1、第 18 讲 立体图形的认识与测量（一） 知识点一：知识点一：长方体和正方体的认识长方体和正方体的认识 名称名称 长方体长方体 正方体正方体 图形图形 展开图展开图 相同点相同点 面面 6 6 个个 6 6 个个 棱棱 1 12 2 条条 1 12 2 条条 顶点顶点 8 8 个个 8 8 个个 不同点不同点 面的特点面的特点 6 6 个面一般是个面一般是 长方形长方形 , ,也可也可 能有能有 2 2 个相对的是个相对的是 正方形正方形 6 6 个面都是相同的个面都是相同的正方形正方形 面的大小面的大小 相对的面的面积相对的面的面积 相等相等 6 6 个面的面积都个面的面积都 相等相等 棱长
2、棱长 相对的棱的长度相对的棱的长度 相等相等 6 6 条棱的长度都条棱的长度都 相等相等 联系联系 正方体是特殊的长方体正方体是特殊的长方体 知识点二：知识点二：长方体和正方体的表面积长方体和正方体的表面积 1.1.表面积表面积: :一个立体图形所有面的面积一个立体图形所有面的面积 总和总和 叫作它的表面积。叫作它的表面积。 2.2.长方体和正方体的长方体和正方体的表面积。表面积。 (1)(1)长方体的表面积长方体的表面积= = 2 2( (长宽长宽+ +长高长高+ +宽高宽高) ) , ,用字母表示为用字母表示为:S=:S= 2(ab+ah+bh)2(ab+ah+bh) (2)(2)正方体的
3、表面积正方体的表面积= = 6 6棱长棱长棱长棱长 , ,用字母表示为用字母表示为:S=:S= 6a6a 2 2 。 。 知识点三：知识点三：长方体和正方体的体积长方体和正方体的体积 1.体积:一个立体图形所占空间的 大小大小 叫作它的体积。 2.长方体的体积(容积)= 长宽高长宽高 ,用字母表示为:V= abhabh 3.正方体的体积(容积)= 棱长棱长棱长棱长棱长棱长 ,用字母表示为:V= a a 3 3 考点一：长方体和正方体的长方体和正方体的展开图展开图 来源来源: :学学+ +科科+ +网网 【例 1】（2019 春福田区期末）如图，这个正方体的上半部分是阴影，下半部分是白色的，下面
4、四 幅图中，是这个正方体的展开图的是( ) A B C D 【思路分析】此图属于正方体展开图的“141”结构，折成正方体后， “4”中的右数第二个正方形为折 成正方体的上面，与之相邻的四个面中必须有涂色的长方形，且长方形的长与之重合A图、B图、D图 均不符合这一特征，只有C图符合这一特征 【规范解答】解：如图，这个正方体的上半部分除了阴影，下半部分是白色的，是这个 正方体的展开图 故选：C 【名师点评】关键抓住： “4”中的右数第二个正方形为折成正方体的上面，与之相邻的四个面中必须有涂 色的长方形，且长方形的长与之重合此题可能动手操作一下 【例 2】（2019遂昌县） 右面是一个长方体的展开图
5、， 请同学们看图列式计算它的体积和表面积 （单位： 厘米） 【思路分析】根据长方体的展开图，可以求出长方体的宽是：11325 （厘米） ，然后根据长方体的体 积公式Vabh和表面积公式()2Sabahbh即可解答 【规范解答】解：长方体的宽是：11325 （厘米） ， 长方体的体积：753 ， 353， 105（立方厘米） ； 长方体的表面积：(7 57 33 5)2 ， (3521 15)2， 71 2， 142（平方厘米） ； 答：长方体的体积是 105 立方厘米；表面积是 142 平方厘米 【名师点评】本题关键是求出长方体的宽，这就需要学生有一定的空间想象能力，知道哪两个面是相对的 面
6、1 （2019北京模拟）将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为( ) A B C D 【思路分析】从有粗线的图看，展开后，右、前、左、后四个面是连成一线的，因此，可以确定A、B不 正确；上面是连着右面的，正面是连着下面的，因此，D也不正确；只有C符合题意 【规范解答】解：如图 将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为： 故选：C 【名师点评】解答此题最好的办法是根据图动手操作一下，既可锻炼了动手操作能力，又解决了问题 2 （2019防城港模拟）下面是一个长方体的展开图，其中错误的是( ) A B C D 【思路分析】根据长方体的特征
