1、2020-2021 学年陕西省西安市碑林区九年级（上）第二次月考数学试卷学年陕西省西安市碑林区九年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一一个是符合题意的）每小题只有一一个是符合题意的） 1下列函数是二次函数的是（ ） Ayax2+bx+c By2x3 C Dy8x2+1 2如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ） A B C D 3在锐角ABC 中，若（sinA）2+|cosB|0，则C 等于（ ） A60 B45 C75 D105 4将抛物找 y2x2向左平移 4 个单位，再向下平移 1
2、 个单位得到的抛物找解析式为（ ） Ay2（x4）2+1 By2（x4）21 Cy2（x+4）2+1 Dy2（x+4）21 5如图，D、E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，ADEACB，若 AD2，AB6，AC4，则 AE 的 长是（ ） A1 B2 C3 D4 6 在 RtABC 中， C90， a、 b、 c 分别为A、 B、 C 所对的边， 则下列等式中不正确的是 （ ） AacsinA Ba CbcsinB Dc 7二次函数 y4x2x+1 的图象与 x 轴的交点个数是（ ） A1 个 B2 个 C0 个 D无法确定 8对于双曲线，x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取
3、值范围为（ ） Ak2 Bk2 Ck2 Dk2 9如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sinBAC（ ） A B C D 10如图，是抛物线 y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3） ，与 x 轴的一个 交点 B（4，0） ，直线 y2mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：2a+b0；m+n3； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0） ；方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根；当 1x4 时， 有 y2y1；若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2；则 x1+x21正确个数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D
4、5 个 二二.填空题（每题填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11抛物线 y2x2+4x+5 的对称轴是 ，顶点坐标是 12如图，斜坡 AB 的坡度是 1：4，如果从点 B 测得离地面的铅垂线高度 BC 是 6 米，那么斜坡 AB 的长度 是 米 13将抛物线 y（x2）2+4 绕原点旋转 180，所得抛物线的解析式是 14如图，点 A，B 在双曲线 y（x0）上，点 C 在双曲线 y（x0）上，若 ACy 轴，BCx 轴， 且 ACBC，则 AB 的长为 15若二次函数 yax26ax+c（a0）的图象经过 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（5，y3）三点，则 y1，y2，
5、 y3的大小关系是 16如图，在四边形 ABCD 中，ABADAC，ABC120，ADC150，BC+CD4，则 BD 的 最小值是 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，计小题，计 72 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 17 （10 分）计算： （1）cos45+（3.14）0； （2） （1）2020+|2|+tan60 18 （5 分） 如图， 已知矩形 ABCD， AC 是一条对角线， 请用尺规在边 AD 上确定点 E， 在边 BC 上确定点 F， 使得四边形 AFCE 是菱形（不写作法，保留作图痕迹） 19 （8 分）如图，RtABC 中，C90，点 D 在 BC 边上，
6、已知ADC45，DC6，sinB （1）求ABD 的面积 （2）求 sinBAD 20 （8 分） “传承红色基因，谱写时代新篇” ，爱华中学将举办纪念“一二九”爱国运动合唱比赛九年级 的 3 个班级独立参赛，每班随机抽取一首红歌作为参赛曲目，其中备选歌曲有 A（ 长城谣 ） 、B（ 走向 复兴 ） 、C（ 东方红 ）三首，每首红歌所选班级不限 （1）直接写出 1 班选到 B走向复兴 ）的概率； （2）若 1 班已选到 A（ 长城谣 ）作为参赛曲目，请利用列表或画树状图的方法求出 3 个班恰好演唱 3 首不同曲目的概率 21 （8 分） 为更好筹备 “十四运” 的召开， 小颖及其小组成员将利用
