, BADABC,选项错误; 连接 BD,延长 CE 交O 于 F,如图所示: GD 为圆 O 的切线, GDPABD, 又 AB 为圆 O 的直径, ADB90, 10 / 26 CEAB, AEP90, ADBAEP,又PAEBAD, APFABD, ABDAPE,

17、又APEGPD, GDPGPD, GPGD,选项正确; 直径 ABCE, A 为弧 CF 的中点,即弧 AF弧 AC, 又 C 为弧 AD 的中点, 弧 AC弧 CD, 弧 AF弧 CD, CAPACP, APCP, 又 AB 为圆 O 的直径, ACQ90, PCQPQC, PCPQ, APPQ,即 P 为 RtACQ 斜边 AQ 的中点, P 为 RtACQ 的外心,选项正确; 故选:C 【点睛】此题考查了切线的性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,以及三角形的外接圆与圆心, 熟练掌握性质及定理是解本题的关键 二填空题(共二填空题(共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 2

18、4 分)分) 11 (4 分) (2019 秋玄武区校级月考)已知O 的半径 r2,圆心 O 到直线 l 的距离 d 是方程 x25x+6 0 的解,则直线 l 与O 的位置关系是 相切或相离 【思路点拨】先解方程,根据距离 d 与 r 的大小关系得出:直线与圆的位置关系 【答案】解:x25x+60, (x3) (x2)0, x3 或 2, 11 / 26 当 d3 时,则 dr,所以直线 l 与O 的位置关系是相离; 当 d2 时,则 dr,所以直线 l 与O 的位置关系是相切; 则直线 l 与O 的位置关系是:相切或相离; 故答案为:相切或相离 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及直线与

19、圆的位置关系,判断直线和圆的位置关系时:设O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,直线 l 和O 相交dr;直线 l 和O 相切dr; 直线 l 和O 相离dr 12 (4 分) (2020 春绍兴月考)如图所示,在 RtABC 中,ACB90,AC6,BC8,若以点 C 为 圆心,r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点,则 r 的取值范围为 【思路点拨】如图,作 CHAB 于 H利用勾股定理求出 AB,再利用面积法求出 CH 即可判断 【答案】解:如图,作 CHAB 于 H 在 RtABC 中,ACB90,BC8,AC6, AB10, SABCACBCABCH, CH, 以

20、点 C 为圆心,r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点, r, 故答案为 r 12 / 26 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于 中考常考题型 13 (4 分) (2020哈尔滨一模)如图,PA、PB 分别与O 相切于点 A、B,EF 与O 相切于点 C,且分别 交 PA、PB 于点 E、F,P60,PEF 的周长为 6,则O 的半径为 【思路点拨】可通过切线长定理将相等的线段进行转换,得出三角形 PEF 的周长等于 PA+PB6,又因 为 PAPB,所以可求出 PA 的长,然后解直角三角形求得 OA 即可 【答案】解:EA,EC 都

21、是圆 O 的切线, ECEA, 同理 FCFB,PAPB, PEF 的周长PF+PE+EFPF+PE+EA+FBPA+PB2PA6, PA3; 连接 PO,OA, APB60, APO30, AOAPtanAPO3, 故答案为: 【点睛】本题考查的是切线长定理,解此题的关键是得出PEF 的周长PA+PB 14 (4 分) (2020下城区一模)如图,在ABC 中,ACB90,D 是 BC 边上的点,CD2,以 CD 为 直径的与 AB 相切于点 E若弧 DE 的长为,则阴影部分的面积 (保留 ) 13 / 26 【思路点拨】首先由弧长公式求得EOD60;然后利用BEO 的性质得到线段 OB 的

22、长度,易得 AC 与 BC 的长度;最后根据 S阴影SABCS扇形OCESOBE解答 【答案】解:如图,连接 OE, 以 CD 为直径的与 AB 相切于点 E, OEBE 设EODn, ODCD1,弧 DE 的长为, EOD60 B30,COE120 OB2OE2,BE BCOB+OC3 ACBC S阴影SABCS扇形OCESOBE 31 故答案是: 【点睛】考查了切线的性质,弧长的计算和扇形面积的计算,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构 造定理图,得出垂直关系简记作:见切点,连半径,见垂直 15 (4 分) (2020浙江自主招生)在 RtABC 中,C90,AC3,BC4,点 I、O 分

23、别是ABC 的 内心和外心,则 tanIOA 2 14 / 26 【思路点拨】由勾股定理求出 AB,得出ABC 的外接圆半径 OAAB2.5,作 IDAC 于 D,TE AB 于 E, 则 IDIECDABC 内切圆的半径1, 由切线长定理得出 AEAD2, 求出 OE 的长, tan IOA,即可得出结果 【答案】解:如图所示: C90,AC3,BC4, AB5, OAAB2.5, 作 IDAC 于 D,TEAB 于 E, 则 IDIECDABC 内切圆的半径(3+45)1, AD2, 由切线长定理得:AEAD2, OEOAAE0.5, tanIOA2 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角形