7、，6 个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形） ，及长方体的展 开图解题 【规范解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D选项可以拼成一个长方体， 而C选项，上底面不可能有两个，故不是长方体的展开图 故选：C 【名师点评】此题考查了长方体的特征以及展开图 3 （2019如东县）如图是一个正方体的平面展开图每个面上都填有一个数，且满足相对的两个面上的 数互为倒数那么(mn ) A 1 2 B 1 6 C 1 3 D 3 2 【思路分析】此图属于正方体展开图的“132”结构，折成正方体后，1 与n相对，2 与m相对，3 与 空白面相对n与 1 互为倒数，则n为 1，m与
8、 2 互为倒数，则m为 1 2 可计算出mn值 【规范解答】解：如图 折成正方体后，1 与n相对，2 与m相对，3 与空白面相对n与 1 互为倒数，则n为 1，m与 2 互为倒数， 则m为 1 2 11 1 22 mn 故选：A 【名师点评】解答此题的关键是根据正方体展开图及倒数的意义，弄弄清m、n为何值 4 （2019新罗区）如图，把这个展开图折成一个长方体， （1）如果A面在底部，那么 面在上面 （2）如果F面在前面，从左面看是B面，那么 面在上面 【思路分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中 面“A”与面“F”相对，面“B”与面“D”相对，
9、“C”与面“E”相对，再根据AF折的方向判断E 或C哪个面在上面 【规范解答】解：由图可知， “C”与面“E”相对则 （1）因为面“A”与面“F”相对， 所以A面是长方体的底部时，F面在上面； （2）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“C”面在下面， 因为面“E”与面“C”相对，当AF向上折，E会在上面，当AF向下折，C面会在上面； 故答案为：F，E或C 【名师点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题 5 （2019 秋市中区期末）下面是一个长方体的正面、左面和下面的展开图画出展开图的另外三个面， 并标出每个面是长方体的什么面 【思路分析】 根据长方体的面的特征， 长方
10、体的 6 个面都是长方形 （特殊情况有两个相对的面是正方形） ， 相对的面的面积相等由此解答 【规范解答】解：根据分析，作图如下： 【名师点评】此题主要考查长方体的特征和展开图的形状 6 （2019 春奉贤区期中）如图，这是一个长方体模型的展开图，求这个长方体模型的体积和表面积 【思路分析】根据长方体的展开图可知：两条长和两条宽的和是 28 厘米，所以用 28 除以 2 减去长即可求 出宽， 已知高是 5 厘米， 根据长方体的体积公式：vabh， 长方体的表面积公式：()2sabahbh， 把数据分别代入公式解答 【规范解答】解：长方体的宽： 28210 1410 4（厘米） 2()Sahab
11、bh 2 (10410 54 5) 2 (405020) 2 110 220（平方厘米） ； Vabh 1054 504 200（立方厘米） ； 答：它的表面积是 220 平方厘米，体积是 200 立方厘米 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握长方体侧面展开图的特征，以及长方体的表面积公式、体积公式 的灵活运用，关键是熟记公式 考点二：长方体和正方体的棱长和问题长方体和正方体的棱长和问题 【例 3】（2019 秋新田县期中）为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯 （地面的四边不装） 已知工人俱乐部长95m，宽55m，高24m，工人叔叔至少需要多长的彩灯线？ 【思路分析】
12、俱乐部是个长方体，要求的是两个长和两个宽和四个高的和（即棱长总和地面的两个长和 两个宽） ；据此解答 【规范解答】解：(9555)224 4 30096 396( )m 答：工人叔叔至少需要 396 米的彩灯线 【名师点评】此题应根据题意，结合长方体的棱长总和的计算进行解答即可 【例 4】（2019 秋市中区期末）如图，有一个长 6 分米、宽 4 分米、高 2 分米的长方体硬纸箱，用绳子 将箱子捆扎起来，打结处共用 2 分米一共要用绳子多少分米？ 【思路分析】根据长方体的特征，相对的棱的长度相等，由图形可知：所需绳子的长度等于 2 条长4条 宽6条高打结用的 2 分米，据此解答 【规范解答】解
