1、2020-2021 学年福建省厦门市同安区八年级第一学期期中数学试卷学年福建省厦门市同安区八年级第一学期期中数学试卷 一、 选择题 （本大题有一、 选择题 （本大题有 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分.每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确）每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确） 1下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A5cm 2cm 3cm B5cm 2cm 2cm C5cm 2cm 4cm D5cm 12cm 6cm 3一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它
2、的周长为（ ） A7 B9 C9 或 12 D12 4一个多边形的每个内角都等于 120，则此多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 52x3可以表示为（ ） Ax3+x3 B2x4x Cx3 x 3 D2x6x2 6如图，ABC 中，C90，AD 平分BAC，过点 D 作 DEAB 于 E，测得 BC9，BD5，则 DE 的长是（ ） A3 B4 C5 D6 7将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中 的度数是（ ） A45 B60 C75 D90 8如图，若 ABAC，则添加下列一个条件后，仍无法判定ABEACD 的是（ ） ABC BAEAD CBECD DAEBA
3、DC 9如图，在ABC 中，已知 SABD：SACD2：1，点 E 是 AB 的中点，且ABC 的面积为 9cm2，则AED 的面积为（ ） A1cm2 B2cm2 C3cm2 D4cm2 10如图，在等边三角形 ABC 中，在 AC 边上取两点 M、N，使MBN30若 AMm，MNx，CN n，则以 x，m，n 为边长的三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随 x，m，n 的值而定 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，第小题，第 11 题每小题题每小题 6 分，分，12-16 每题每题 4 分，共分，共 26 分）分） 11（1）x5x ； （2）
4、（a2）4 ； （3） 12点 A（1，2）与点 B 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标是 13在ABC 中，ABAC，AB，则B 14如图所示，ABCD，ABE66，D54，则E 的度数为 15如图，在 RtABC 中，AB9，ACB90，B30，AD 是ABC 的角平分线，CEAB 交 AD 的延长线于点 E，则 CE 的长为 16已知ABC 中，AB6，AC8，BC11，任作一条直线将ABC 分成两个三角形，若其中有一个三 角形是等腰三角形，则这样的直线最多有 条 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 84 分）分） 17计算：（2x2）3x4 x 2 18如图
5、，AC 和 BC 相交于点 O，OAOC，OBOD求证：ABDC 19一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程） 20如图，在ABC 中，ABAC （1）尺规作图：在 AC 上找一点 D，使得 ADBD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 BD，若A40，求CBD 的度数 21如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出ABC 关于 y 轴的对称图形A1B1C1； （2）在 y 轴上求作一点 P，使PAC 的周长最小，并直接写出 P 的坐标 22阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，记 p，
6、那么这个三角形的面积为 S 这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积 的公式， 中国秦九韶也得出了类似的公式， 称三斜求积术， 故这个公式又被称为 “海伦秦九韶公式” 完成下列问题： 如图，在ABC 中，a5，b3，c4 （1）求ABC 的面积； （2）过点 A 作 ADBC，垂足为 D，求线段 AD 的长 23如图 1，已知ABC 中，点 D 在 AB 边上，DEBC 交边 AC 于点 E，且 DE 平分ADC （1）求证：DBDC； （2）如图 2：在 BC 边上取点 F，使DFC60，若 BC7，BF2，求 DF 的长 24如图，CN 是等边ABC 的外角AC
7、M 内部的一条射线，设ACN，点 A 关于 CN 的对称点为 D， 连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CN 于点 E、P （1）依题意补全图形，并求出BDC 的大小（用含 的式子表示）； （2）用等式表示线段 PB，PC 与 PE 之间的数量关系，并证明 25对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 AB 及点 P，给出如下定义： 若点 P 满足 PAPB，则称 P 为线段 AB 的“轴点”，其中，当 0APB60时，称 P 为线段 AB 的“远轴点”；当 60APB180时，称 P 为线段 AB 的“近轴点” （1）如图 1，点 A，B 的坐标分别为（2，0），（2，0），则
8、在 P1（1，3），P2（0，2），P3（0， 1），P4（0，4）中，线段 AB 的“近轴点”是 （2）如图 2，点 A 的坐标为（3，0），点 B 在 y 轴正半轴上，OAB30 若 P 为线段 AB 的“远轴点”，直接写出点 P 的横坐标 t 的取值范围 ； 点 C 为 y 轴上的动点（不与点 B 重合且 BCAB），若 Q 为线段 AB 的“轴点”，当线段 QB 与 QC 的和最小时，求点 Q 的坐标 参考答案参考答案 一、 选择题 （本大题有一、 选择题 （本大题有 10 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分分.每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确）