24、的外接圆于外心、内切圆与内心、勾股定理、切线长定理、三角函数等知识; 本题综合性强,求出直角三角形的外接圆半径与内切圆半径是解决问题的关键 16 (4 分) (2020宁波)如图,O 的半径 OA2,B 是O 上的动点(不与点 A 重合) ,过点 B 作O 的 切线 BC,BCOA,连结 OC,AC当OAC 是直角三角形时,其斜边长为 2或 2 【思路点拨】当AOC90时,连接 OB,根据切线的性质得到OBC90,根据勾股定理得到 AC 15 / 26 2 【答案】解:BC 是O 的切线, OBC90, BCOA, OBBC2, OBC 是等腰直角三角形, BCO45, ACO45, 当OAC

25、 是直角三角形时,AOC90,连接 OB, OCOB2, AC2; 当OAC 是直角三角形时,OAC90,连接 OB, BC 是O 的切线, CBOOAC90, BCOAOB, OBC 是等腰直角三角形, , 故答案为:2或 2 【点睛】本题考查了切线的性质勾股定理,正确的理解题意是解题的关键 三解答题(共三解答题(共 7 小题,共小题,共 66 分)分) 17 (6 分) (2020上虞区模拟)数学课上,王老师画好图后并出示如下内容: “已知:AB 为O 的直径, O 过 AC 的中点 D,DE 为O 的切线 ” 16 / 26 (1)王老师要求同学们根据已知条件,在不添加线段与标注字母的前

26、提下,写出三个正确的结论,并选 择其中一个加以证明 (2)王老师说:如果添加条件“DE1,tanC” ,则能求出O 的直径请你写出求解过程 【思路点拨】 (1)三个正确的结论:ABCB,AC,DEBC;连接 BD、OD,由圆周角定理得 ADB90,则 BDAC,由线段垂直平分线的性质得 ABCB,由等腰三角形的性质得AC;证 OD 为ABC 的中位线,则 ODBC,由切线的性质得出 DEOD,得出 DEBC; (2)由三角函数定义求出 CE2DE2,由勾股定理得出 CD,则 ADCD,由三角函数定 义得 tanA,则 BDAD,由勾股定理求出 AB 即可 【答案】解: (1)三个正确的结论:A

27、BCB,AC,DEBC;理由如下: 连接 BD、OD,如图: AB 为O 的直径, ADB90, BDAC, D 为 AC 的中点, ABCB, AC; D 为 AC 的中点,O 为 AB 的中点, OD 为ABC 的中位线, ODBC, DE 为O 的切线, DEOD, DEBC; (2)由(1)知:DEBC, DE1,tanC, CE2DE2, 17 / 26 CD, D 为 AC 的中点, ADCD, AC, tanAtanC, tanA, BDAD, AB, 即O 的直径为 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中 位线定理、勾股定理、

28、三角函数定义等知识;熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键 18 (8 分) (2019西湖区一模)如图,AB、AC 是O 的两条切线,B、C 为切点,连结 CO 并延长交 AB 于点 D,交O 于点 E,连结 BE,AO (1)求证:AOBE; (2)若 tanBEO,DE2,求 CO 的长 【思路点拨】 (1)欲证明:AOEB,只要证明 OABC,BEBC 即可; 18 / 26 (2)在 RtAOC 中,设 OCr,则 ACr,OAr,在 RtCEB 中,EBr,由 BEOA, 推出DBEDAO,推出,由此构建方程即可解决问题 【答案】解: (1)证明:连结 BC,OB AB,AC

29、是O 的两条切线,B,C 为切点, ABAC, 又OCOB,AOAO ACOABO CAOBAO, OABC, CE 是O 的直径, CBE90, BEBC, OABE; (2)OABE, BEOAOC, tanBEO, tanAOC, 在 RtAOC 中,设 OCr,则 ACr,OAr, 在 RtCEB 中,EBr, BEOA, DBEDAO, 19 / 26 , , DO3, OCOEDODE321 【点睛】本题考查切线的性质,圆周角定理,解直角三角形,相似三角形的判定和性质等知识,解题的 关键是熟练掌握基本知识,正确寻找相似三角形解决问题 19 (8 分) (2020金湖县一模)如图,已

30、知 AB 是O 的直径,AE 平分BAF 交O 于点 E,过点作 CD AF 交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长线于点 C (1)试说明 CD 是O 的切线; (2)若 AD5,O 的半径为 4,求 AE 的长 【思路点拨】 (1)连接 OE,根据角平分线的定义得出OAEDAE,关键等腰三角形的性质得出 OAEOEA,求出OEADAE,求出 OEAD,根据平行线的性质得出 OECD,根据切线的判 定得出即可; (2)连接 BE,根据圆周角定理求出AEB90,根据相似三角形的判定得出AEBADE,根据相 似三角形的性质得出比例式,代入求出即可 【答案】解: (1)连接 OE, AE 平

