1、六年级奥数精品讲义及常考易错题汇编六年级奥数精品讲义及常考易错题汇编-计数问题计数问题-容斥原理容斥原理 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重 复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容 中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无 重复这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考 容斥原理 1：两量重叠问题 A 类与 B 类元素个数的总
2、和=A 类元素的个数+B 类元素个数-既是 A 类又是 B 类的元素个数 用符号可表示成：AB=A+B-AB （其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思， 符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思） 容斥原理 2：三量重叠问题 A 类、B 类与 C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数-既是 A 类又是 B 类的元 素个数-既是 B 类又是 C 类的元素个数-既是 A 类又是 C 类的元素个数+同时是 A 类、B 类、C 类的元素个 数 用符号表示为：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC 【经典例题】 例 1：聚会时，有 5 人喝可乐，有
3、 6 人喝果汁，有 4 人喝茶水，其中有 3 人既喝果汁又喝茶水，有（ ） 人参加聚会 A、18 B、12 C、10 分析： 由题意可知， 聚会人数=喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数-既喝果汁又喝茶水的人数即可 解：5+6+4-3=12（人） 答：共有 12 人参加聚会 故选：B 点评：此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题 一选择题 1三（1）班有 30 人，订阅少儿书画的有 20 人，订阅少年博览的有 25 人，每人至少订阅一种刊 物，两种刊物都订阅的有( )人 A15 B25 C35 2 某班同学积极参加跳绳比赛， 参加集体比赛的有 10 人、 参加个人比
4、赛的有 19 人， 两项都参加的有 8 人， 这个班共有( )人参加跳绳比赛 A21 B27 C29 D37 3同学们去秋游，休息时玩了 2 个游戏玩贴鼻子的有 27 人，玩抢椅子的有 34 人，两个游戏都玩的有 11 人，参加秋游的同学共( )人 A72 B61 C50 4一班进行语文、数学测试，得优的共 30 人其中语文得优的有 18 人，两科全得优的有 9 人，数学得优 的有( )人 A3 B12 C21 5某单位职工 24 人中，有女性 11 人，已婚的 16 人在已婚的 16 人中有女性 6 人问这个单位的未婚男 性有多少人？( ) A1 B3 C9 D12 6小强和小刚经常向王爷爷
5、借书来读已知王爷爷有 100 本书，其中小强读过的书有 60 本，小刚读过的 书有 50 本，两人都读过的书有 20 本，那么( ) A两人都没读过的书有 20 本 B小强读过但小刚没读过的书有 30 本 C小刚读过但小强没读过的书有 40 本 D只有一人读过的书有 70 本 7同学们去动物园游玩，参观猴馆的有 31 人，参观孔雀馆的有 26 人，参观两个馆的有 20 人每位同学 至少参观这两馆中的一个，则去动物园的一共有( )人 A37 B57 C46 8三（1）班喜欢读书的有 28 人，喜欢运动的有 31 人，既喜欢读书又喜欢运动的有 12 人，三（1）班共 有( )人（每人至少选一项喜欢
6、的） A59 B35 C47 9三（1）班有学生 45 人，喜欢喜羊羊的有 38 人，喜欢美羊羊的有 36 人，每个学生至少喜欢喜羊羊和美 羊羊中的一个，既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有( )人 A12 B29 C33 10下列 4 句话中正确的说法是哪些？( ) （1）步测一段距离，每步的平均长度和走的步数成反比例 （2）用 4 个圆心角是90的扇形肯定可以拼成一个圆 （3）将形状、大小一样的红、白两种颜色的小球各 5 个，放在一个不透明的袋子里，任意摸出 1 个球，摸 到红球和白球的可能性相等 （4）一个班有 40 名学生，其中有 18 人参加美术组，15 人参加数学组，有 10 人这两个小组
7、都参加，那么 这两个小组都没参加的有 17 人 A（1）（2）（3） B（1）（3）（4） C（2）（3）（4） D（1）（2）（4） 二填空题 11三（1）班有 32 人订阅了小学科学，有 24 人订阅了纸上天文馆，有 12 人两种刊物都订阅了， 每人至少订阅了其中的一种刊物，三（1）班共有 人。 12某小学举行数学、语文，常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学 203 人，语文 179 人，常识 165 人。参加两科的：数学，语文 143 人，数学、常识 116 人，语文、常识 97 人，三科都参加的有 89 人。这 个小学参加竞赛的总人数有 人。 13希望小学有 32 人参加围棋和象棋