7、所学知识测量一个广告牌的高度 EF 在 第一次测量中， 小颖来回走动， 走到点 D 时， 其影子末端与广告牌影子末端重合于点 H， 其中 DH1m 随 后， 组员在直线DF上平放一平面镜， 在镜面上做了一个标记， 这个标记在直线DF上的对应位置为点G 镜 子不动，小颖从点 D 沿着直线 FD 后退 5m 到 B 点时，恰好在镜子中看到顶端 E 的像与标记 G 重合，此 时 BG2m 如图，已知 ABBF，CDBF，EFBF，小颖的身高为 1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计） ，平面镜的厚 度忽略不计根据以上信息，求广告牌的高度 EF 22 （10 分）我国部分地区雾霾天气趋于严重，环境治理刻不容
8、缓某电器商场代理销售某种家用空气净化 器，其进价是 200 元/台经调研发现，其月销售量 y（台）与当月售价 x（元/台）之间存在一次函数关 系当售价是 400 元/台时，月销售量为 200 台；当售价是 360 元/台时，月销售量为 400 台若供货商规 定这种空气净化器售价不能低于 260 元/台，代理销售商每月要完成不低于 700 台的销售往来 （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系； （2）试求出当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 W（元）最大？ 最大利润是多少元？ 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax
9、2+bx+c（a0）交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，交 y 轴于 C 点，顶点为 D 点其中 A（1，0） ，OCOB3OA （1）求该抛物线的表达式； （2）在抛物线上 A 点左侧的部分上存在点 P，使得BADPBA，直接写出点 P 的坐标； （3）在 x 轴是否存在点 E，y 轴是否存在点 F，使得以 A、D、E、F 四点为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由 24 （12 分）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，将 CA 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE，将 CB 绕点 C 旋转， 使点 B 的对应点 D 落在 CE
10、 上，连接 BE、AD 并延长 AD 交 BE 于点 F （1）求证：AFBE； （2）连接 CF，猜想 AF，EF，CF 存在的等量关系，并证明你猜想的结论； （3）如图 2，延长 AB 到 G，使 BGCB，将线段 BG 沿直线 BE 上下平移，平移后的线段记为 BG，若 ABE60，当 CB+CG的值最小时，请求出 tanGCG 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分分.每小题只有一一个是符合题意的）每小题只有一一个是符合题意的） 1下列函数是二次函数的是（ ） Ayax2+bx+c By2x3
11、 C Dy8x2+1 【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为 0 【解答】解：A、yax2+bx+c，二次项系数 a 不能确定是否为 0，不是二次函数； B、y2x3，是一次函数； C、yx2+，不是含自变量的整式，不是二次函数； D、是二次函数； 故选：D 2如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状 【解答】解：从上面观察可得到： 故选：C 3在锐角ABC 中，若（sinA）2+|cosB|0，则C 等于（ ） A60 B45 C75 D105 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三
12、角函数值得出答案 【解答】解：（sinA）2+|cosB|0， sinA0，cosB0， A60，B60， 在锐角ABC 中，C60 故选：A 4将抛物找 y2x2向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位得到的抛物找解析式为（ ） Ay2（x4）2+1 By2（x4）21 Cy2（x+4）2+1 Dy2（x+4）21 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物找 y2x2向左平移 4 个单位所得直线解析式为：y2（x+4）2； 再向下平移 1 个单位为：y2（x+4）21 故选：D 5如图，D、E 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，ADEACB，若 AD2