31、分BAF, OAEDAE, OEOA, OAEOEA, OEADAE, OEAD, 20 / 26 ADCD, OECD, OE 过 O, CD 是O 的切线; (2)连接 BE, AB 是O 的直径,ADCD, BEAADE90, BAEDAE, AEBADE, , AD5,O 的半径为 4, , 解得:AE2 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,等腰三角形的性质和判定,切线的判定,圆周角定理,相似 三角形的性质和判定等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 20 (10 分) (2019 秋番禺区期末)如图,已知O 为 RtABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,且C 90,A

32、B13,BC12 (1)求 BF 的长; (2)求O 的半径 r 【思路点拨】 (1)设 BFBDx,利用切线长定理,构建方程解决问题即可 (2)证明四边形 OECF 是矩形,推出 OECF 即可解决问题 【答案】解: (1)在 RtABC 中,C90,AB13,BC12, 21 / 26 AC5, O 为 RtABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F, BDBF,ADAE,CFCE, 设 BFBDx,则 ADAE13x,CFCE12x, AE+EC5, 13x+12x5, x10, BF10 (2)连接 OE,OF, OEAC,OFBC, OECCOFC90, 四边形 OECF 是矩形, O

33、ECFBCBF12102 即 r2 【点睛】本题考查三角形的内心,勾股定理,切线长定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属 于中考常考题型 21 (10 分) (2019永安市一模)已知:如图,在ABC 中,BCAC,以 BC 为直径的O 与边 AB 相交于 点 D,DEAC,垂足为点 E (1)求证:点 D 是 AB 的中点; (2)判断 DE 与O 的位置关系,并证明你的结论; (3)若O 的直径为 10,tanB3,求 DE 的长 22 / 26 【思路点拨】 (1)利用等腰三角形的性质即可解决问题 (2)连接 OD,证明 DEOD 即可 (3)利用面积法可知:ADDCACDE,由此

34、即可解决问题 【答案】 (1)证明:连接 CD BC 是O 的直径, BDC90, CDAB, CBCA, BDAD, 点 D 是 AB 的中点 (2)解:结论:DE 是O 的切线 理由:连接 OD BDAD,BOOC, ODAC, DEAC, DEOD, DE 是O 的切线 (3)解:在 RtBCD 中,tanB3,设 BDk,则 CD3k, 则有:10k2100, k或(舍弃) , CD3,ADBD,ACCB10, ADDCACDE, 23 / 26 DE3 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是熟 练掌握基本知识,属于中考常考题型 22

35、(12 分) (2020雨花区校级二模)如图,点 E 是ABC 的内心,AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于 点 D,交 BC 于 F (1)若ABC40,C80,求CBD 的度数; (2)求证:DBDE; (3)若 AB6,AC4,BC5,求 DE 的长 【思路点拨】 (1)根据ABC40,C80,利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可求 CBD 的度数; (2)理解 BE,根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等DEBDBE,从而依据等角对等边即可 证明 DBDE; (3)利用已知 AB6,AC4,和角平分线性质可得,由 BC5,可得 BF 和 FC 的值, 再证明BDFACF 和DB

36、FDAB,再利用相似三角形的性质得到关于 BD 的方程,即可求 DE 的长 【答案】解: (1)ABC40,C80, BAC180408060, 点 E 是ABC 的内心, CADBADBAC30, 24 / 26 CBDCAD30 答:CBD 的度数为 30; (2)证明:如图,连接 BE, 12,34, 26, 16, 51+3, DBE6+41+3, 5DBE, DBDE; (3)12,AB6,AC4,BC5, , BF3,CF2, 62,DC, BDFACF, 2, DFBD, DFAFBFCF6, 126,BDFADB, DBFDAB, , BD2DFDADF(AF+DF)DFAF+

37、DF26+(BD)2, 解得 BD2, DEBD2 25 / 26 答:DE 的长为 2 【点睛】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质,解决本题的 关键是正确理解三角形的内心定义 23 (12 分) (2019黄石)如图,AB 是O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上,C、E 是O 上的两点,CE CB,BCDCAE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F (1)求证:CD 是O 的切线; (2)求证:CECF; (3)若 BD1,CD,求弦 AC 的长 【思路点拨】 (1)连接 OC,可证得CADBCD,由CAD+ABC90,可得出OCD90, 即结论得证

38、; (2)证明ABCAFC 可得 CBCF,又 CBCE,则 CECF; (3)证明DCBDAC,可求出 DA 的长,求出 AB 长,设 BCa,ACa,则由勾股定理可得 AC 的长 【答案】解: (1)连接 OC,如右图所示, AB 是O 的直径, ACB90, CAD+ABC90, CECB, CAECAB, BCDCAE, CABBCD, OBOC, OBCOCB, OCB+BCD90, 26 / 26 OCD90, CD 是O 的切线; (2)BACCAE,ACBACF90,ACAC, ABCAFC(ASA) , CBCF, 又CBCE, CECF; (3)BCDCAD,ADCCDB, DCBDAC, , , DA2, ABADBD211, 设 BCa,ACa,由勾股定理可得:, 解得:a, 【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性 质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线