1、第 20 讲 立体图形的表面积和体积 小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的 表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形 的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面 积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图 形切拼时表面积和体积的变化规律。 知识点一：知识点一：立体图形的立体图形的表面积和表面积和体积计算常用公式：体积计算常用公式： 立体图形立体图形 表面积表面积 体积体积 长方体长方体 S=2)(bhahab a：长 b:宽 h：高 S：表
2、面积 Vabh VSh 正方体正方体 S= 2 6a a：棱长 S：表面积 3 Va VSh 圆柱圆柱 2 222Srhr 圆柱 侧面积个底面积 2 Vr h 圆柱 圆锥圆锥 22 360 n Slr 圆锥 侧面积底面积 注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 2 1 3 Vr h 圆锥体 知识点二：知识点二：解解决决立体图形的表面积立体图形的表面积和体积和体积问题时问题时的的注意注意事项事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体 图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两
3、倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个 长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 2.2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部 分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那 么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. h r h r （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的
4、方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 考点一：长方体和正方体表面积长方体和正方体表面积的变与不变的变与不变 【例 1】（2019射洪县）把若干个边长 2 厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形 的表面积是 平方厘米 【思路分析】 要求这个立方体的表面积是多少平方厘米， 只要看这个正方体的表面由多少个小正方形组成， 通过观察，可以得出，立体图形的上面有3 39个小正方形，下面也有 9 个小正方形；左面和右面各 有9个小正方形； 前面和后面各有10个小正方形， 这样得出这个立方体的表面是由56个小正方形组成； 小正方形的面积
5、可根据“正方形的面积边长边长”得出；然后用小正方形的面积乘正方形的个数即 可； 【规范解答】解：(9 4 10 2) (2 2)， 564， 224（平方厘米） ； 答：这个立方体的表面积是 224 平方厘米 故答案为：224 【名师点评】此题考虑大立方体的表面是由多少个小正方形组成，然后根据公式求出小正方形的面积，用 小正方形的面积乘个数即可得出结论 【例 2】把一个长12cm、宽6cm、高9cm的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块这两个小长方体 木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了多少平方厘米？（请你将几种情况都写出来） 【思路分析】把一个长方体截成两个长方体，只锯一次，增加两
6、个横截面， （1）切割时，平行于126面切割，这样切割后，就增加了 2 个126面的面积，由此即可解决问题； （2）切割时，平行于129面切割，这样切割后，就增加了 2 个129面的面积，由此即可解决问题； （3）切割时，平行于96面切割，这样切割后，就增加了 2 个96面的面积，由此即可解决问题 【规范解答】解： （1）1262 722 144（平方厘米） 答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了 144 平方厘米 （2）1292 来源:Zxxk.Com 1082 216（平方厘米） 答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了 216 平方厘米
7、（3）962 542 108（平方厘米） 答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了 108 平方厘米 【名师点评】本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，根据长方体切割小长方体的方法，明确表面 积增加的 2 个面是几几的面是解决本题的关键 1 （2019 春江西校级期末）如图每个小正方体积木的边长是 2 厘米，把它们堆放在墙角，露在外面的面 的面积是 平方厘米 【思路分析】从正面看能看到 6 个小正方形的面，从上面看能看到 6 个小正方形的面，从右面看能看到 6 个小正方形的面，共看到66618（个)，每个小正方形的面积是：224平方厘米，所以露在外 面的面积是4 1