8、比赛，其中 18 人参加围棋比赛，23 人参加象棋比赛，既参加围棋比 赛又参加象棋比赛的有 人 14东风小学组织同学们参加运动会，三年级参加跳远的有 6 人，参加跳高的有 8 人，同时参加这两项运 动的有 3 人。参加这两项运动的有 人，只参加跳高的有 人。 15同学们去动物园玩，参观猴山的有 26 人，参观大象馆的有 31 人，两个馆都参观的有 17 人，去动物园 的一共有 人，只参观猴山的有 人。 16学校运动会上，三（1）班参加跳绳比赛的有 12 人，参加跑步比赛的有 8 人，两种比赛都参加的有 5 人，三（1）班参加比赛的一共有 人。 17北街小学三（1）班有 55 个同学，一次半期测
9、试后统计语文成绩达到优秀的有 39 人，数学成绩达到优 秀的有 41 人，语文和数学成绩都达到优秀的有 人 18运动会上，三（1）班同学有 15 人参加了跳绳比赛，8 人参加了短跑比赛，赛后发现参加两项比赛的总 人数是 20 人，这是因为： 19三（1）班有 32 人，校运会上，参加跳绳的有 22 人，参加踢毽子的有 16 人，其中两项都参加的有 8 人，两项都没参加的有 人 20三（1）班同学参加兴趣小组活动参加合唱组的有 34 人，参加美术组的有 27 人，两个组都参加的有 19 人，三（1）班一共有 人参加兴趣小组 三应用题 21某小学有 115 人参加了音乐、美术兴趣小组，其中 76
10、人参加音乐小组，54 人参加美术小组，同时参加 这两个小组的有多少人？ 22三年级一班有 45 人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门学习书法的有 26 人，学习绘画的有 25 人书法和绘画都学习的有多少人？ 23四（3）班学生都订了报纸，其中订中国少年报的有 38 人，订少年智力开发报的有 35 人已 知四（3）班共有 52 名学生，则两种报纸都订了的学生有多少人？ 24正当人民开开心心迎接 2020 年春节到来时，一场突如其来的新冠病毒席卷了整个神州大地新冠病毒 来势汹汹，它的传染性极强，可以人传人为了预防新冠病毒新学期开始同学们在家线上学习，线上做作 业一次作业四年级一班语文作业全对的
11、有 31 人，数学作业全对的有 34 人，两种作业都对的是 30 人，每 人至少全对一种作业四年级一班共有学生多少人？ 25四年级有 60 名同学有 35 人参加了跳绳，有 22 人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有 6 人，只参 加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？ 26三（1）班同学订阅语文报的有 28 人，订阅数学报的有 27 人，这两种报都订阅了的有 15 人， 如果每人至少订阅了一种报刊，这个班一共有多少个同学？ 27三（1）班有 48 人，参加体育队的有 36 人，参加舞蹈队的有 27 人，每人至少参加一个队，那么这个 班两队都参加的有多少人？ 2878 个同学报名参加文
12、体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有 39 人， 即参加体育组又参加文娱组的有 18 人参加文娱组的有多少人？ 29某校对一年级某班新生做一项调查，学生共 48 人，会唱歌的人数占全班的 2 3 ，会跳舞的占全班的 3 4 ， 两项都不会的有 3 人，两项都会的有多少人？ 30三年级有学生 109 人去春游，带矿泉水的有 68 人，带水果的有 85 人，每人至少带一样三年级既带 矿泉水又带水果的有多少人？ 四解答题 31在元旦联欢会上，歌舞小组成员每人至少参加跳舞或唱歌中的一种节目参加跳舞表演的有 32 人，参 加唱歌表演的有 24 人两种节目都参加的有 20 人
13、（1）请先填写如图 （2）歌舞小组一共有 人 32下面是王刚和李青同学喜欢的水果统计表 王刚 西瓜 苹果 山竹 桃子 李青 桔子 桃子 西瓜 柚子 梨 （1）根据统计表把如图补充完整 （2）王刚喜欢的水果有 种，李青喜欢的水果有 种 （3）列式计算出王刚和李青一共喜欢多少种水果？ 33同学们参加义务劳动周六参加的有：小静、玲玲、丁丁、小红、阿军、大林周日参加的有：玲玲、 小云、豆豆、阿军、小雨 （1）把名单写到相应的圈里 （2）既参加周六劳动，又参加周日劳动的有 人 （3）这两天參加义务劳动的一共有 人 34五年级一班有 40 人，他们都参加了英语课外兴趣小组或信息技术课小组，已知参加了英语课
14、外小组的 有 32 位同学，参加了信息技术课外小组的有 20 位同学，那么，两个小组都参加的同学有多少位？ 35在一次课外图书阅读调查中：三（5）班学生喜欢读故事书的 35 人，喜欢读科技书的 18 人，其中 9 人 两类书都喜欢读， （1）在图中括号内填上适当的数 （2）三（5）班共有多少人？ 36把左面动物填在右面合适的圈里（可以用数字或符号表示动物名字） 37中盛超市的饮料有桃汁、红茶、可乐、橙汁、椰汁兴隆超市的饮料有咖啡、柠檬汁、可乐、椰汁、 绿茶 请根据上面信息完成 38同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有 25 人，参观大象馆的有 30 人，两个馆都参观的有 18 人，每位 同学至少