13、：6244262 1216122 42（分米） ， 答：一共用绳子 42 分米 【名师点评】 此题考查的目的是理解掌握长方体的特征， 以及棱长和的计算方法， 关键是弄清如何捆扎的 1 （2019 春福清市校级月考）小明用一根长铁丝做了一个棱长为 6 分米的正方体框架，现在想把它改做 一个长为 6 分米，宽为 4 分米，高为多少分米的一个长方体框架？ 【思路分析】由题意可知，正方体和长方体的棱长总和相等，首先根据正方体的棱长总和12棱长，求 出棱长总和；因为长方体的长、宽、高的棱各有 4 条，因此用棱长总和4，求长、宽、高的和，再减 去长和宽即可求出高；由此解答 【规范解答】解：6 124(64
14、) 72410 1810 8（分米） 答：高为 8 分米的一个长方体框架 【名师点评】本题主要考查正方体和长方体的特征，根据正方体和长方体棱长总和的计算方法解决问题 2 （2019海安县） 用一根长 48 分米的铁丝做一个长方体的框架， 使它的高为 8 分米， 长和宽的比是3:1， 长是 3 分米，宽是 分米 【思路分析】首先用棱长总和除以 4 求出长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去高求出长、宽的和，已 知长和宽的比是3:1，利用按比例分配的方法即可求出长、宽据此解答 【规范解答】解：4848 128 4（分米） ； 长： 3 4 31 3 4 4 3（分米） ； 宽： 1 4 31 1 4
15、 4 1（分米） ； 答：这个长方体的长是 3 分米，宽是 1 分米 故答案为：3 分米，1 分米 【名师点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用，以及按比例分配的实际应用 3 （2019咸丰县）把 9 盒如图所示这样的牙膏捆在一起，怎么捆最节省胶带？至少需要多长的胶带？ 【思路分析】把 9 盒牙膏捆在一起，用 2 种捆法：第一种捆法：把 9 个盒子并列排在一起，组成一个长方 体， 它的宽是9545厘米， 高是 5 厘米； 第二种捆法： 把 9 个盒子分三层排在一起， 组成一个长方体， 它的宽是3 515厘米，高是5315厘米；据此分别求出它们侧面的周长，再进行比较即可 【规范解答】解
16、：第一种捆法：把 9 个盒子并列排在一起，组成一个长方体，它的宽是9545厘米，高 是 5 厘米； (455)2 502 100（厘米） 来源:学科网 ZXXK 第二种捆法： 把 9 个盒子分三层排在一起， 组成一个长方体， 它的宽是3 515厘米， 高是5315厘米； (1515)2 302 60（厘米） 10060 所以第二种捆法最节省胶带 答：把 9 个盒子分三层排在一起最节省胶带，最少用 60 厘米 【名师点评】 本题的关键是分情况进行讨论， 求出不同排列时组成的长方体的宽和高， 求出它的侧面周长， 再进行比较 4用两个正方体木块拼成一个长方体，棱长之和减少了24cm，这两个正方体木块
17、原来棱长总和是多少？ 【思路分析】已知把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体棱长之和比原来棱长之和减少 24 厘米，因为有两个面重合，即减少了 8 条棱的长度，2483厘米，正方体的棱长是 3 厘米，再根据 正方体的棱长之和棱长12计算即可解答 【规范解答】解：根据题干分析可得：248 122 ， 3 122 ， 72（厘米） ， 答：这两个正方体木块原来棱长总和是 72 厘米 【名师点评】根据 2 个小正方体拼组长方体的特点，求出拼组后的长方体的棱长是减少了几个小正方体的 棱长，是解决本题的关键 考点三：长方体和正方体的表面积长方体和正方体的表面积 【例 5】（2019 春惠阳区期
18、中）一个礼堂长 20 米，宽 15 米，高 8 米，要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁， 除去门窗面积 120 平方米，平均每平方米用涂料 0.5 千克，一共需涂料多少千克？ 【思路分析】根据长方体的表面积的计算方法，首先分清求的是哪 5 个面的总面积，即上面、前后面、左 右面；求出 5 个面的面积，减去门窗面积后再乘以 0.5，由此列式解答 【规范解答】解：20 1520 8215 82120 300320240120 860120 740（平方米） 0.5740370（千克） 答：一共需涂料 370 千克 【名师点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法，特别是利用长方体的表面积计算方法解决实际问