8、872厘米 2，据此解答 【规范解答】解：22 (666) 4 18 72（平方厘米） 答：露在外面的面的面积是 72 平方厘米 故答案为：72 【名师点评】本题考查了从不同方向观察物体的三视图的灵活应用，关键是得出露在外面的小正方形面的 个数 2 （2019萧山区模拟）一个长方体如果高增加2cm就成了一个正方体，而且表面积增加 24 平方厘米，原 来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【思路分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加 2 厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比 高大 2 厘米，因此增加的 24 平方厘米是 4 个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长 (244)23厘
9、米，由于长比高多 2 厘米，那么高321厘米，由此再利用长方体的表面积计算 公式计算即可解答 【规范解答】解：24423（厘米） 321（厘米） 3 323 1 4 1812 30（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是 30 平方厘米 【名师点评】本题主要考查长方体正方体表面积的实际应用，解答本题的关键是根据高增加2cm，就变成 一个正方体，可知增加的部分是长为 2 厘米的 4 个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利 用长方体的表面积的计算方法即可求解 3 （2019深圳校级模拟）把两个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个大长 方体，这个大长方体的表面
10、积最少是多少？ 【思路分析】根据两个长方体拼组成大长方体的方法，拼在一起的面越小，那么拼组后的大长方体的表面 积就越大，反之，拼组后的表面积就越小；所以要使拼成的一个大长方体的表面积最小，只要把两个大 面(97)拼在一起，然后用两个小长方体的表面积之和减去减少的面积解答即可 【规范解答】解：(9 79 47 4)2 29 7 2 ， 12722126 ， 508126， 382（平方厘米） ； 答：大长方体的表面积最小是 382 平方厘米 【名师点评】解决本题的关键是明确拼组后的长方体的表面积等于这两个小长方体的表面积之和减少的 两个面的面积 4将一个表面积为 2 72cm的正方体等分成两个长
11、方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体（如图） ，求 大长方体的表面积 【思路分析】等分成两个长方体后，表面积会增加 2 个正方形的面，也就是说有 8 个正方形的面积；一个 正方形的面积： 2 72612()cm；再拼成的大长方体的拼法是把最小面(12的一半）粘合，即粘合了 1 个面积为 2 12cm的正方形这样大长方体的表面积其实就是 7 个正方形的面的面积；据此解答即可 【规范解答】解：7267 ，来源:Z_xx_k.Com 127， 84（平方厘米） ； 答：大长方体的表面积是 84 平方厘米 【名师点评】解答此题的关键：明确后来拼成的长方体的面积其实就是 7 个正方形的面的面积，是解答
12、本 题的关键所在 考点二：长方体和正方体长方体和正方体体积体积的变与不变的变与不变 【例 3】（2019徐州）一个长方体，如果长增加 2 厘米，则体积增加 40 立方厘米；如果宽增加 3 厘米， 则体积增加 90 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 160 立方厘米原长方体的表面积是 平方 厘米 【思路分析】由题意，长增加 2 厘米，体积增加 40 立方厘米，可知宽高240 立方厘米，则宽高20 平方厘米同理可知长高30平方厘米，长宽40平方厘米，根据长方体的表面积（长宽长高 宽高）2列式解答 【规范解答】解： （长宽长高宽高）2 (402903 1604)2 (203040)2 18
13、0（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 180 平方厘米 故答案为：180 【名师点评】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变根据长方体的 表面积公式解答即可 【例 4】（2019龙海市）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体后，便成 为一个正方体，表面积减少了 120 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】根据长方体的特征，相对的面面积相等，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方 体后， 表面积减少了 120 平方厘米， 减少的只是前后左右的侧面积， 因为截去两部分后又露出两个底面； 又因为剩下部分
14、是正方体，因此减少部分（上下）的 4 个面的面积相等，因此求出一个面的面积， 120430（平方厘米） ，再除以上下部分的高就可以求出剩下部分正方体的棱长；由此解答 【规范解答】解：1204(23)3056（厘米） ； 6 6 (65)36 11396 （立方厘米） ； 答：原来长方体的体积是 396 立方厘米 【名师点评】此题主要考查长方体的体积计算，解答的关键是理解表面积减少的只是侧面积，只要求出剩 下部分正方体的棱长，再利用长方体的体积公式解答即可 1有大、中、小三个正方体水池，它们的棱长分别是 6 米、3 米、2 米，把两堆碎石分别沉落在中、小水 池的水里，两个水池的水面分别升高了 6