13、，AB6，AC4，则 AE 的 长是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】证明ADEACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【解答】解：ADEACB，AA， ADEACB， ，即， 解得，AE3， 故选：C 6 在 RtABC 中， C90， a、 b、 c 分别为A、 B、 C 所对的边， 则下列等式中不正确的是 （ ） AacsinA Ba CbcsinB Dc 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可 【解答】解：在 RtABC 中，C90，a、b、c 分别为A、B、C 所对的边， 所以 sinA，即 acsinA，因此选项 A 不符合题意， tanA，即 abtanA，因
14、此选项 B 符合题意， sinB，即 bcsinB，因此选项 C 不符合题意， cosA，即 c，因此选项 D 不符合题意， 故选：B 7二次函数 y4x2x+1 的图象与 x 轴的交点个数是（ ） A1 个 B2 个 C0 个 D无法确定 【分析】 要判断二次函数y4x2x+1的图象与x轴的交点个数， 只需判定方程4x2x+10的根的情况 【解答】解：b24ac1160， 抛物线与 x 轴无交点 故选：C 8对于双曲线，x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围为（ ） Ak2 Bk2 Ck2 Dk2 【分析】先根据函数的增减性得出关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围即可 【
15、解答】解：双曲线，x0 时，y 随 x 的增大而增大， k20 k2， 故选：A 9如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sinBAC（ ） A B C D 【分析】作 BDAC 于 D，根据勾股定理求出 AB、AC，利用三角形的面积求出 BD，最后在直角ABD 中根据三角函数的意义求解 【解答】解：如图，过点 B 作 BDAC 于 D， 由勾股定理得，AB，AC3， SABCACBD3BD13， BD， sinBAC 故选：B 10如图，是抛物线 y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A（1，3） ，与 x 轴的一个 交点 B（4，0） ，直线 y2mx+n
16、（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：2a+b0；m+n3； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（1，0） ；方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根；当 1x4 时， 有 y2y1；若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2；则 x1+x21正确个数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据函数的图象和性质逐个求解即可 【解答】解：对称轴 x1，则 2a+b0， 由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为 yx+4，即 m1，n4，故 m+n3，故正确； 对称轴是直线 x1，与 x 轴的一个交点是（4，0） ，则与 x 轴的另一个交点是（2，0） ，故
17、错误； 把抛物线 yax2+bx+c 向下平移 3 个单位，得到 yax2+bx+c3， 顶点坐标 A（1，3）变为（1，0） ，抛物线与 x 轴只有一个交点， 方程 ax2+bx+c3 有两个相等的实数根，故正确； 当 1x4 时，由图象可知 y2y1，故正确； ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2； 1， x1+x22，故错误； 故选：B 二二.填空题（每题填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11抛物线 y2x2+4x+5 的对称轴是 直线 x1 ，顶点坐标是 （1，3） 【分析】利用公式法和配方法可求 y2x2+4x+5 的对称轴和顶点的坐标 【解答】解： （1）解
18、法 1：利用公式法 yax2+bx+c 的顶点坐标公式为（，） ，代入数值求得对称轴是：直线 x1，顶点坐标为 （1，3） ； （2）解法 2：利用配方法 y2x2+4x+52（ x2+2x+1）+32（x+1）2+3，故对称轴是直线 x1，顶点的坐标是（1，3） 12如图，斜坡 AB 的坡度是 1：4，如果从点 B 测得离地面的铅垂线高度 BC 是 6 米，那么斜坡 AB 的长度 是 6 米 【分析】先利用坡度的定义，求出水平宽度 AC 的长，再利用勾股定理得出斜坡 AB 的长度 【解答】解：斜坡 AB 的坡度 i1：4， ， 从点 B 测得离地面的铅垂线高度 BC 是 6 米， ， 解得：