15、参观这两馆中的一个，去动物园的一共有多少人？ 39同学们到园博园游玩，参观“大连馆”的有 48 人，参观“郑州馆”的有 35 人，两个馆都参观的有 20 人一共有 名同学到园博园游玩 40某班有 46 人，其中有 40 人会骑车，38 人会打乒乓球，35 人会打羽毛球，27 个人会游泳，则这个班至 少有多少人以上四项运动都会？ 参考答案参考答案 一选择题 1解：202530 4530 15（人) 答：两种刊物都订阅的有 15 人 答案：A 2解：10198 298 21（人) 答：这个班共有 21 人参加跳绳比赛 答案：A 3解：273411 61 11 50（人) 答：参加秋游的同学共 50
16、 人 答案：C 4解：30189 129 21（人) 答：数学得优的有 21 人。 答案：C。 5解：(24 11)(166) 13 10 3（人) 答：这个单位的未婚男性有 3 人 答案：B 6解：两人都没读过的书：100(605020)10（本) 小强读过但小刚没读过的书：602040（本) 小刚读过但小强没读过的书：502030（本) 只有一人读过的书：403070（本) 所以D项正确； 答案：D 7解：312620 5720 37（人) 答：去动物园的一共有 37 人 答案：A 8解：2831 12 5912 47（人) 答：三（1）班一共有 47 人 答案：C 9解：383645 7
17、445 29（人) 答：既喜欢喜羊羊又喜欢美羊羊的有 29 人 答案：B 10解：（1）每步的平均长度走的步数步测一段距离（一定），是乘积一定，每步的平均长度和走的 步数成反比例所以原题说法正确 （2）只有用 4 个圆心角是90，且半径相等的扇形才能拼成一个圆，所以原题说法错误 （3）因为55，所以任意摸出 1 个球，摸到红球和白球的可能性相等；所以原题说法正确 （4）15181023（人) 402317（人) 即这两个小组都没参加的有 17 人，所以原题说法正确 综上所述，正确的说法（1）（3）（4） 答案：B 二填空题 11解：32241244（人) 答：三（1）班共有 44 人。 答案：
18、44。 12解：203179165143 1169789280（人) 答：这个小学参加竞赛的总人数有 280 人。 答案：280。 13解：(1823)32 4132 9（人) 答：既参加围棋比赛又参加象棋比赛的有 9 人 答案：9 14解：68311（人) 835（人) 答：参加这两项运动的有 11 人，只参加跳高的有 5 人。 答案：11，5。 15解：2631 17 5717 40（人) 26179（人) 答：去动物园的一共有 40 人，只参观猴山的有 9 人。 答案：40，9。 16解：1285 205 15（人) 答：三（1）班参加比赛的一共有 15 人。 答案：15。 17解：39
19、4155 8055 25（人) 答：语文和数学成绩都达到优秀的有 25 人 答案：25 18解：15823（人) 2320 23203（人) 这是因为：有 3 位同学既参加了跳绳比赛又参加了短跑比赛； 答案：有 3 位同学既参加了跳绳比赛又参加了短跑比赛 19解：2216830（人) 32302（人) 答：两项都没参加的有 2 人 答案：2 20解：342719 61 19 42（人) 答：三（1）班一共有 42 人参加兴趣小组 答案：42 三应用题 21解：7654115 130115 15（人) 答：同时参加这两个小组的有 15 人。 22解：262545 5145 6（人) 答：书法和绘
20、画都学习的有 6 人 23解：(3835)52 7352 21（人) 答：两种报纸都订了的学生有 21 人。 24解：313430 6530 35（人) 答：四年级一班共有学生 35 人。 25解：（1）35629（人) （2）60(35226) 6051 9（人) 答：只参加跳绳的有 29 人，两项活动都没参加的有 9 人 26解：272815 5515 40（人) 答：这个班一共有 40 个同学 27解：362748 6348 15（人) 答：这个班两队都参加的有 15 人 28解：783918 3918 57（人) 答：参加文娱组的有 57 人 29解： 2 4832 3 （人) 3 4
21、836 4 （人) 48345（人) 323645223（人) 答：两项都会的有 23 人 30解：6885 109 153109 44（人)； 答：三年级既带矿泉水又带水果的有 44 人 四解答题 31解：（1）322012（人) 24204（人) （2）1242036（人) 答：歌舞小组一共有 36 人 答案：36 人 32解：（1）补充完整的图形如下所示， （2）由表格可知， 王刚喜欢的水果有 4 种，李青喜欢的水果有 5 种； （3）542 92 7（种) 答：两人爱吃的水果一共有 7 种 答案：4，5 33解：（1）如下图： （2）既参加周六劳动，又参加周日劳动的有 2 人 （3）6
22、529（人) 答：这两天參加义务劳动的一共有 9 人 答案：2，9 34解：322040 5240 12（位) 答：两个小组都参加的同学 12 位 35解：（1） 35926（人) 1899（人) （2）269944（人) 答：三（5）班共有 44 人 36解： 37解：根据分析可得， 38解：253018 5518 37（人) 答：去动物园的一共有 37 人 39解：483520 8320 63（名) 答：一共有 63 名同学到园博园游玩 答案：63 40解：至少一项运动也不会的最多有： 6811 1944（人)， 那么全班四项运动都会的至少有： 46442（人)； 答：至少有 2 人会四项运动