1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式（一元二次函数、方程和不等式（B）单元测试）单元测试 (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1 1 若ab0,cd0,则一定有( ) A. B. C. D. 解析cd-d0,00.又 ab0, - - , . 答案 D 2 2 不等式x+1 的解集是( ) A.x|x1 B.x|-2x-1,且x0 D.x|-2x1 解析x+1 , - 0,x(x-1)(x+2)0, x|-2x1,故选 D. 答案 D 3 3 若 - 0,化简 y=
2、- -3 的结果为( ) A.y=-4x B.y=2-x C.y=3x-4 D.y=5-x 解析 - 0,-2x0 的解为x0 的解集为( ) A.x|-1x2 B.x|1x2 C.x|-2x-1 D.x|-2x0 为-2x2+2x+40,可化为 x 2-x-20,解得-1x0,b0)在该约束条件下取到最 小值 2 时,a 2+b2的最小值为( ) A.5 B.4 C. D.2 解析约束条件 - - - - 满足的可行域如图中阴影部分所示.由图可知,目标函数 z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1). 所以 2a+b=2 ,则b=2 -2a, 所以a 2+b2=a2+(2 -
3、2a)2=5a2-8 a+20=5( - ) +4, 即当a= ,b= 时,a 2+b2有最小值 4. 答案 B 8 8 设a0,b0,且不等式 恒成立,则实数 k的最小值等于( ) A.0 B.4 C.-4 D.-2 解析由 得 k- ,而 + 当且仅当 a=b时,等号成立),所以 - -4,因此要使k- 恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4. 答案 C 9 9 已知x0,y0,xy=8,若z=2x+y-m恒为正数,则实数m的取值范围是( ) A.(-,4) B.(-,4 C.(-,8) D.(-,8 解析z=2x+y-m恒为正数,即 2x+y-m0 恒成立,即m2x+y恒成立,只需
4、m(2x+y)min即可.因为 2x+y =8,当且仅当 2x=y,即x=2,y=4 时,等号成立,所以m8. 答案 C 1010 某同学解关于x的不等式x 2-7ax+3a0)时,得到 x的取值范围为(-2,3),如果这个区间的 端点有一个是错误的,那么正确的x的取值范围应是( ) A.(-2,-1) B.( ) C.(1,3) D.( ) 解析x的取值区间的两个端点是方程x 2-7ax+3a=0 的两个根,因为 a0,所以正确区间的两个端点的 和与积都应是正值,所以正确区间的两个端点都应是正数,所以题目中区间的左端点错误,所以 3 是 方程x 2-7ax+3a=0 的一个根,把 x=3 代
5、入该方程解得a= ,所以 x 2-7ax+3a=0 为 2x2-7x+3=0,解得另一 个解为 . 答案 B 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 1111 若ab0,则 - 与 的大小关系为 . 解析ab0, - - - - - 0, - . 答案 - 1212 设mR R,过定点A的动直线x+my=0 和过定点B的动直线mx-y-m+3=0 交于点P(x,y),则 |PA|PB|的最大值是 . 解析由题意,可知点A为(0,0),点B为(1,3). 又 1m+m(-1)=0, 两条动直线互相垂直. 由圆的性质可知,动点P(x,y)的轨迹是圆,
6、 圆的直径为|AB|= . |PA|PB| =5. 当且仅当|PA|=|PB|= 时,等号成立. |PA|PB|的最大值是 5. 答案 5 1313 若变量x,y满足约束条件 且z=2x+y的最小值为-6,则k= . 解析 画出可行域如图阴影部分所示: 画直线l0:y=-2x,平移直线l0,当过A(k,k)时,使得z最小,由最小值为-6,可得 3k=-6,解得k=- 2. 答案-2 1414 不等式 - - 的解集为 . 解析原不等式等价于 - - - 即 - - 所以 - - - 故 10,b0,且ab,比较 与 a+b的大小. 解( )-(a+b)= -b+ -a = - - =(a 2-
7、b2)( - ) =(a 2-b2) - - , 又a0,b0,ab, (a-b) 20,a+b0,ab0, ( )-(a+b)0, a+b. 1717(本小题满分 8 分)已知集合A= | - -7 ,B=x|(x+a)x-(a+2)0. (1)当a=4 时,求AB; (2)若AB,求实数a的取值范围. 解A= | - -7 =x|(x-1)(x-7)0=x|1x7, B=x|(x+a)x-(a+2)0=x|-axa+2. (1)当a=4 时,B=x|-4x6, AB=x|1x7x|-4x6=x|1x0 恒成立, 原不等式等价于 3x 2+2x+2k(x2+x+1)恒成立, 即等价于(3-k
8、)x 2+(2-k)x+2-k0 恒成立, 只要 - - - - - 解得k2. k为正整数,k取 1. 1919(本小题满分 10 分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验,搭载若干件新 产品 A,B,该所要根据 A,B 产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体 安排,通过调查,有关数据如下表: 每件产品 A 每件产品 B 备 注 研制成本与搭载费用之和/万元 20 30 计划最大投资额为 300 万元 产品重量/千克 10 5 最大搭载重量为 110 千克 预计收益/万元 80 60 问:这两种产品各搭载多少件,才能使总预计收益达到最大?最大收益是多少?
9、 解设搭载 A 产品x件,B 产品y件,预计收益z万元. 则 可化为 目标函数z=80 x+60y. 作出可行域,如图阴影部分所示. z=80 x+60y可化为 80 x+60y-z=0,它是斜率为- 的一族平行直线, 是直线在 y轴上的截距. 观察图形可知,当直线过点M时,z取得最大值. 解方程组 得M(9,4). 所以zmax=809+604=960. 答:搭载 A 产品 9 件,B 产品 4 件,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为 960 万元. 2020(本小题满分 10 分)由于浓酸泄漏对河流造成了污染,现决定向河中投入固体碱.1 个单位的固 体碱在水中逐步溶化,水中的碱浓度y
10、与时间x的关系,可近似地表示为 y=- - - 只有当河流中碱的浓度不低于 1 时,才能对污染产生有效的抑制作用. (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间为多少? (2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱,此后,每一时刻河中的碱浓度 认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和,求河中碱浓度的最大值. 解(1)依题意,可得- - 或 - 整理得 - 或 解得 - 7 x 或 2x 所以 - 7 x . 所以,如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间为 3- - 7 7 . (2)设 x1x2 则 y1-y2 =(- - ) (- - ) = - - . 因为 x1x2 所以(x1+2)(x2+2)0. 又x1-x20, 所以 - - 0, 所以y1y2. 故该函数在区间0,2上是增函数. 又该函数在区间(2,4上是减函数,所以当x=2 时,河中的碱浓度开始下降,此后,每一时刻河中 的碱浓度 N=4-x+- - - - =14-( ) -2 =14-8 , 当且仅当 2x= ,即 x=2 时,等号成立. 所以河中碱浓度的最大值为 14-8 .