1、 1 / 26 第第 2 章章 直线与圆的位置关系单元测试直线与圆的位置关系单元测试(B 卷提升篇）卷提升篇） 【浙教版】 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） （2020武汉模拟）已知O 的半径等于 8cm，圆心 O 到直线 l 上某点的距离为 8cm，则直线 l 与 O 的公共点的个数为（ ） A0 B1 或 0 C0 或 2 D1 或 2 【思路点拨】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线 l 和O 相离，然后根据相离的定义对各选 项进行判断 【答案】解：O 的半径等于 8cm，圆心 O 到直线
2、l 的距离为 8cm， 即圆心 O 到直线 l 的距离小于或等于圆的半径， 直线 l 和O 相切或相交， 直线 l 与O 公共点的个数为 1 或 2 故选：D 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则当直线 l 和O 相交dr；直线 l 和O 相切dr；直线 l 和O 相离dr 2 （3 分） （2020广州）如图，RtABC 中，C90，AB5，cosA，以点 B 为圆心，r 为半径作B， 当 r3 时，B 与 AC 的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D无法确定 【思路点拨】根据三角函数的定义得到 AC，根据勾股定理求得 BC
3、，和B 的半径比较即可 【答案】解：RtABC 中，C90，AB5，cosA， ， AC4， BC3， 2 / 26 r3， BCr3， B 与 AC 的位置关系是相切， 故选：B 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离 3 （3 分） （2019 秋濮阳期末）下列说法中，不正确的个数是（ ） 直径是弦；经过圆内一定点可以作无数条直径；平分弦的直径垂直于弦；过三点可以作一个圆； 过圆心且垂直于切线的直线必过切点 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【思路点拨】根据弦的定义即可判断； 根据圆的定义即可判断； 根据垂径定理的推论：平分弦（不是
4、直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可判断； 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆即可判断； 根据切线的性质：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点即可判断 【答案】解：直径是特殊的弦所以正确，不符合题意； 经过圆心可以作无数条直径所以不正确，符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦所以不正确，符合题意； 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆所以不正确，符合题意； 过圆心且垂直于切线的直线必过切点所以正确，不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、确定圆的条件，解决本题的关键是掌握圆的相关定义和性 质 4 （3 分） （2020玉田县一模）如图，点 I
5、为ABC 的内心，AB4cm，AC3cm，BC2cm，将ACB 平 移，使其顶点与点 I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A1cm B2cm C3cm D4cm 【思路点拨】连接 AI，BI，根据点 I 为ABC 的内心，可得 IA 和 IB 分别平分CAB 和CBA，再根据 ACB 平移，使其顶点与点 I 重合，可得 DIAC，EIBC，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可 3 / 26 得图中阴影部分的周长 【答案】解：如图，连接 AI，BI， 点 I 为ABC 的内心， IA 和 IB 分别平分CAB 和CBA， CAIDAI，CBIEBI， 将ACB 平移，使其顶点与点 I 重合，
6、 DIAC，EIBC， CAIDIA，CBIEIB， DAIDIA，EBIEIB， DADI，EBEI， DE+DI+EIDE+DA+EBAB4 所以图中阴影部分的周长为 4 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、平移的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心 5（3 分）（2020浙江自主招生） 已知 ACBC 于 C， BCa， CAb， ABc， 下列选项中O 的半径为 的是（ ） A B C D 【思路点拨】根据圆切线的性质和相似三角形的性质分别进行判定即可 【答案】解：A、设圆的半径是 x，圆切 AC 于 E，切 BC 于 D，切 AB 于 F，如图（1） ， 4 / 26