15、 厘米、4 厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大 水池的水面将升高多少厘米？（得数保留一位小数） 【思路分析】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆碎石分别沉没 在中、 小水池的水里， 可知底面是不变的， 只是水面会升高， 升高那部分水的体积就是所放碎石的体积， 利用长方体的体积公式长宽高求出两堆碎石的体积；再将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，底 面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆碎石的体积，那就用两堆碎石的体积除以大正 方形水池的底面积即可求出 【规范解答】解：6 米600厘米 3 米300厘米 2 米200厘米 放中池里碎石的体积：3
16、003006540000（立方厘米） 放小池里碎石的体积：2002004160000（立方厘米） 两堆碎石总体积：540000160000700000（立方厘米） 大水池的水面升高：700000(600 600)1.9（厘米） 答：大水池的水面将升高大约 1.9 厘米 【名师点评】此题主要是利用规则图形长方体的体积公式，来将不规则固体借助水的流动性变成规则的形 状，底面是不变的，水面升高那部分体积就是不规则物体的体积，再利用体积公式解答即可 2 （2019 秋东海县期末）有一个长方体容器（如图） ，长 30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米，里面的水深 6 厘米（最大面为底面） ，如果把这
17、个容器盖紧，再朝左竖起来（最小面为底面） ，里面的水深应该是多 少厘米？ 【思路分析】先根据长方体的体积公式Vabh，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积 不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解 答 【规范解答】解：30 20 6(20 10) ， 3600200， 18（厘米） ， 答：里面的水深应该是 18 厘米 【名师点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积） ，就 是水面的高度 3 （2019温江区）有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那 么
18、这个长方体的体积是 【思路分析】正面和上面之和为 209，所以长宽长高长（宽高）209，把 209 分解因数为： 20911 19，又因为长、宽、高都是质数， （1）若长19，宽高11，11 是奇数，只能分解成一个奇数一个偶数，而偶数中只有 2 是质数，11 只能分成29，而 9 又不是质数，所以此情况不成立来源:学#科#网 （2）若长11，宽高19，同样 19 只能分成217，所以这个长方体的三个棱长分别为 2、11、17， 由此可以解决问题 【规范解答】解：正面和上面之和为 209，所以长宽长高长（宽高）209，把 209 分解因数 为：20911 19，又因为长、宽、高都是质数， （1）
19、若长19，宽高11，11 是奇数，只能分解成一个奇数一个偶数，而偶数中只有 2 是质数，11 只能分成29，而 9 又不是质数，所以此情况不成立 （2）若长11，宽高19，同样 19 只能分成217，所以这个长方体的三个棱长分别为 2、11、17， 体积：2 11 17，来源:Zxxk.Com 22 17， 374； 答：这个长方体的体积是 374； 故答案为：374 【名师点评】解答此题的关键：先根据题意，进行分析，判断出长、宽、高的长度，然后根据长方体的体 积计算公式进行解答即可 4 （2019 秋泗阳县校级期中）一个长方体，如果高增加 3 厘米，它就变成一个正方体，此时表面积就增 加 4
20、8 平方厘米原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加 3 厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比 高大 3 厘米，因此增加的 48 平方厘米是 4 个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长 (484)34厘米，由于长比高多 3 厘米，那么高431厘米，由此解答 【规范解答】解：增加的 1 个面的面积：48412（平方厘米） 长方体的长（宽):1234（厘米） 长方体的高：431（厘米） 体积：44 116 （立方厘米） 答：原来这个长方体的体积是 16 立方厘米 【名师点评】此题解答关键是求出长方体的长、宽，进而求出高；然后利用长方体的体积计算