19、AC24， 则斜坡 AB 的长为：6（米） 故答案为 6 13将抛物线 y（x2）2+4 绕原点旋转 180，所得抛物线的解析式是 y（x+2）24 【分析】根据顶点式，将其绕顶点旋转 180后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方 向，再根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数得出所求新抛物线的解析式 【解答】解：将抛物线 y（x2）2+4 绕原点旋转 180，所得抛物线的解析式是 y（x+2）24， 故答案为 y（x+2）24 14如图，点 A，B 在双曲线 y（x0）上，点 C 在双曲线 y（x0）上，若 ACy 轴，BCx 轴， 且 ACBC，则 AB 的长为 2 【
20、分析】依据点 C 在双曲线 y（x0）上，ACy 轴，BCx 轴，可设 C（a） ，则 B（3a，） ， A（a， ） ，依据 ACBC，即可得到3aa，进而得出 a1，依据 C（1，1） ，B（3，1） ，A（1， 3） ，即可得到 ACBC2，进而得到 RtABC 中，AB2 【解答】解：点 C 在双曲线 y（x0）上，ACy 轴，BCx 轴， 设 C（a，） ，则 B（3a，） ，A（a，） ， ACBC， 3aa， 解得 a1， （负值已舍去） C（1，1） ，B（3，1） ，A（1，3） ， ACBC2， RtABC 中，AB2， 故答案为 2 15若二次函数 yax26ax+c（a
21、0）的图象经过 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（5，y3）三点，则 y1，y2， y3的大小关系是 y2y3y1 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线 x3，根据 x3 时，y 随 x 的增大 而减小，即可得出答案 【解答】解：yax26ax+c（a0） ， 图象的开口向上，对称轴是直线 x3， C（5，y3）关于直线 x3 的对称点是（1，y3） ， 1123， y2y3y1， 故答案为 y2y3y1 16如图，在四边形 ABCD 中，ABADAC，ABC120，ADC150，BC+CD4，则 BD 的 最小值是 【分析】将ADC 绕点 A 顺时针旋转至ABM
22、，可推得CBM90及ABDAMC，由勾股定理将 CM 用 BC 表示出来，求得 CM 的最小值，再结合 BDMC，可得答案 【解答】解：如图，将ADC 绕点 A 顺时针旋转至ABM，使 AD 与 AB 重合，连接 CM，则ADC ABM， ACAM，BMDC，ABMADC150， CBM360ABCABM36012015090， 又DACBAM， DAC+CABBAM+CAB，即DABCAM， 又1， ABDAMC， ， BDMC， BC+CD4，BMDC， BC+BM4， CBM90， CM ， 当 BC2 时，CM 取得最小值为 2 BDMC， BD 的最小值是 故答案为： 三、解答题（共
23、三、解答题（共 8 小题，计小题，计 72 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 17 （10 分）计算： （1）cos45+（3.14）0； （2） （1）2020+|2|+tan60 【分析】 （1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案； （2）直接利用有理数的乘方、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解： （1）原式2+1 21+1 2； （2）原式1+2+ 3 18 （5 分） 如图， 已知矩形 ABCD， AC 是一条对角线， 请用尺规在边 AD 上确定点 E， 在边 BC 上确定点 F， 使得四边形 AFCE 是菱形
24、（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】如图，连接 BD 交 AC 于点 O，过点 O 作 OMAC 交 AD 于 E，交 BC 于 F，连接 CE，AF，四 边形 AECF 即为所求作 【解答】解：如图，四边形 AECF 即为所求作 19 （8 分）如图，RtABC 中，C90，点 D 在 BC 边上，已知ADC45，DC6，sinB （1）求ABD 的面积 （2）求 sinBAD 【分析】 （1）利用 sinB求出 AB 的长，再由勾股定理求出 BC 的长，即可推出 BD 的长，ABD 可以 以 BD 为底，AC 为高即可求出其面积； （2）过点 D 作 DEAB 于点 E，结合（1）利用等积
25、法即可求出 DE 的长，再在 RtADE 中即可求出 sin BAD 的值 【解答】解： （1）由题意可知：ACDC6， 在 RtABC 中，sinB， AB10， BC8， BDBCDC862， SABD6； （2）过点 D 作 DEAB 于点 E， SABD6， DE， 在 RtACD 中，ACDC6， AD6， 在 RtAED 中，sinBADsinEAD 20 （8 分） “传承红色基因，谱写时代新篇” ，爱华中学将举办纪念“一二九”爱国运动合唱比赛九年级 的 3 个班级独立参赛，每班随机抽取一首红歌作为参赛曲目，其中备选歌曲有 A（ 长城谣 ） 、B（ 走向 复兴 ） 、C（ 东方红