9、每小题都有四个选项， 其中有且只有一个选项正确） 1下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 解：A、是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故正确； C、是轴对称图形，故错误； D、是轴对称图形，故错误 故选：B 2下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A5cm 2cm 3cm B5cm 2cm 2cm C5cm 2cm 4cm D5cm 12cm 6cm 解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+25，不能组成三角形； B 中，2+245，不能组成三角形； C 中，4+265，能够组成三角形； D 中，5+61112，不能组成三角形 故选：C 3一
10、个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A7 B9 C9 或 12 D12 解：若 2 为腰，则 2+25，不能构成三角形，此种情况舍去； 若 2 为底，则 5+25，能构成三角形，故周长是 2+5+512 故选：D 4一个多边形的每个内角都等于 120，则此多边形是（ ） A五边形 B六边形 C七边形 D八边形 解：多边形的每一个内角都等于 120， 多边形的每一个外角都等于 18012060， 边数 n360606 故选：B 52x3可以表示为（ ） Ax3+x3 B2x4x Cx3 x 3 D2x6x2 解： A 选项，x3+x32x3，选项符合 B 选项，2x4x
11、不能合并同类项，不符合 C 选项，x3 x 3x6，不符合 D 选项，2x6x22x4，不符合 只有选项 A 符合题意 故选：A 6如图，ABC 中，C90，AD 平分BAC，过点 D 作 DEAB 于 E，测得 BC9，BD5，则 DE 的长是（ ） A3 B4 C5 D6 解：C90，AD 平分BAC，DEAB 于 E， DEDC， BC9，BD5， DC954， DE4， 故选：B 7将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中 的度数是（ ） A45 B60 C75 D90 解：如图，1906030， 所以，45+3075 故选：C 8如图，若 ABAC，则添加下列一个条件后，仍无法
12、判定ABEACD 的是（ ） ABC BAEAD CBECD DAEBADC 解：A、根据 ASA（AA，CB，ABAC）能推出ABEACD，正确，故本选项错误； B、根据 SAS（AA，ABAC，AEAD）能推出ABEACD，正确，故本选项错误； C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； D、根据 AAS（AA，ABAC，AEBADC）能推出ABEACD，正确，故本选项错误； 故选：C 9如图，在ABC 中，已知 SABD：SACD2：1，点 E 是 AB 的中点，且ABC 的面积为 9cm2，则AED 的面积为（ ） A1cm2 B2cm2 C3cm2 D4cm2
13、解：点 E 是 AB 的中点， AED 的面积ABD 的面积， SABD：SACD2：1， ABD 的面积ABC 的面积， AED 的面积ABC 的面积93（cm2）， 故选：C 10如图，在等边三角形 ABC 中，在 AC 边上取两点 M、N，使MBN30若 AMm，MNx，CN n，则以 x，m，n 为边长的三角形的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随 x，m，n 的值而定 解：将ABM 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBH连接 HN ABC 是等边三角形， ABCACBA60， MBN30， ABM+CBN30， NBHCBH+CBN30， NBMNBH， BMB
14、H，BNBN， NBMNBH， MNNHx， BCHA60，CHAMn， NCH120， x，m，n 为边长的三角形NCH 是钝角三角形， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，第小题，第 11 题每小题题每小题 6 分，分，12-16 每题每题 4 分，共分，共 26 分）分） 11（1）x5x x6 ； （2）（a2）4 a8 ； （3） 解：（1）x5xx5+1x6； （2）（a2）4a24a8； （3） 故答案为：（1）x6；（2）a8；（3） 12点 A（1，2）与点 B 关于 x 轴对称，则点 B 的坐标是 （1，2） 解：点 A 与点 B 关于 x 轴对称
15、，点 A 的坐标为（1，2），则点 B 的坐标是（1，2） 故答案为：（1，2） 13在ABC 中，ABAC，AB，则B 60 解：ABC 中，ABAC， BC， AC， ACB60， 故答案为：60 14如图所示，ABCD，ABE66，D54，则E 的度数为 12 解：ABCD， 1ABE66， 由三角形的外角性质得，E1D665412 故答案为：12 15如图，在 RtABC 中，AB9，ACB90，B30，AD 是ABC 的角平分线，CEAB 交 AD 的延长线于点 E，则 CE 的长为 4.5 解：AB9，ACB90，B30， AC4.5，CAB60， AD 是ABC 的角平分线， B
16、ADCAD30， CEAB， EBAD30， ECAD30， ACCE4.5， 故答案为：4.5 16已知ABC 中，AB6，AC8，BC11，任作一条直线将ABC 分成两个三角形，若其中有一个三 角形是等腰三角形，则这样的直线最多有 7 条 解：分别以 A、B、C 为等腰三角形的顶点的等腰三角形有 4 个，如图 1， 分别为ABD、ABE、ABF、ACG， 满足条件的直线有 4 条； 分别以 AB、AC、BC 为底的等腰三角形有 3 个，如图 2， 分别为ABH、ACM、BCN， 满足条件的直线有 3 条， 综上可知满足条件的直线共有 7 条， 故答案为：7 三、解答题（本大题共三、解答题（