21、公式解答即 可 考点三：圆柱的表面积圆柱的表面积和体积的变与不变和体积的变与不变 【例 5】（2019深圳校级模拟） 一个圆柱体底面周长和高相等， 如果高缩短了 2 厘米， 表面积就减少 12.56 平方厘米求这个圆柱体的表面积 【思路分析】一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形解题的关键在于求出底 面周长，如图：高缩短 2 厘米，表面积就减少 12.56 平方厘米，用如图表示，从图中不难看出阴影部分 就是圆柱体表面积减少的部分 【规范解答】解：底面周长（也是圆柱体的高）:12.5626.28（厘米） ， 侧面积：6.286.2839.4384（平方厘米） ， 两个底面积：
22、 2 6.28 3.14()26.28 23.14 （平方厘米） ， 所以表面积：39.43846.2845.7184（平方厘米） ， 答：这个圆柱的表面积是 45.7184 平方厘米 【名师点评】解答此题的关键是根据高 2 厘米的侧面积求出这个圆柱的底面周长和高，据此再利用圆柱的 表面积公式即可解答 【例 6】（2019南阳模拟）六一儿童节，康康把一块橡皮泥揉成圆柱形， 切成三块（如图1)，表面积增加了 50.24 平方厘米； 切成四块（如图2)，表面积增加了 48 平方厘米 请你算算圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米 【思路分析】如图：切成 3 块，增加 4 个面，表面积增加 50.24 平
23、方厘米，由此求出一个底面的面积，进 而求出圆柱的底面半径；纵切，表面积增加 4 以底面直径为长，以圆柱的高为宽的长方形的面积，由此 求出一个长方形的面积，进而求出圆柱高，然后根据：圆柱的体积底面积高，由此解答即可 【规范解答】解：50.24412.56（平方厘米） ； 假设圆柱的底面半径是r，则 2 12.56r， 所以 2 12.563.144r ，所以2r （厘米） ； 圆柱的高：484(22) 124 3（厘米） 体积为： 2 3.1423 12.563 37.68（立方厘米） 答：圆柱形橡皮泥的体积是 37.68 立方厘米 【名师点评】此题考查了圆柱的知识，明确圆柱的切拼方法，是解答此
24、题的关键 【例 7】（2019上街区）有一个足够深的水槽，底面是长为 16 厘米、宽为 12 厘米的长方形，原本在水槽 里盛有 6 厘米深的水和 6 厘米深的油（油在水的上方） 如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8 厘米、 8 厘米、12 厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？ 【思路分析】首先根据长方体的体积长宽高，求出原来水槽中水的体积是多少；然后根据长方形的 面积长宽，可得水槽的底面积是192(16 12192)平方厘米，铁块的底面积是64(8 864) 平方厘米， 用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放入铁块后水所占的底面积是128(19264128)平方厘米，再用 原来水槽中水的
25、体积除以放入铁块后水所占的底面积，求出现在水的高度为 9 厘米，所以仍然有 3(1293)厘米高的铁块在油里，求出这 3 厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积就是油层增 加的高度，再加上原来的高度 6 厘米就是此时油层的层高；据此解答 【规范解答】解：(16 12 6)(16 128 8) 1152(19264) 1152128 9（厘米） 8 8 (129)(16 12)6 8 83 1926 1921926 16 7（厘米） 答：此时油层的层高是 7 厘米 【名师点评】此题主要考查了长方体的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出在油里的铁块 的高度是多少 1 一个圆柱体零件
26、， 高10cm， 如果沿着它的一条底面直径往下切， 切成大小相同的两份， 表面积增加 2 80cm， 那么原来这个圆柱体的表面积是多少 2 cm？ 【思路分析】 根据题意可知： 把这个圆柱沿底面直径切成完全相同的两部分， 表面积增加了 80 平方厘米， 表面积增加的是以圆柱的底面直径为长、 圆柱的高为宽的两个长方形的面积， 由此可以求出圆柱的底面 直径，再根据圆柱的表面积侧面积底面积2，把数据代入公式解答 【规范解答】解：圆柱的底面直径： 802104（厘米） ， 2 3.14 4 103.14 (42)2 125.63.1442 125.625.12 150.72（平方厘米） 答：原来这个圆
27、柱体的表面积是 150.72 平方厘米 【名师点评】此题主要考查圆柱的表面积公式的灵活运用，关键是求出圆柱的底面直径 2如图所示，一个圆柱高 4 厘米，底面半径是 2 厘米如果将它的底面平均分成若干份，再切拼成一个 和它等底等高的近似的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ 【思路分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知：把一个圆柱沿底面半径和高切开后再拼成一个近似长方 体，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，拼成的长方体的高等于圆柱的高，虽然体积不变，但是拼 成长方体的表面积比圆柱的表面积增加了以圆柱的高为长，圆柱的底面半径为宽的两个长方形的面积，根 据长方形的面积公式：Sab，把数据代入公式解答