19、 题时，首先分清求的是哪些面的总面积 【例 6】（2019 秋五华区期末）一块长方形铁皮（如图） ，从四个角各切掉一个边长为5cm的正方形，然 后做成盒子，这个盒子用了多少铁皮？ 【思路分析】根据长方形的面积公式Sab和正方形的面积公式 2 Sa求出长方形和正方形的面积，这个 盒子用的铁皮的面积是这个长方形的面积减去 4 个边长为 5 厘米的小正方形的面积，据此即可解答 【规范解答】解：40 305 54 1200100 2 1100()cm； 答：这个盒子用了 2 1100cm的铁皮 【名师点评】本考查了长方形和正方形面积公式的灵活应用 1 （2019 春斗门区校级期中）求下面图形的表面积
20、【思路分析】 （1）根据长方体的表面积公式：()2sabahbh，把数据代入公式解答 （2）先求出正方体的棱长，根据正方体的表面积公式： 2 6sa，把数据代入公式解答 （3）即在大长方体的顶点处去掉一个小长方体，对大长方体去掉的表面积正好等于增加的表面积，则得 复合图形的表面积等于大长方体的表面积 【规范解答】解： （1）(5 35 43 4)2 (1520 12)2 472 94（平方分米） ； 答：长方体的表面积是 94 平方分米 （2）36123（厘米） 2 63 69 54（平方厘米） ； 答：正方体的表面积是 54 平方厘米 （3）)(10 8 10 68 6)2 (806048)
21、2 1882 376（平方米） ； 答：复合图形的表面积是 376 平方米 【名师点评】此题主要考查长方体和正方体的表面积的计算公式 2 （2019 春眉山期末）一节通风管长 2.5 米，它的横截面是边长为 6 分米的正方形如果用铁皮做这样 的通风管 50 节，至少需要铁皮多少平方米？ 【思路分析】由于通风管没有底面，长方体的侧面积底面周长高，求出做一节用铁皮的面积再乘 50 即可 【规范解答】解：6 分米0.6米 0.642.550 650 300（平方米） 答：至少需要铁皮 300 平方米 【名师点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么（体积、表面积还是几个面的面 积）
22、，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题 3 （2019海淀区模拟）如图，这座领奖台由四个相同的长方体拼合而成，它的前后两面涂上白色油漆， 踏板和侧面铺上蓝色地毯 （单位：厘米） （1）需要油漆部分的面积是多少？ （2）做这个领奖台需要多少木料？ 【思路分析】 （1）根据长方体的特征：相对的面面积相等，它的前后两面涂上白色油漆，前后面分别 4 个 完全相同的长方形，长是 40 厘米，宽是 20 厘米，根据长方形的面积公式解答即可 （2）根据长方体的体积公式：vabh，求出一个长方体的体积，再乘 4 求出 4 个长方体的体积是多少平 方厘米即可 【规范解答】解： （1）402042， 800
23、42， 32002， 6400（平方厘米） ； 答：需要油漆部分的面积是 6400 平方厘米 （2）4030204 240004 96000（立方厘米） ； 答：做这个领奖台需要 96000 立方厘米的木料 【名师点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法 进行计算解答问题 4一个礼堂长 20 米，宽 15 米，高 8 米，要粉刷礼堂的顶和四壁，除去门窗面积 120 平方米，平均每平 方米用涂料 3 千克，实际粉刷时有 1 10 的损耗，粉刷这个礼堂共需涂料多少千克？ 【思路分析】 （1）要求需要涂料的千克数，需先求出长方体房间的表面积，根据题意可知
24、需要粉刷长方体 房间的前、后、左、右和上面五个面的面积，求出这五个面的面积和再减去不用粉刷的门窗的面积，即 为要粉刷的面积，进而用乘法计算求出需要用涂料的千克数； （2）把需要用涂料的千克数看做单位“1” ，单位“1”的量未知，用除法计算即可解决 【规范解答】解：需要粉刷的五个面的面积和： (15 820 8)220 15 (120160)2300 560300 860（平方米） ， 实际要粉刷的面积：860120740（平方米） 用涂料的千克数：74032520（千克） 实际需要的千克数： 1 2520(1) 10 2520 10 9 2800（千克） ； 答：粉刷这个礼堂共需涂料 2800