26、 ）三首，每首红歌所选班级不限 （1）直接写出 1 班选到 B走向复兴 ）的概率； （2）若 1 班已选到 A（ 长城谣 ）作为参赛曲目，请利用列表或画树状图的方法求出 3 个班恰好演唱 3 首不同曲目的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出 3 个班恰好演唱 3 首不同曲目的情况数，然后 根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）备选歌曲有 A（ 长城谣 ） 、B（ 走向复兴 ） 、C（ 东方红 ）三首， 1 班选到 B走向复兴 ）的概率是； （2）根据题意画树状图如下： 共有 9 种等可能的情况数，其中 3 个班恰好演唱
27、3 首不同曲目的有 2 种， 则 3 个班恰好演唱 3 首不同曲目的概率是 21 （8 分） 为更好筹备 “十四运” 的召开， 小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度 EF 在 第一次测量中， 小颖来回走动， 走到点 D 时， 其影子末端与广告牌影子末端重合于点 H， 其中 DH1m 随 后， 组员在直线DF上平放一平面镜， 在镜面上做了一个标记， 这个标记在直线DF上的对应位置为点G 镜 子不动，小颖从点 D 沿着直线 FD 后退 5m 到 B 点时，恰好在镜子中看到顶端 E 的像与标记 G 重合，此 时 BG2m 如图，已知 ABBF，CDBF，EFBF，小颖的身高为 1.5m
28、（眼睛到头顶距离忽略不计） ，平面镜的厚 度忽略不计根据以上信息，求广告牌的高度 EF 【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出EFHCDH，EFGABG，进而利 用相似三角形的性质得出 EF 的长 【解答】解：设广告牌的高度 EF 为 xm， 依题意知：DB5m，BG2m，DH1m，ABCD1.5m GDDBBG3m， FGGD+DF4m CDBF，EFBF， CDEF EFHCDH ，即 DFx1 由平面镜反射规律可得：EGFAGB ABBF， ABG90EFG EFGABG ，即 x3 故广告牌的高度 EF 为 3m 22 （10 分）我国部分地区雾霾天气趋于严重，环境治理刻
29、不容缓某电器商场代理销售某种家用空气净化 器，其进价是 200 元/台经调研发现，其月销售量 y（台）与当月售价 x（元/台）之间存在一次函数关 系当售价是 400 元/台时，月销售量为 200 台；当售价是 360 元/台时，月销售量为 400 台若供货商规 定这种空气净化器售价不能低于 260 元/台，代理销售商每月要完成不低于 700 台的销售往来 （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系； （2）试求出当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 W（元）最大？ 最大利润是多少元？ 【分析】 （1）根据待定系数法即可求出；月销售量 y（
30、台）与售价 x（元/台）之间的函数关系，根据供 货商规定这种空气净化器售价不能低于 260 元/台，代理销售商每月要完成不低于 700 台的销售即可求出 x 的取值； （2）用 x 表示 y，然后再用 x 来表示出 w，根据函数关系式，即可求出最大 W 【解答】解： （1）设月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系为 ykx+b， 把 x400 时，y200，x360 时，y400 代入上式得：， 解得：， 设月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系为 y5x+2200， 由供货商规定这种空气净化器售价不能低于 260 元/台，代理销售商每月要完成不低于 700 台，
31、得， 解得：260 x300， 月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系为 y5x+2200（260 x300） ； （2）W（x200） （5x+2200） ， 整理得：W5（x320）2+72000， 在 260 x300 内，W 随 x 的增大而增大， 当 x300 时，W 的最大值为5（300320）2+7200071900， 即售价定为 300 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 W 最大，最大利润是 71900 元 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，交 y
32、轴于 C 点，顶点为 D 点其中 A（1，0） ，OCOB3OA （1）求该抛物线的表达式； （2）在抛物线上 A 点左侧的部分上存在点 P，使得BADPBA，直接写出点 P 的坐标； （3）在 x 轴是否存在点 E，y 轴是否存在点 F，使得以 A、D、E、F 四点为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先由 OCOB3OA 求得点 B、C 的坐标，设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3） ，将点 C 的坐标代入求解即可； （2）过点 P 作 PHx 轴于 H，过点 D 作 DEx 轴于 E，设 P（x，x22x3） ，根据等角的三