17、本大题共 9 小题，共小题，共 84 分）分） 17计算：（2x2）3x4 x 2 解：（2x2）3x4x2 8x6x6 7x6 18如图，AC 和 BC 相交于点 O，OAOC，OBOD求证：ABDC 【解答】证明：在ODC 和OBA 中， ， ODCOBA（SAS）， CA（或者DB）（全等三角形对应角相等）， ABDC（内错角相等，两直线平行） 19一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程） 解：设这个多边形是 n 边形，则根据题意，得： （n2）1803360， 解得 n8， 答：这个多边形是八边形； 20如图，在ABC 中，ABAC （1）尺规
18、作图：在 AC 上找一点 D，使得 ADBD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接 BD，若A40，求CBD 的度数 解：（1）如图，点 D 为所作； （2）ABAC， ABCC（180A）（18040）70， DADB， ABDA40， CBDABCABD704030 21如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1），B（4，2），C（3，4） （1）请画出ABC 关于 y 轴的对称图形A1B1C1； （2）在 y 轴上求作一点 P，使PAC 的周长最小，并直接写出 P 的坐标 解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）连接 A1C 交 y 轴于 P，连接 AP，则点 P 即为
19、所求 根据轴对称的性质可得，A1PAP， A1P+CPA1C（最短）， AP+PC+AC 最短，即PAC 的周长最小， C（3，4），A1（1，1）， 直线 A1C 解析式为 yx+ ， 当 x0 时，y， P（0，） 22阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，记 p，那么这个三角形的面积为 S 这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积 的公式， 中国秦九韶也得出了类似的公式， 称三斜求积术， 故这个公式又被称为 “海伦秦九韶公式” 完成下列问题： 如图，在ABC 中，a5，b3，c4 （1）求ABC 的面积； （2）过点 A 作 ADBC，垂足为 D
20、，求线段 AD 的长 解：（1）a5，b3，c4， p6， ABC 的面积 S6； （2）如图，ABC 的面积BCAD， 5AD6， AD 23如图 1，已知ABC 中，点 D 在 AB 边上，DEBC 交边 AC 于点 E，且 DE 平分ADC （1）求证：DBDC； （2）如图 2：在 BC 边上取点 F，使DFC60，若 BC7，BF2，求 DF 的长 解：（1）证明：DEBC， 1B，23， DE 平分ADC， 12， B3， DBDC （2）作 DGBC 于点 G， DBDC，DGBC， GBBC73.5， GFGBBF3.521.5， RtDGF 中，DFG60， FDG30 DF
21、2GF21.53 24如图，CN 是等边ABC 的外角ACM 内部的一条射线，设ACN，点 A 关于 CN 的对称点为 D， 连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CN 于点 E、P （1）依题意补全图形，并求出BDC 的大小（用含 的式子表示）； （2）用等式表示线段 PB，PC 与 PE 之间的数量关系，并证明 解：（1）如图所示： 点 A 与点 D 关于 CN 对称， CN 是 AD 的垂直平分线， CACD ACN， ACD2ACN2， ABC 是等边三角形， CACBCD，ACB60， BCDACB+ACD60+2 BDCDBC（180BCD）60， （3）PBPC+
22、2PE， 证明：在 PB 上截取 PF 使 PFPC，如右图，连接 CF CACD，ACD2 CDACAD90 BDC60， PDECDABDC30， PD2PE CPFDPE90PDE60 CPF 是等边三角形 CPFCFP60 BFCDPC120 在BFC 和DPC 中， BFCDPC（AAS） BFPD2PE PBPF+BFPC+2PE 25对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 AB 及点 P，给出如下定义： 若点 P 满足 PAPB，则称 P 为线段 AB 的“轴点”，其中，当 0APB60时，称 P 为线段 AB 的“远轴点”；当 60APB180时，称 P 为线段 AB 的“近轴点
23、” （1）如图 1，点 A，B 的坐标分别为（2，0），（2，0），则在 P1（1，3），P2（0，2），P3（0， 1），P4（0，4）中，线段 AB 的“近轴点”是 P2，P3 （2）如图 2，点 A 的坐标为（3，0），点 B 在 y 轴正半轴上，OAB30 若 P 为线段 AB 的“远轴点”，直接写出点 P 的横坐标 t 的取值范围 t3 或 t0 ； 点 C 为 y 轴上的动点（不与点 B 重合且 BCAB），若 Q 为线段 AB 的“轴点”，当线段 QB 与 QC 的和最小时，求点 Q 的坐标 解：（1）如图作等边ABC，ABC 由题意 C（0，2），C（0，2），当点 P 在线段
24、 CC上时，点 P 是“近轴点”， 所以 P2（0，2），P3（0，1）是“近轴点”， 故答案为 P2，P3 （2）如图 21 中， 以 AB 为边作等边ABK，ABK， 由题意可知 K（3，2），k（0，）， 若 P 为线段 AB 的“远轴点”， 点 P 的横坐标 t 的取值范围为 t3 或 t0 故答案为 t3 或 t0 如图 22 中，由题意点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上连接 QA，QB，作 QCOB 于 C 点 Q 在 AB 的垂直平分线上， QBQA， QB+QCQA+QC， 根据垂线段最短可知：当 A，Q，C 共线且 ACOB 时，QB+QC 的值最小，最小值为线段 OA 的长， 直线 AB 的解析式为 yx+， 线段 AB 的垂直平分线的解析式为 yx， 令 y0，得到 x1， 此时点 Q 坐标为（1，0）