25、 千克 【名师点评】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算长方体几个面的面积，缺少的 是哪一个面的面积，从而列式解答即可 考点四：长方体和正方体的体积长方体和正方体的体积 【例 7】（2019长沙）用 240 厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是宽、高之和的 5 7 ，宽是高的 2 3 ，这 个长方体的体积是多少？（接头处忽略不计） 【思路分析】首先用棱长总和除以 4 求出长、宽、高的和，又知长是宽、高之和的 5 7 ，宽是高的 2 3 ，即宽 与高的比是2:3，也就是出是长、宽、高之和的 5 75 ，根据一个数乘分数的意义即可求出长，进而求 出宽和高，再根据长方体的体积公式：
26、Vabh，把数据代入公式解答 【规范解答】解：长、宽、高的和：240460（厘米） 长： 55 606025 7512 （厘米） 宽： 22 (6025)3514 235 （厘米） 高： 33 (6025)3521 235 （厘米） 25 14217350（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 7350 立方厘米 【名师点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是求出长、宽、高 【例 8】（2019 春隆昌市期末）一个长方体的容器（如图） ，里面的水深6cm，把这个容器盖紧后竖放， 使长10cm、宽8cm的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？（容器的厚度不计） 【思路分析】
27、根据题意可知： 这个容器无论正放还是竖放， 容器内水的体积不变， 根据长方体的体积公式： Vsh，那么hVS，把数据代入公式解答 【规范解答】解：20 10 6(10 8) 120080 15（厘米） ， 答：这时里面的水深 15 厘米 【名师点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式 【例 9】（2019北京模拟）求组合图形的表面积和体积 （单位：)dm 【思路分析】根据图形的特点可知：它的表面积等于左面大长方体的表面积加上右面小长方体上下、前后 四个面的面积，它的体积等于大小长方体的体积和，根据长方体的表面积公式：()2Sabahbh，体 积公式：Vabh，把数据
28、分别代入公式解答 【规范解答】解：(6 106 5 10 5)6 2 26 10 2 (603050)224120 140224120 28024120 424（平方分米） 6 1056 102 300120 420（立方分米） 答：它的表面积是 424 平方分米，体积是 420 立方分米 【名师点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式 1 （2019 春单县期中）一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，长方体的长是 6 厘米，宽是 2 厘米， 高是 1 厘米，那么正方体的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】首先根据长方体的棱长总和公式：长方体的棱长总和（长宽高）4
29、，求出棱长总和， 用棱长总和除以 12 求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式： 3 Va，把数据代入公式解答即可 【规范解答】解：(62 1)4 12 9412 3（厘米） 3 3 327 （立方厘米） 答：正方体的体积是 27 立方厘米 【名师点评】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式以及正方体的体积公式的灵活运用 2 （2019莘县）一个长方体的长、宽、高的比是3:2:1，其中，长比高多 4 分米，它的体积是 立方分 米 【思路分析】已知一个长方体的长、宽、高的比是3:2:1，也就是高是长的 1 3 ，其中，长比高多 4 分米， 那么 4 分米是长的 1 (1) 3 ， 由此可以求
30、此长， 进而求此高， 又知宽是长的 2 3 ， 根据一个数乘分数的意义， 即可求出宽，然后根据长方体的体积公式：vabh，把数据代入公式解答即可 【规范解答】解：长： 1 4(1) 3 ， 3 4 2 ， 6（分米） ， 宽： 2 64 3 （分米） ， 高： 1 62 3 （分米） ， 体积：64248 （立方分米） ； 答：它的体积是 48 立方分米 故答案为：48 【名师点评】此题解答关键是把比转化为分数，分别求出长、宽、高，再根据长方体的体积公式解答 3 （2019杭州模拟）一个长方体鱼缸的长、宽、高分别是 50 厘米、24 厘米和 40 厘米，在里面注入 38.4 升的水水离上口多少