28、 【规范解答】解：42216 （平方厘米） 答：表面积增加了 16 平方厘米 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程，圆柱的表面积、长方体的表面积的意 义，以及圆柱的表面积公式、长方体的表面积公式的灵活运用 3 （2019成都）如图，将三个高都是 1 米，底面半径分别是 1.5 米、1 米、0.5 米的 3 个圆柱体组成一个 物体 求这个物体的体积？ 求这个物体的表面积？ 【思路分析】由题意可知：这个物体的体积就等于 3 个圆柱的体积之和，利用圆柱的体积公式即可得解； 这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可 【规范解答】解： （1） 222
29、 3.14 (1.510.5 ) 1， 3.14 (2.25 10.25) ， 3.143.5， 10.99（立方米） ， 答：这个物体的体积是 10.99 立方米 （2）大圆柱的表面积： 2 3.14 1.522 3.14 1.5 1 ， 14.139.42， 23.55（平方米） ， 中圆柱侧面积：23.14 1 16.28 （平方米） ， 小圆柱侧面积：23.140.5 13.14 （平方米） ， 这个物体的表面积：23.556.283.1432.97（平方米） ； 答：这个物体的表面积是 32.97 平方米 【名师点评】此题主要考查圆柱的体积、侧面积、表面积公式及其计算 4 （2019
30、临川区校级模拟）如图所示，某机器零件中间是一个棱长为 2 厘米的正方体，两边各是圆柱体 的一半，求这个零件的表面积和体积 【思路分析】由图形可知：两个半圆柱拼成一个圆柱，它的表面积是圆柱的表面积加上正方体的 4 个面的 面积，题的体积是圆柱与正方体的体积和根据圆柱的表面积侧面积底面积2，圆柱的体积底 面积高，正方体的体积棱长棱长棱长，把数据代入公式解答 【规范解答】解：3.1422224 12.5616 28.56（平方厘米） ； 2 3.14 (22)22 2 2 3.14 1 28 6.288 14.28（立方厘米） ； 答：这个零件的表面积是 28.56 平方厘米，体积是 14.28 立
31、方厘米 【名师点评】此题主要考查圆柱、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用 5 （2019吉安县）一个酸奶瓶（如图） ，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈） ，容积是 32.4 立方厘米当瓶 子正放时，瓶内酸奶高为 8 厘米，瓶子倒放时，空余部分高为 2 厘米请你算一算，瓶内酸奶体积是多 少立方厘米？ 【思路分析】因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体积应相同将 正放与倒放的空余部分变化一下位置， 可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、 高为8210 厘米的圆柱的体积，因而酸奶占 32.4 立方厘米的 8 10 ，由此算出瓶内酸奶的体积 【规范解答】解：8210
32、（厘米） ， 8 32.425.92 10 （立方厘米） ， 答：瓶内酸奶体积是 25.92 立方厘米 【名师点评】解题的关键是将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的 底面积相等、高8210厘米的圆柱的体积，进而求出答案 考点四：圆锥体积圆锥体积的变与不变的变与不变 【例 8】（2019益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图） ，如果把圆柱和圆锥重新分开， 表面积就增加了 2 50.24cm，原来这个物体的体积是( ) A 3 200.96cm B 3 226.08cm C 3 301.44cm D 3 401.92cm 【思路分析】根据题意可知：如果把
33、圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了 50.24 平方厘米，表面积增加 的两个底面的面积，由此可以求出底面积，再根据圆柱的体积公式：Vsh，圆锥的体积公式： 1 3 Vsh， 把数据分别代入公式求出它们的体积和即可 【规范解答】解：50.24225.12（平方厘米） 1 25.12625.12(126) 3 1 150.7225.126 3 150.7250.24 200.96（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是 200.96 立方厘米 故选：A 【名师点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式 【例 9】（2019萧山区模拟）一个底面直径是 4 厘米的圆锥如图，从顶点沿着
34、高将它切成两半后，表面积 增加了 24 平方分米这个圆锥的体积是多少平方厘米？ 【思路分析】根据题意，把一个圆锥沿着高将它切成两半后，表面积增加了 24 平方分米，增加了两个截 面， 每个截面都是以底为 4 厘米， 高为圆锥的高的三角形， 根据三角形的面积计算方法求出三角形的高 （圆 锥的高） ，再根据圆锥体积公式： 2 1 3 Vr h据此解答 【规范解答】解：24 平方分米2400平方厘米 2400224 120024 600（厘米） 2 1 3.14(42)600 3 来源:Z。xx。k.Com 1 3.144600 3 3.14800 2512（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是 251
