1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式（一元二次函数、方程和不等式（A）单元测试）单元测试 (时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1 1 下列命题正确的是( ) A.若acbc,则ab B.若a 2b2,则 ab C.若 ,则 ab D.若 ,则ab 解析 A 中,若c0,则不等式不成立;B 中,若a,b均小于 0 或a0,bN B.MN C.M0,所以 MN. 答案 A 3 3 不等式x 2-2x-52x 的解集是( ) A.x|x5 或x-1 B.x|x5 或x-1
2、C.x|-1x0, 所以(x-5)(x+1)0,解得x5. 答案 B 4 4 若实数x,y满足不等式组 - - , , - , 则该约束条件所围成的平面区域的面积是( ) A.3 B.5 C.2 D.2 解析因为直线x-y=-1 与x+y=1 互相垂直, 所以如图阴影部分所示的可行域为直角三角形, 易得A(0,1),B(1,0),C(2,3), 故|AB|= ,|AC|=2 , 故所求面积S= 2 =2. 答案 C 5 5 若集合A=x|- x+ ,B= | - 0,则AB=( ) A.x|- x0 B.x|0x C.x|0 x D.x|0 x 解析由于A=x|- x+ =x|- x ,B=
3、- 0=x|0x , 故AB=x|- x x|0x =x|00 的解集是 - ,则 a+b的值等于( ) A.-10 B.-14 C.10 D.14 解析由题意,知- 是方程 ax 2+bx+2=0 的两根,由根与系数的关系,得- - , - , 解得a=-12,b=-2,所以a+b=-14. 答案 B 7 7 已知关于x的不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-40 对一切 xR R 恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-,2) B.-2,2 C.(-2,2 D.(-,-2) 解析当a=2 时,不等式即-40 显然成立,当a-20 时,需要满足a-20,且=4(a-2) 2+16(a-
4、2)0- 2a2,所以-20,N0,MN8 , 所以M+N 8 =18,当且仅当M=N=9 时,等号成立. 答案 B 9 9 已知当变量x,y满足约束条件 , , 时,z=x-3y的最大值为 8,则实数m的值是( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 解析作出可行域,平移直线x-3y=0, 可知当目标函数经过直线y=x与x=m的交点(m,m)时,取得最大值,由m-3m=8,得m=-4. 答案 A 1010 若f(x)是偶函数,且当x0,+)时,f(x)=x-1,则f(x-1)0 的解集是( ) A.x|-1x0 B.x|x0 或 1x2 C.x|0x2 D.x|1x2 解析由题意可画出偶
5、函数f(x)的图象,如图所示,由f(x-1)0,数形结合法可得-1x-11, 故 0x0,y0,且x+2y=1,则 的最小值为 . 解析 ( )(x+2y)=3+ +2 ,当且仅当 ,且x+2y=1,即y= - ,x= -1 时, 等号成立. 答案 3+2 1212 给定区域D: , , 0 令点集T=(x0,y0)D|x0,y0Z Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大 值或最小值的点,则T中的点共确定 条不同的直线. 解析由区域D: , , 0, 画出可行域如图阴影部分所示. 满足条件的(x0,y0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0), 故T中的
6、点共确定 6 条不同的直线. 答案 6 1313 已知f(x)= , 0, 0, 0,则不等式 xf(x)+x 的解集是 . 解析分类讨论:当x0 时,f(x)=1,则不等式变为x+x ,所以x ,所以 0 x ; 当x0 时,f(x)=0,则不等式变为x0+x , 所以x ,所以x0. 综上所述,不等式的解集为x|x . 答案x|x 1414 要挖一个底面积为 432 m 2的长方体鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3 m(宽的两端),4 m(长 的两端)的堤堰,要想使占地总面积最小,此时鱼池的长为 ,宽为 . 解析设长方体鱼池的底面长为xm,则宽为 m,则占地总面积y=(x+8)( ) 8
7、+6x+ 807 8, 当且仅当 8 =6x,即x=24 时取得最小值.则宽为 =18(m). 答案 24 m 18 m 1515 在 R R 上定义运算 :x y=(1-x)y,若关于x的不等式(x+a) (x-a)1 对任意实数x都成立, 则a的取值范围是 . 解析由题意,可得(x+a) (x-a)=(1-x-a)(x-a)0 恒成立,故 1-4(- a 2+a+1)0,解得- a . 答案(- , ) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 1616(本小题满分 8 分)已知集合A= ( ) - - ,B=x|log4(x+a)1,
8、若AB=,求实数a 的取值范围. 分析首先根据条件解出两个集合中的不等式,然后把集合对应的区间在数轴上表示出来,可以根据 数轴判断a满足的条件. 解由( ) - - 0, x3 或x3 或x-2. 由 log4(x+a)1,得 0x+a4, B=x|-ax4-a. AB=,- - , - a . 1717(本小题满分 8 分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都 购入x张(x是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书 桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只
9、有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 解(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张, 则共需分 批,每批价值为 20 x 元, 由题意得f(x)= 4+k20 x. 当x=4 时,f(x)=52,得k= 80 5. f(x)= +4x(0x ,xN N+). (2)能.理由:由(1)知f(x)= +4x(0x ,xN N+), f(x) =48(元). 当且仅当 =4x,即x=6 时,上式等号成立. 故只需每批购入 6 张书桌,就可以使资金够用. 1818(本小题
10、满分 9 分)解关于x的不等式 56x 2+ax-a20. 解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)0, 即( 7 )( - 8 )0 时,- 7 x 8 ; 当- 7 8 ,即a=0 时,原不等式的解集为; 当- 7 8 ,即a0 时, 8 x0 时,原不等式的解集为 |- 7 8 ; 当a=0 时,原不等式的解集为; 当a2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)+6a=0 有两个相等实根,求f(x)的解析式; (2)若函数f(x)的最大值不小于 8,求实数a的取值范围. 解设f(x)=ax 2+bx+c,则 f(x)2xax 2+(b-2)x+c0. 已知其解集为(1,3), 0,
11、- - - , , f(x)=ax 2+(2-4a)x+3a. (1)若f(x)+6a=0 有两个相等实根, 即ax 2-(4a-2)x+9a=0 有两个相等实根, 则=4+16a 2-16a-36a2=0, 解得a=-1( 5不合题意,舍去), f(x)=-x 2+6x-3. (2)由题意可知f(x)=a( - - ) - - ,a0,f(x)max=- - 8, 得a 2-4a+ -8a a 2+4a+ 0. 解得a-2+ 或a-2- .又a0,a的取值范围是(-,-2- -2+ ,0). 2020(本小题满分 10 分)已知函数f(x)=ax 2+bx+c 满足f(-1)=0,是否存在常数a,b,c,使不等式 xf(x) (x 2+1)对一切实数 x都成立. 解由f(-1)=0,得a-b+c=0, 因为对xR R,不等式xf(x) (x 2+1)成立,取 x=1,有 f( ) , 所以f(1)=1,故a+b+c=1, 由联立,可得b= ,c= -a,将其代入 xf(x) (x 2+1),得 xax 2+ x+ -a (x 2+1)对 xR R 恒 成立,即 - - 0, ( - ) - 0, 由得 0, 0 a= . 由得 - 0, 0 a= . 综上所述,存在常数a= ,b= ,c= 满足题意.