31、厘米？ 【思路分析】根据长方体的容积（体积）公式：Vabh，那么hVab，据此求出水深，然后用鱼缸的 高减去水深即可 【规范解答】解：38.4 升38400立方厘米， 4038400(50 24) 40384001200 4032 8（厘米） ， 答：水离上口 8 厘米 【名师点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与 体积单位之间的换算 4 （2019 春枣阳市期末）一块长主形铁皮（如图） ，从四个角各切掉一个边长为2dm的正方形，然后做成 盒子这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【思路分析】求做这个盒子用铁皮的面积，根据长方形的面积公式：Sa
32、b，正方形的面积公式： 2 Sa， 圆 长方形铁皮的面积减少4个正方形的面积即可； 做成盒子的长是(1922)分米， 宽是(1422)分米， 高是 2 分米，根据长方体的容积公式：Vabh，把数据代入公式解答 【规范解答】解：19 14224 26616 250（平方分米） ； (192 2) (142 2)2 15 102 300（立方分米） ； 答：个盒子用了 250 平方分米铁皮，它的容积是 300 立方分米 【名师点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积公式的灵活运用，关键是熟记公式 5 （2019株洲模拟）把一个棱长为5dm的正方体钢块熔铸成一个长10dm、宽20cm的长方体钢块，
33、这个 长方体钢块的高是多少？ 【思路分析】根据正方体的体积棱长棱长棱长，先求出正方体钢块的体积，即长方体钢块的体积， 再求出长方体钢块的底面积，根据长方体的体积底面积高，据此解答 【规范解答】解：20 厘米2分米 5 5 5(10 2) 12520 6.25（分米） 答：这个长方体钢块的高是 6.25 分米 【名师点评】考查了长方体和正方体的体积，本题中解题的关键是正方体钢块的体积和长方体钢块的体积 相等要注意单位的统一 6 （2019 春祁东县期中）计算下列图形折成的无盖长方体的体积 （1） （2） 【思路分析】根据图示可知可折成长是 23 厘米，宽是 12 厘米，高是 23 厘米的长方体，
34、根据长方体的 体积长宽高列式计算即可； 根据图示可知可折成长是 7 厘米，宽是 4 厘米，高是 2.5 厘米的长方体，根据长方体的体积长宽高 列式计算即可 【规范解答】解：23 1223 28823 6348（立方厘米） 742.5 282.5 70（立方厘米） 【名师点评】此题重点考查了长方体的体积长宽高的灵活应用 7 （2019田东县）一个长方形水池内装水 375 立方米，恰好占水池的75%水池的长是 25 米宽是 10 米，深是几米？ 【思路分析】先利用水池内水的体积 375 立方米和它对应的百分数，求出这个水池的容积，再利用水池的 容积除以这个水池的长与宽的积，即可得出水池的深 【规范
35、解答】解：37575%500（立方米） ， 500(25 10)， 500250， 2（米)， 答：水池的深是 2 米 【名师点评】此题主要考查百分数的应用以及长方体的容积公式的灵活应用 考点五：切拼问题中的表面积和体积切拼问题中的表面积和体积 【例 10】（2019 春番禺区期末）一个长方体，长 10 分米，宽 8 分米，高 2 分米现要求只锯一次，锯 成两个长方体，表面积增加多少平方分米？（先写出怎样锯或画草图，再计算） 【思路分析】可以分三种情况：沿 10 分米，8 分米的面切；沿 10 分米，2 分米的面切；沿 8 分米， 2 分米的面切；切成小长方体后增加了两个面，根据长方形的面积公
36、式：Sab列式计算即可求解 【规范解答】解：如图所示： 沿 10 分米，8 分米的面切， 1082160 （平方分米） ； 沿 10 分米，2 分米的面切， 102240（平方分米） ； 沿 8 分米，2 分米的面切， 82232（平方分米） 答：表面积增加 160 或 40 或 32 平方分米 【名师点评】解答此题的关键是明白，切成小长方体后增加了两个面，根据切面情况即可求解 【例 11】（2019 春绍兴县期末）一个长方体的高增加 5 米后变成一个正方体，表面积增加 160 平方米， 原来长方体的体积是多少？ 【思路分析】由题意可知，原来长方体的底面是个正方形；表面积增加的面积实际就是高