7、 同样得到正方形 OECD，AEAF，BDBF，则 ax+bxc， x， 故本选项错误； B、设圆切 AB 于 F，圆的半径是 y，连接 OF，如图（2） ， 则BCAOFA， ， ， 故本选项错误； C、连接 OE、OD， AC、BC 分别切圆 O 于 E、D， OECODCC90， OEOD， 四边形 OECD 是正方形， OEECCDOD， 设圆 O 的半径是 r， OEBC， AOEB， AEOODB， ODBAEO， ， 5 / 26 ， 解得：r， 故本选项错误； D、从上至下三个切点依次为 D，E，F；并设圆的半径为 x； BDBF， ADBDBABFBAa+xc； 又bxAEA
8、Da+xc； 所以 x， 故本选项正确 故选：D 【点睛】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切 圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键 6 （3 分） （2019武汉模拟）在 RtABC 中，C90，AC5，BC12若以 C 为圆心，r 为半径的圆 与斜边 AB 只有一个公共点，则半径 r 的值或取值范围是（ ） A B5r12 或 r C5r12 D5r12 或 r 【思路点拨】此题注意两种情况： （1）圆与 AB 相切时； （2）点 A 在圆内部，点 B 在圆上或圆外时根 据勾股定理以及直角三角形
9、的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解 【答案】解：BCAC， 以 C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点 根据勾股定理求得 AB13 分两种情况： （1）圆与 AB 相切时，即 rCD51213； （2）点 A 在圆内部，点 B 在圆上或圆外时，此时 ACrBC，即 5r12 故选：D 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所 6 / 26 有情况 7 （3 分） （2019 秋乳山市期末）如图，在平面直角坐标系中，P 与 y 轴相切，直线 yx 被P 截得的 弦 AB 长为，若点 P 的坐标为（
10、4，p） ，则 p 的值为（ ） A B C D 【思路点拨】首先作 PFx 轴于 F，交 AB 于 D，作 PEAB 于 E，连结 PB，由P 与 y 轴相切于点 C， P 的半径是 4，可得 OF4，继而求得点 D 的坐标，即可得ODF 与PDE 是等腰直角三角形，则可 求得 DF 的长，然后由垂径定理与勾股定理求得 PE 的长，继而求得 PD 的长，则可求得答案 【答案】解：如图，作 PFx 轴于 F，交 AB 于 D，作 PEAB 于 E，连结 PB， P 与 y 轴相切于点 C，P 的半径是 4， OF4， 把 x4 代入 yx 得 y4， D 点坐标为（4，4） ， DF4， OD
11、F 为等腰直角三角形， PED 也为等腰直角三角形， PEAB， AEBEAB42， 在 RtPBE 中，PB4， PE2， PDPE2， PFPD+DF4+2， p4+2， 故选：B 7 / 26 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行计算或论证， 常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题也考查了垂径定理 8 （3 分） （2020河北模拟）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，AOC30，半径为 2cm 的P 的圆心在 直线 OA 上，且与点 O 的距离为 6cm，如果 P 以 1cm/s 的速度沿直线 AB 由 A 向 B
12、的方向移动，那么P 与直线 CD 相切时P 运动的时间是（ ） A3 秒或 10 秒 B3 秒或 8 秒 C2 秒或 8 秒 D2 秒或 10 秒 【思路点拨】作 PHCD 于 H，根据直角三角形的性质得到 OP2PH，分点 P 在 OA 上、点 P 在 AO 的 延长线上两种情况可，根据切线的性质解答 【答案】解：作 PHCD 于 H， 在 RtOPH 中，AOC30， OP2PH， 当点 P 在 OA 上，P 与直线 CD 相切时，OP2PH4cm， 点 P 运动的距离为 642， P 运动的时间是 2 秒， 当点 P 在 AO 的延长线上，P 与直线 CD 相切时，OP2PH4cm， 点
13、 P 运动的距离为 6+410， P 运动的时间是 10 秒， 故选：D 8 / 26 【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的 关键 9 （3 分） （2019白云区一模）如图，AC 是O 的直径，OB 是O 的半径，PA 切O 于点 A，PB 与 AC 的延长线相交于点 M，COBAPB已知 OB3，PA6，则 MB 的长为（ ） A3 B4 C D6 【思路点拨】根据相似三角形的判定与性质，可得，构建解方程组，可得答案 【答案】解：PA 切O 于点 A， MAP90， P+M90 COBAPB， M+MOB90， MBO90，即 OBPB