33、角函数值 相等即可求解； （3）设 E（a，0） ，F（0，b） ，由 A（1，0） ，D（1，4） ，分三种情况画出图形，根据平行四边形的 性质以及中点坐标即可求解 【解答】解： （1）点 A 的坐标为（1，0） ， OA1 又OCOB3OA， OC3，OB3， B（3，0） ，C（0，3） 设抛物线的解析式为 ya（x+1） （x3） ， 将 x0，y3 代入得：3a3，解得 a1， 抛物线的解析式为 y（x+1） （x3）x22x3； （2）过点 P 作 PHx 轴于 H，过点 D 作 DEx 轴于 E，设 P（x，x22x3） ， 抛物线 yx22x3，顶点为 D 点 D（1，4） ，
34、 A（1，0） ，B（3，0） ， AE2，DE4，BH3x，PHx22x3， tanBAD2，tanPBA， BADPBA， tanPBA2， x13，x23（舍去） ， x3 时，x22x312， P（3，12） ； （3）设 E（a，0） ，F（0，b） ， 四边形 AEDF 是平行四边形， A（1，0） ，D（1，4） ，AD 是对角线， AD 的中点坐标为（0，2） ， 四边形 AEDF 是平行四边形， AD，EF 互相平分， EF 的中点坐标为（0，2） ， 0， a0， 点 E 的坐标为（0，0） ； 四边形 ADEF 是平行四边形， 四边形 ADEF 是平行四边形， AE，DF
35、 互相平分， A（1，0） ，D（1，4） ，E（a，0） ，F（0，b） ， AE 的中点坐标为（，0） ，DF 的中点坐标为（，） ， ， a2， 点 E 的坐标为（2，0） ； 四边形 ADFE 是平行四边形， 四边形 ADFE 是平行四边形， AF，DE 互相平分， A（1，0） ，D（1，4） ，E（a，0） ，F（0，b） ， AF 的中点坐标为（，） ，DE 的中点坐标为（，2） ， ， a2， 点 E 的坐标为（2，0） ； 综上，存在点 E，点 F，使得以 A、D、E、F 四点为顶点的四边形是平行四边形，点 E 的坐标为（0，0） 或（2，0）或（2，0） 24 （12 分）
36、如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，将 CA 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE，将 CB 绕点 C 旋转， 使点 B 的对应点 D 落在 CE 上，连接 BE、AD 并延长 AD 交 BE 于点 F （1）求证：AFBE； （2）连接 CF，猜想 AF，EF，CF 存在的等量关系，并证明你猜想的结论； （3）如图 2，延长 AB 到 G，使 BGCB，将线段 BG 沿直线 BE 上下平移，平移后的线段记为 BG，若 ABE60，当 CB+CG的值最小时，请求出 tanGCG 的值 【分析】 （1）证明ACDECB（SAS） ，推出AE，即可解决问题 （2）结论：AFEFCF首先证明 C
37、TCF，再证明 ATEF，即可解决问题 （3）设 CBBGm由题意四边形 CBGB是平行四边形，推出 CBBG，推出 CB+CGCG +GB，作点 C 关于直线 GG的对称点 T，连接 BT 交 GG于 G，此时 CG+GB 的值最小，作 THCG 交 GG于 H，设 CT 交 GH 于 O过点 G作 GKBG 于 K，想办法求出 GK，CK（用 m 表示） ，即可解决问题 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 将 CA 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE， CACE，ACDECB90， 将 CB 绕点 C 旋转，使点 B 的对应点 D 落在 CE 上， CDCB， ACDECB（SAS）
38、， AE， A+ADC90，ADCEDF， E+EDF90， EFD90， AFBE （2）解：如图 1 中，连接 CF结论：AFEFCF 理由：过点 C 作 CTCF，交 AF 于 T DFB+DCB90+90180， D，C，B，F 四点共圆， DFCDBC45， FCT90， CTFCFT45， CTCF，FTCF， ACETCF90， ACTECF， CACE，CTCF， ACTECF（SAS） ， ATEF， AFEFAFATFTCF （3）解：如图 2 中，设 CBBGm CBBGBG，BGBC， 四边形 CBGB是平行四边形， CBBG， CB+CGCG+GB， 作点 C 关于直线 GG的对称点 T，连接 BT 交 GG于 G，此时 CG+GB 的值最小，作 THCG 交 GG于 H，设 CT 交 GH 于 O COOT，THOOGC，HOTCOG， THOCGO（AAS） ， THCG2m，OGOH， 在 RtCGO 中，CGOCBE60，CG2m， OGOHCGcos60m， HTBG， HG：GGHT：GB2：1， HGm，GGm， 过点 G作 GKBG 于 K，则 GKGGm，GKm，CK2mmm， tanGCG