37、5 米的长方体的 侧面积，可求出底面周长，再进一步求出底面边长，即长方体的长与宽，再根据长方体的体积长宽 高，列式计算即可 【规范解答】解：160532（米)， 3248（米)， 8 8 (85) ， 643， 192（立方米） ； 答：原来长方体的体积是 192 立方米 【名师点评】 此题主要考查长方体的体积计算公式及侧面积公式， 关键理解： 原来长方体的底面是正方形； 增加的面积实际就是高 5 米的长方体的侧面积，因为侧面积底面周长高，即可求出底面周长，进而 求出长与宽，最后即可求出原长方体的体积来源:学*科*网 1 （2019新安县模拟）把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个
38、正方体的棱长之和比原 长方体增加 40 厘米，每个正方体的体积是 立方厘米 【思路分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加 2 个面，增加了 8 条棱，因为分成后 的两个正方体的棱长之和比原长方体增加 40 厘米，即增加的 8 条棱的长度和是 40 厘米，进而用408 得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公式“正方体的体积棱长 3 ” ，代入数值，进行解答即 可 【规范解答】解： 3 40(4 2)， 125（立方厘米） ； 答：每个正方体的体积是 125 立方厘米 故答案为：125 【名师点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了 8 条棱，然后根据题中给出的条
39、件，求 出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答 2 （2019贵阳模拟）一个正方体的表面积是 36 平方厘米，把它横截成两个大小相同的长方体，表面积增 加多少平方厘米？ 【思路分析】把一个正方体锯成两个长方体后，则表面积增加了原来正方体的两个面，增加的面积是 36 平方厘米，则原来正方体每个面的面积是3666平方厘米，再乘上 2，即可求出表面积增加多少平方厘 米 【规范解答】解：3666（平方厘米） 6212（平方厘米） 答：表面积增加 12 平方厘米 【名师点评】明确一个正方体切成两个长方体后，表面积增加了两个横截面的面积，由此完成本题 3 （2019郴州模拟） “淘宝之父”马
40、云新出了两本大小相同的书，长都为 20 厘米、宽为 12 厘米、厚 3 厘 米，将这两本书包装在一起，怎样包装最省纸？请画出示意图，并算出包装纸的面积 （接头处不计） 【思路分析】把这两个长方体书的20 12的面相粘合，得到的大长方体的表面积最小，比原来两个长方体 书的表面积减少了 2 个最大的面，最节约包装纸，组成的长方体长 20 厘米，宽12 厘米，高 6 厘米，由此 即可解答 【规范解答】解：如图所示： (20 1220 612 6)2 4322 864（平方厘米） 答：包装纸的面积是 864 平方厘米 【名师点评】解决本题关键是了解三种不同的包装方法，找出减少了哪些面，由此求解 4 （
41、2019 春浦东新区月考）一个长方体的高减少 3 厘米后，就变成了一个正方体，表面积比原来减少 72 平方厘米，则正方体的体积是多少？ 【思路分析】根据长方体的特征，6 个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形） ，相对的面的面 积相等根据题意，高减少 3 厘米，这时表面积比原来减少了 72 平方厘米表面积减少的是高为 3 厘米 的长方体的 4 个侧面的面积首先求出减少部分的 1 个侧面的面积，72418平方厘米；由已知如果高 减少 3 厘米，就成为一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；根据长方形的面积公式Sab，用 1836厘米，原来长方体的底面边长就是 8 厘米，再根据正方体的体
42、积公式： 3 Va，把数据代入公式 解答 【规范解答】解：7243 183 6（厘米） ， 666216 （立方厘米） ， 答：这个正方体的体积是 216 立方厘米 【名师点评】此题主要考查长方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式 5 （2019 春金牛区期末）把一根长 60 厘米的长方体木料锯成 3 段（如图） ，表面积比原来增加了 100 平 方厘米这根木料原来的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】把这根长方体木料锯成 3 段，锯了 2 次，增加了(22)个截面，即增加的表面积相当于这根 长方体木料的 4 个底面积，用增加的面积除以 4，得出这根长方体木料的底面积，根据