14、， COBAPB，OBMPAM， OBMAPM， ， ， 由解得 MC2，BM4， 故选：B 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似 三角形解决问题，属于中考常考题型 10 （3 分） （2019 秋沂源县期末）如图，在O 中，AB 是直径，点 D 是O 上一点，点 C 是弧 AD 的中 9 / 26 点，CEAB 于点 E，过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CE，CB 于点 PQ连接 AC，关于下列结论：BADABC；GPGD；点 P 是ACQ 的外心，其中正确结论是（ ） A B C D 【思路点拨】连接 B
15、D，由 GD 为圆 O 的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到GDPABD， 再由 AB 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到ACB 为直角，由 CE 垂直于 AB，得到AEP 为直角，再由一对公共角，得到三角形 APE 与三角形 ABD 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出 APE 等于ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出GPDGDP，利用等角对等边可得出 GP GD，选项正确；由直径 AB 垂直于弦 CF，利用垂径定理得到 A 为弧 CF 的中点，得到两条弧相等，再 由 C 为弧 AD 的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出 CAPAC
16、P，利用等角对等边可得出 APCP，又 AB 为直径得到ACQ 为直角，利用等角的余角相 等可得出PCQPQC，得出 CPPQ， 即 P 为直角三角形 ACQ 斜边上的中点， 即为直角三角形 ACQ 的外心，选项正确 【答案】解：在O 中，AB 是直径，点 D 是O 上一点，点 C 是弧 AD 的中点， 弧 AC弧 CD弧 BD， BADABC，选项错误； 连接 BD，延长 CE 交O 于 F，如图所示： GD 为圆 O 的切线， GDPABD， 又 AB 为圆 O 的直径， ADB90， 10 / 26 CEAB， AEP90， ADBAEP，又PAEBAD， APFABD， ABDAPE，
17、又APEGPD， GDPGPD， GPGD，选项正确； 直径 ABCE， A 为弧 CF 的中点，即弧 AF弧 AC， 又 C 为弧 AD 的中点， 弧 AC弧 CD， 弧 AF弧 CD， CAPACP， APCP， 又 AB 为圆 O 的直径， ACQ90， PCQPQC， PCPQ， APPQ，即 P 为 RtACQ 斜边 AQ 的中点， P 为 RtACQ 的外心，选项正确； 故选：C 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心， 熟练掌握性质及定理是解本题的关键 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 2
18、4 分）分） 11 （4 分） （2019 秋玄武区校级月考）已知O 的半径 r2，圆心 O 到直线 l 的距离 d 是方程 x25x+6 0 的解，则直线 l 与O 的位置关系是 相切或相离 【思路点拨】先解方程，根据距离 d 与 r 的大小关系得出：直线与圆的位置关系 【答案】解：x25x+60， （x3） （x2）0， x3 或 2， 11 / 26 当 d3 时，则 dr，所以直线 l 与O 的位置关系是相离； 当 d2 时，则 dr，所以直线 l 与O 的位置关系是相切； 则直线 l 与O 的位置关系是：相切或相离； 故答案为：相切或相离 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及直线与
19、圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系时：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，直线 l 和O 相交dr；直线 l 和O 相切dr； 直线 l 和O 相离dr 12 （4 分） （2020 春绍兴月考）如图所示，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，若以点 C 为 圆心，r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点，则 r 的取值范围为 【思路点拨】如图，作 CHAB 于 H利用勾股定理求出 AB，再利用面积法求出 CH 即可判断 【答案】解：如图，作 CHAB 于 H 在 RtABC 中，ACB90，BC8，AC6， AB10， SABCACBCABCH， CH， 以