35、2 立方厘米 【名师点评】明确增加的两个面是以底为 4 厘米，高为圆锥的高的三角形，是解答此题的关键 【例 10】（2019顺庆区）如图，ABCD是直角梯形，以AB为轴将梯形旋转一周，得到一个立体图形， 这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 【思路分析】根据题意可知：以AB为轴旋转一周得到是一个上面是空心圆锥，下面是一个圆柱，圆锥和 圆柱的底面半径都是 2 厘米， 圆锥的高是(85)厘米， 圆柱的高是 8 厘米， 根据圆锥的体积公式： 1 3 vsh， 圆柱的体积公式：vsh，把数据分别代入公式求出圆柱与圆锥的体积差即可 【规范解答】解：如下图： 22 1 3.14283.142(85) 3 1
36、 3.14483.1443 3 100.4812.56 87.92（立方厘米） ， 答：这个立体图形的体积是 87.92 立方厘米 【名师点评】解答求组合图形的体积，关键是考查分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的体积和， 还是求各部分的体积差，再利用相应的体积公式解答 1 （2019揭阳）如图所示，直角三角形三条边分别长为 3 厘米、4 厘米、5 厘米求绕斜边旋转一周后所 形成的物体体积 【思路分析】首先根据三角形的面积公式：2sah，求出这个三角形的面积，进而求出斜边上的高，绕 斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为斜边上的高， 两个圆锥高的和是 5 厘米， 根据圆锥的体 积公式：
37、1 3 vsh，把数据代入公式解答 【规范解答】解：斜边上高： 34225 125 2.4（厘米） ， 2 1 3.142.45 3 1 3.145.765 3 30.144（立方厘米） ， 答：绕斜边旋转一周后所形成的物体体积是 30.144 立方厘米 【名师点评】本题考查的知识点是旋转体，以及圆锥的体积公式的灵活运用，关键是求出斜边上的高 2 （2019 春江宁区月考）一个圆锥的底面周长是 15.7 厘米，高是 3 厘米从圆锥的顶点沿着高将它切成 两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？ 【思路分析】从圆锥的顶点沿着高把他切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了 2 个以圆
38、锥的底面 直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此利用圆锥的底面周长 15.7 厘米求出它的底面直径即 可解决问题 【规范解答】解：圆锥的底面直径为： 15.73.145（厘米） ； 则切割后表面积增加了： 532215（平方厘米） ； 答：表面积之和比原来圆锥表面积增加 15 平方厘米 【名师点评】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是 2 个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角 形的面积是解决此类问题的关键 3 （2019吴川市模拟）如图：在长方体容器内装有水，已知容器内壁底面长为 25 厘米，宽为 20 厘米， 现把小圆柱体和小圆锥体浸没于水中，水面上升了 2 厘米如果圆锥和圆柱的
39、底面积相等高也相等，圆维 的体积是多少？ 【思路分析】首先根据“排水法”求容器内水上升的体积，即圆柱和圆锥的体积之和再根据等底等高的 圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍，把圆锥的体积看作 1 份，则圆柱的体积为 3 份，据此解答 【规范解答】解：圆锥和圆柱的体积和： 252021000（立方厘米） ； 1000(1 3) 10004 250（立方厘米） ， 答：圆锥体的体积是 250 立方厘米 【名师点评】掌握等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍这一关系是解答关键 4 （2019朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形 （1）你同意谁的说法，请将名字填
40、在横线里 （2）甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程） 【思路分析】 （1）我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立 体图形的体积不相等以梯形的上底为轴旋转得到是高为 6 厘米，底面半径是 3 厘米的圆柱内有一个空心 圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱 （2）根据圆柱的体积公式：Vsh，圆锥的体积公式： 1 3 Vsh，分别求出两个立体图形的体积，进而求 出它们体积的比 【规范解答】解： （1）我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两 个立体图形的体积不相等以梯形的上底为轴旋转得到是高为
41、 6 厘米，底面半径是 3 厘米的圆柱内有一个 空心圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱 （2）甲的体积： 22 1 3.14363.143(63) 3 1 3.14963.1493 3 169.5628.26 141.3（立方厘米） ； 乙的体积： 22 1 3.143(63)3.1433 3 1 3.14933.1493 3 28.2684.78 113.04（立方厘米） ； 141.3:113.04 (141.33.14):(113.043.14) (459):(369) 5:4 答：甲、乙体积的比是5:4 故答案为：小红 【名师点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式