43、长方体的体积计算 公式“Vsh”即可求出这根长方体木料原来的体积 【规范解答】解：(3 1)2 2 2 4（个) 100460 2560 3 1500()cm 答：这根木料原来的体积是 1500 立方厘米 【名师点评】此题是考查长方体体积的计算，关键明白 100 平方厘米是 4 个底面积的和，求出一个截面的 面积，再计算这根长方体木料的体积 考点六：不规则物体的体积不规则物体的体积 【例 12】（2019长沙）一只长方体的玻璃缸，长 8 分米，宽 6 分米，高 4 分米，水深 2.8 分米如果投 入一块棱长为 4 分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【思路分析】 根据题意知用水的体积加铁块
44、的体积， 再减去玻璃缸的容积， 就是溢出水的体积 据此解答 【规范解答】解：8 62.84448 64 ， 134.464192， 6.4（立方分米） ， 6.4（升) 答：向缸里的水溢出 6.4 升 【名师点评】本题的关键是让学生理解：溢出水的体积水的体积铁块的体积玻璃缸的容积，这一数 量关系 【例 13】（2019 春邹城市校级期中）一个长4dm，宽2.5dm，高1.7dm的玻璃缸内装满了水，浸没一个 不规则的石块后有水溢出，把石头从缸内取出后，水深变为1.1dm，石块的体积是多少立方分米？ 【思路分析】取出石块后，水面下降了，下降的水的体积就是这个石块的体积，相当于一个长是4dm，宽 2
45、.5dm，高(1.7 11.1)分米的长方体，根据长方体的体积长宽高求出即可 【规范解答】解：42.5 (1.71.1) 100.6 6（立方分米） 答：石块的体积是 6 立方分米 【名师点评】本题主要考查不规则物体体积的计算方法，将物体放入或取出，水面上升或下降的体积就是 物体的体积 1 （2019 秋曹县校级月考）一个长方体玻璃缸，长8dm，宽6dm，高4dm，水深3dm如果投入一块棱 长为4dm的正方体铁块，缸里的水会溢出来吗？为什么？（请用计算说明理由） 【思路分析】 根据正方体的体积棱长棱长棱长计算出正方体铁块的体积， 长方体的体积长宽高 计算出没有水的部分长方体玻璃缸的体积， 如果
46、正方体铁块的体积大于没有水的长方体的体积， 则水会 溢出，否则就不会溢出 【规范解答】解：正方体铁块体积：44464 （立方分米） ， 没有水的部分的长方体玻璃缸的体积： 8 6 (43) 48 1 48（立方分米） ， 64 立方分米48立方分米， 所以水会溢出 答：缸里的水会溢出 【名师点评】此题主要考查根据正方体和长方体体积公式解决实际问题的能力 2 （2019 春同安区期中）为了比较土豆和红薯的体积，小华做了如下实验： （单位：)cm 来源:Z。xx。k.Com （1）不计算，请你判断一下，土豆和红薯哪个体积大，说说你的理由 （2）请你帮小华算一算，土豆和红薯的体积分别是多少？ 【思路
47、分析】 （1）根据图示原来水的高度是 5 厘米，放入土豆后水的高度是 8 厘米，853()lm，放入 红薯后水的高度是 12 厘米，1284（厘米） ，即可判断； （2）根据题意先算出原来水的体积，再算出放入土豆后的体积，用放入土豆后的体积减去原来水的体积 就是土豆的体积，再算出放入红薯后的体积，用放入红薯后的体积减去放入土豆的体积就是红薯的体积 【规范解答】 解： （1） 根据图示原来水的高度是 5 厘米， 因为： 放入土豆后水的高度是 8 厘米，853（厘 米） ，放入红薯后水的高度是 12 厘米，1284（厘米） 4 厘米3厘米，所以红薯的体积大 答：红薯的体积大，因为放入红薯后水上升的高度比放入土豆后水上升的高度大 （2）12 105 1205 600（立方厘米） 12 108 120 8 960（立方厘米） 960600360（立方厘米） 12 10 12 120 12 1440（立方厘米） 1440960480（立方厘米） 答：土豆的体积是 360 立方厘米，红薯的体积是 480 立方厘米 【名师点评】此题重点考查了用排水法来测量不规则物体的体积的掌握情况 3 （2019普宁市）一个长方体的玻璃缸容器，长6dm，宽5dm，高4dm，里面的水深3.2dm，再把一个 棱长为3dm的正方体铁块放入水中（完全浸没） ，玻璃容