20、点 C 为圆心，r 为半径的圆与边 AB 所在直线有公共点， r， 故答案为 r 12 / 26 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 13 （4 分） （2020哈尔滨一模）如图，PA、PB 分别与O 相切于点 A、B，EF 与O 相切于点 C，且分别 交 PA、PB 于点 E、F，P60，PEF 的周长为 6，则O 的半径为 【思路点拨】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形 PEF 的周长等于 PA+PB6，又因 为 PAPB，所以可求出 PA 的长，然后解直角三角形求得 OA 即可 【答案】解：EA，EC 都
21、是圆 O 的切线， ECEA， 同理 FCFB，PAPB， PEF 的周长PF+PE+EFPF+PE+EA+FBPA+PB2PA6， PA3； 连接 PO，OA， APB60， APO30， AOAPtanAPO3， 故答案为： 【点睛】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出PEF 的周长PA+PB 14 （4 分） （2020下城区一模）如图，在ABC 中，ACB90，D 是 BC 边上的点，CD2，以 CD 为 直径的与 AB 相切于点 E若弧 DE 的长为，则阴影部分的面积 （保留 ） 13 / 26 【思路点拨】首先由弧长公式求得EOD60；然后利用BEO 的性质得到线段 OB 的
22、长度，易得 AC 与 BC 的长度；最后根据 S阴影SABCS扇形OCESOBE解答 【答案】解：如图，连接 OE， 以 CD 为直径的与 AB 相切于点 E， OEBE 设EODn， ODCD1，弧 DE 的长为， EOD60 B30，COE120 OB2OE2，BE BCOB+OC3 ACBC S阴影SABCS扇形OCESOBE 31 故答案是： 【点睛】考查了切线的性质，弧长的计算和扇形面积的计算，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构 造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直 15 （4 分） （2020浙江自主招生）在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 I、O 分
23、别是ABC 的 内心和外心，则 tanIOA 2 14 / 26 【思路点拨】由勾股定理求出 AB，得出ABC 的外接圆半径 OAAB2.5，作 IDAC 于 D，TE AB 于 E， 则 IDIECDABC 内切圆的半径1， 由切线长定理得出 AEAD2， 求出 OE 的长， tan IOA，即可得出结果 【答案】解：如图所示： C90，AC3，BC4， AB5， OAAB2.5， 作 IDAC 于 D，TEAB 于 E， 则 IDIECDABC 内切圆的半径（3+45）1， AD2， 由切线长定理得：AEAD2， OEOAAE0.5， tanIOA2 故答案为：2 【点睛】本题考查了三角形
24、的外接圆于外心、内切圆与内心、勾股定理、切线长定理、三角函数等知识； 本题综合性强，求出直角三角形的外接圆半径与内切圆半径是解决问题的关键 16 （4 分） （2020宁波）如图，O 的半径 OA2，B 是O 上的动点（不与点 A 重合） ，过点 B 作O 的 切线 BC，BCOA，连结 OC，AC当OAC 是直角三角形时，其斜边长为 2或 2 【思路点拨】当AOC90时，连接 OB，根据切线的性质得到OBC90，根据勾股定理得到 AC 15 / 26 2 【答案】解：BC 是O 的切线， OBC90， BCOA， OBBC2， OBC 是等腰直角三角形， BCO45， ACO45， 当OAC
25、 是直角三角形时，AOC90，连接 OB， OCOB2， AC2； 当OAC 是直角三角形时，OAC90，连接 OB， BC 是O 的切线， CBOOAC90， BCOAOB， OBC 是等腰直角三角形， ， 故答案为：2或 2 【点睛】本题考查了切线的性质勾股定理，正确的理解题意是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2020上虞区模拟）数学课上，王老师画好图后并出示如下内容： “已知：AB 为O 的直径， O 过 AC 的中点 D，DE 为O 的切线 ” 16 / 26 （1）王老师要求同学们根据已知条件，在不添加线段与标注字母的前