42、的灵活运用，关键是熟记公式 小升初专项培优测评卷（小升初专项培优测评卷（二十二十）立体图形的表面积和体积立体图形的表面积和体积 1 （2019 春南阳期中）如图，在密封的容器中装有一些水，水面距底部的高度是10cm如果将这个容器 倒过来，你能求出这时水面距底部的高度是多少厘米吗？ 【思路分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的 1 3 ，下面圆锥的高是 6 厘米，把容器倒过来，水面 在圆柱容器中的高是 2 厘米，再加上原来圆柱中水的高(106)厘米，即可求出这时水面距底部的高 度据此解答 【规范解答】解：高 6 厘米的圆锥容器中水倒入等底的圆柱容器中高是632（厘米） 2(106) 24 6
43、（厘米） ， 答：如果将这个容器倒过来，这时水面距底部的高度是 6 厘米 【名师点评】此题主要考查等底等高的圆柱和圆锥体积关系的灵活运用 2 （2019郑州）一个长方体水箱，高 40 厘米，底面是边长为 12 厘米的正方形（厚度忽略不计） ，水箱内 有 25 厘米深的水，现将一根长 50 厘米的钢柱垂直地插入水箱中，使钢柱的底面与水箱的底面重合已 知长方体钢柱横截面是边长为 4 厘米的正方形，则水面会上升多少厘米？ 【思路分析】设放入钢柱后水箱内的水深为h厘米，此时底面积减少了4416平方厘米，抓住放入铁块 前后水箱内水的体积不变，即可列出一个含有h的方程，由此即可解决问题 【规范解答】解：设
44、放入钢柱后水箱内的水深为h厘米，根据题意可得： 12 12 25(12 124 4)h 3 6 0 01 2 8h 28.125h 28.125253.125（厘米） 答：水面会上升 3.125 厘米 【名师点评】此题考查了长方体容器的容积的计算方法，抓住放入铁块前后水箱内的水的体积不变，是解 决本题的关键 3 （2019衢州）在一个数学实验活动中先往一个长方体的容器中注水，水深 4.4 厘米（如图） ；然后将 一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到 5.5 厘米，这时刚好有 1 3 冰柱浸没在水里，如图 （1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰化成水，体积减少原来的 1 1
45、0 ，这根冰柱融化后将变成多少毫升的水？ （3）当冰柱完全融化时，容器内水深一共是多少厘米？ 【思路分析】 （1）原来水柱只有 4.4 厘米，因为“水面上升到 5.5 厘米处”说明了冰柱插入水中水面上升 了(5.54.4)厘米，用底面积乘以上升的水 1.1 厘米的高度，就是 1 3 冰柱的体积，再求整个冰柱的体积 即可 （2）根据“冰化成水，体积减少原来的 1 10 ，要求这根冰柱融化后将变成多少毫升的水，是把冰的体积看 做单位“1” ，则水是原来冰柱的 1 (1) 10 ，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，据此解答即 可 （3）因为 1 3 冰柱垂直放入长方体的容器中，使水的高度上升
46、了：5.54.41.1（厘米） ，所以根据整个冰 柱化成水后的体积与上升的高度进行计算即可 【规范解答】 （1） 1 10 10(5.54.4) 3 3 100 1.1 1 1103 330立方厘米（立方厘米） 答：整根冰柱的体积是 330 立方厘米； （2） 1 330(1) 10 9 330 10 297（立方厘米） 297 立方厘米297毫升 答：这根冰柱融化后将变成 297 毫升的水 （3）4.4297(10 10) 4.4297100 4.42.97 7.37（厘米） 答：当冰柱完全融化时，容器内水深一共是 7.37 厘米 【名师点评】 解答此题的关键是利用物体排开水的体积等于浸入水
47、的物体的体积， 先求出浸入水中的体积， 从而问题得解 4有甲乙两只圆柱形水桶，甲水桶的底面半径是 12 厘米，乙水桶的底面半径是 16 厘米甲水桶里没有 水，乙水桶里有水且高度是 20 厘米现在把乙水桶里的水倒一部分给甲水桶，使甲乙两只水桶里的水 高度一样，求这时甲水桶里有水多少立方厘米？ 【思路分析】根据圆柱的体积公式：vsh，设甲乙两只水桶里的水高度为x厘米，列方程求出水的高， 然后把数据代入公式解答即可 【规范解答】解：12 1216 1616 1620 xx 1442565120 xx 4005120 x 4004005120 x 12.8x 3.14 12 12 12.85787.6
48、48（立方厘米） ； 答：这时甲水桶里有水 5787.648 立方厘米 【名师点评】此题主要考查圆柱的体积公式的灵活运用，关键是求出甲乙两只水桶里的水高度 5 （2019杭州模拟）在一个圆柱形储水桶里，竖直放入一段半径为 5 厘米的圆钢如果把它全部放入水 中，桶里的水面就上升 9 厘米，如果把水中的圆钢露出水面 8 厘米，桶里的水面就下降 4 厘米，求圆钢 的体积 【思路分析】 圆钢体积 2 3.14 578.5Vhh， 水桶底面积78.59h， 根据题意得出下降的水的体积水 面上圆钢的体积，由此得出 2 (78.59) 43.14 58h，求出圆钢的高，再根据圆柱的体积公式求出圆 钢的体积 【规范解答】解：设圆钢的高为h厘米， 圆钢体积 2 3.14 578.5Vh