26、提下，写出三个正确的结论，并选 择其中一个加以证明 （2）王老师说：如果添加条件“DE1，tanC” ，则能求出O 的直径请你写出求解过程 【思路点拨】 （1）三个正确的结论：ABCB，AC，DEBC；连接 BD、OD，由圆周角定理得 ADB90，则 BDAC，由线段垂直平分线的性质得 ABCB，由等腰三角形的性质得AC；证 OD 为ABC 的中位线，则 ODBC，由切线的性质得出 DEOD，得出 DEBC； （2）由三角函数定义求出 CE2DE2，由勾股定理得出 CD，则 ADCD，由三角函数定 义得 tanA，则 BDAD，由勾股定理求出 AB 即可 【答案】解： （1）三个正确的结论：A
27、BCB，AC，DEBC；理由如下： 连接 BD、OD，如图： AB 为O 的直径， ADB90， BDAC， D 为 AC 的中点， ABCB， AC； D 为 AC 的中点，O 为 AB 的中点， OD 为ABC 的中位线， ODBC， DE 为O 的切线， DEOD， DEBC； （2）由（1）知：DEBC， DE1，tanC， CE2DE2， 17 / 26 CD， D 为 AC 的中点， ADCD， AC， tanAtanC， tanA， BDAD， AB， 即O 的直径为 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中 位线定理、勾股定理、
28、三角函数定义等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键 18 （8 分） （2019西湖区一模）如图，AB、AC 是O 的两条切线，B、C 为切点，连结 CO 并延长交 AB 于点 D，交O 于点 E，连结 BE，AO （1）求证：AOBE； （2）若 tanBEO，DE2，求 CO 的长 【思路点拨】 （1）欲证明：AOEB，只要证明 OABC，BEBC 即可； 18 / 26 （2）在 RtAOC 中，设 OCr，则 ACr，OAr，在 RtCEB 中，EBr，由 BEOA， 推出DBEDAO，推出，由此构建方程即可解决问题 【答案】解： （1）证明：连结 BC，OB AB，AC
29、是O 的两条切线，B，C 为切点， ABAC， 又OCOB，AOAO ACOABO CAOBAO， OABC， CE 是O 的直径， CBE90， BEBC， OABE； （2）OABE， BEOAOC， tanBEO， tanAOC， 在 RtAOC 中，设 OCr，则 ACr，OAr， 在 RtCEB 中，EBr， BEOA， DBEDAO， 19 / 26 ， ， DO3， OCOEDODE321 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的 关键是熟练掌握基本知识，正确寻找相似三角形解决问题 19 （8 分） （2020金湖县一模）如图，已
30、知 AB 是O 的直径，AE 平分BAF 交O 于点 E，过点作 CD AF 交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C （1）试说明 CD 是O 的切线； （2）若 AD5，O 的半径为 4，求 AE 的长 【思路点拨】 （1）连接 OE，根据角平分线的定义得出OAEDAE，关键等腰三角形的性质得出 OAEOEA，求出OEADAE，求出 OEAD，根据平行线的性质得出 OECD，根据切线的判 定得出即可； （2）连接 BE，根据圆周角定理求出AEB90，根据相似三角形的判定得出AEBADE，根据相 似三角形的性质得出比例式，代入求出即可 【答案】解： （1）连接 OE， AE 平
31、分BAF， OAEDAE， OEOA， OAEOEA， OEADAE， OEAD， 20 / 26 ADCD， OECD， OE 过 O， CD 是O 的切线； （2）连接 BE， AB 是O 的直径，ADCD， BEAADE90， BAEDAE， AEBADE， ， AD5，O 的半径为 4， ， 解得：AE2 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，切线的判定，圆周角定理，相似 三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 20 （10 分） （2019 秋番禺区期末）如图，已知O 为 RtABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，且C 90，A
32、B13，BC12 （1）求 BF 的长； （2）求O 的半径 r 【思路点拨】 （1）设 BFBDx，利用切线长定理，构建方程解决问题即可 （2）证明四边形 OECF 是矩形，推出 OECF 即可解决问题 【答案】解： （1）在 RtABC 中，C90，AB13，BC12， 21 / 26 AC5， O 为 RtABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F， BDBF，ADAE，CFCE， 设 BFBDx，则 ADAE13x，CFCE12x， AE+EC5， 13x+12x5， x10， BF10 （2）连接 OE，OF， OEAC，OFBC， OECCOFC90， 四边形 OECF 是矩形， O
33、ECFBCBF12102 即 r2 【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型 21 （10 分） （2019永安市一模）已知：如图，在ABC 中，BCAC，以 BC 为直径的O 与边 AB 相交于 点 D，DEAC，垂足为点 E （1）求证：点 D 是 AB 的中点； （2）判断 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论； （3）若O 的直径为 10，tanB3，求 DE 的长 22 / 26 【思路点拨】 （1）利用等腰三角形的性质即可解决问题 （2）连接 OD，证明 DEOD 即可 （3）利用面积法可知：ADDCACDE，由此
34、即可解决问题 【答案】 （1）证明：连接 CD BC 是O 的直径， BDC90， CDAB， CBCA， BDAD， 点 D 是 AB 的中点 （2）解：结论：DE 是O 的切线 理由：连接 OD BDAD，BOOC， ODAC， DEAC， DEOD， DE 是O 的切线 （3）解：在 RtBCD 中，tanB3，设 BDk，则 CD3k， 则有：10k2100， k或（舍弃） ， CD3，ADBD，ACCB10， ADDCACDE， 23 / 26 DE3 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型 22
35、（12 分） （2020雨花区校级二模）如图，点 E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于 点 D，交 BC 于 F （1）若ABC40，C80，求CBD 的度数； （2）求证：DBDE； （3）若 AB6，AC4，BC5，求 DE 的长 【思路点拨】 （1）根据ABC40，C80，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可求 CBD 的度数； （2）理解 BE，根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等DEBDBE，从而依据等角对等边即可 证明 DBDE； （3）利用已知 AB6，AC4，和角平分线性质可得，由 BC5，可得 BF 和 FC 的值， 再证明BDFACF 和DB
36、FDAB，再利用相似三角形的性质得到关于 BD 的方程，即可求 DE 的长 【答案】解： （1）ABC40，C80， BAC180408060， 点 E 是ABC 的内心， CADBADBAC30， 24 / 26 CBDCAD30 答：CBD 的度数为 30； （2）证明：如图，连接 BE， 12，34， 26， 16， 51+3， DBE6+41+3， 5DBE， DBDE； （3）12，AB6，AC4，BC5， ， BF3，CF2， 62，DC， BDFACF， 2， DFBD， DFAFBFCF6， 126，BDFADB， DBFDAB， ， BD2DFDADF（AF+DF）DFAF+
37、DF26+（BD）2， 解得 BD2， DEBD2 25 / 26 答：DE 的长为 2 【点睛】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的 关键是正确理解三角形的内心定义 23 （12 分） （2019黄石）如图，AB 是O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，C、E 是O 上的两点，CE CB，BCDCAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F （1）求证：CD 是O 的切线； （2）求证：CECF； （3）若 BD1，CD，求弦 AC 的长 【思路点拨】 （1）连接 OC，可证得CADBCD，由CAD+ABC90，可得出OCD90， 即结论得证
38、； （2）证明ABCAFC 可得 CBCF，又 CBCE，则 CECF； （3）证明DCBDAC，可求出 DA 的长，求出 AB 长，设 BCa，ACa，则由勾股定理可得 AC 的长 【答案】解： （1）连接 OC，如右图所示， AB 是O 的直径， ACB90， CAD+ABC90， CECB， CAECAB， BCDCAE， CABBCD， OBOC， OBCOCB， OCB+BCD90， 26 / 26 OCD90， CD 是O 的切线； （2）BACCAE，ACBACF90，ACAC， ABCAFC（ASA） ， CBCF， 又CBCE， CECF； （3）BCDCAD，ADCCDB， DCBDAC， ， ， DA2， ABADBD211， 设 BCa，ACa，由勾股定理可得：， 解得：a， 【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性 质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线