1、 3 二倍角的三角函数二倍角的三角函数(一一) 基础过关 1函数 f(x)sin xcos x 的最小值是( ) A1 B1 2 C.1 2 D1 解析 f(x)1 2sin 2x 1 2， 1 2 . 答案 B 2已知 x( 2，0)，cos x 4 5，则 tan 2x 等于( ) A. 7 24 B 7 24 C.24 7 D24 7 解析 cos x4 5，x( 2，0)，得 sin x 3 5， 所以 tan x3 4， 所以 tan 2x 2tan x 1tan2x 23 4 13 4 2 24 7 ，故选 D. 答案 D 3已知 sin 22 3，则 cos 2 4 等于( )
2、A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析 因为 cos2 4 1cos2 4 2 1cos 2 2 2 1sin 2 2 ， 所以 cos2 4 1sin 2 2 12 3 2 1 6，选 A. 答案 A 42sin222.5 1_. 解析 原式cos 45 2 2 . 答案 2 2 5sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 _. 解析 原式sin 6 cos 48 cos 24 cos 12 sin 6 cos 6 cos 12 cos 24 cos 48 cos 6 sin 96 16cos 6 cos 6 16cos 6 1 16. 答案 1 16 6已知 si
3、n cos 2， 0， 2 ，求 sin 2 的值 解 sin 12sin2，即 2sin2sin 10， sin 1 或 sin 1 2. 又 0， 2 ， sin 1 2， 6. cos 3 2 . sin 22sin cos 21 2 3 2 3 2 . 7已知角 在第一象限且 cos 3 5，求 1 2cos2 4 sin 2 的值 解 cos 3 5且 在第一象限，sin 4 5. cos 2cos2sin2 7 25， sin 22sin cos 24 25， 原式 1 2cos 2cos 4sin 2sin 4 cos 1cos 2sin 2 cos 14 5 . 能力提升 8已
4、知等腰三角形底角的余弦值为2 3，则顶角的正弦值是( ) A.4 5 9 B.2 5 9 C4 5 9 D2 5 9 解析 令底角为 ，顶角为 ，则 2， cos 2 3，0， sin 5 3 . sin sin(2)sin 22sin cos 22 3 5 3 4 5 9 . 答案 A 9已知 f(x)2tan x 2sin2x 21 sinx 2cos x 2 ，则 f 12 的值为( ) A4 3 B.8 3 3 C4 D8 解析 f(x)2sin x cos x 2cos x sin x 2sin 2x2cos2x sin xcos x 4 sin 2x， f 12 4 sin 6 8
5、. 答案 D 10已知 tan 23，则 1cos sin 1cos sin _. 解析 1cos sin 1cos sin 2sin2 22sin 2cos 2 2cos2 22sin 2cos 2 2sin 2 sin 2cos 2 2cos 2 cos 2sin 2 tan 23. 答案 3 11函数 f(x)cos xsin2xcos 2x7 4的最大值是_ 解析 f(x)cos x(1cos2x)(2cos2x1)7 4 cos2xcos x7 4 cos x1 2 22. 当 cos x1 2时，f(x)max2. 答案 2 12.已知 ， 为锐角，tan 4 3，cos() 5
6、5 . (1)求 cos 2 的值； (2)求 tan()的值. 解 (1)因为 tan 4 3，tan sin cos ，所以 sin 4 3cos . 因为 sin2cos21，所以 cos2 9 25， 因此，cos 22cos21 7 25. (2)因为 ， 为锐角，所以 (0，). 又因为 cos() 5 5 ，所以 sin()1cos2（）2 5 5 ， 因此 tan()2. 因为 tan 4 3，所以 tan 2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此，tan()tan2() tan 2tan（） 1tan 2tan（） 2 11. 创新突破 13.已知函数 f(x)sin2x 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间 3，m 上的最大值为 3 2，求 m 的最小值. 解 (1)f(x)1 2 1 2cos 2x 3 2 sin 2x sin 2x 6 1 2. 所以 f(x)的最小正周期为 T2 2 . (2)由(1)知 f(x)sin 2x 6 1 2. 由题意知 3xm， 所以5 6 2x 62m 6. 要使得 f(x)在 3，m 上的最大值为 3 2， 即 sin 2x 6 在 3，m 上的最大值为 1. 所以 2m 6 2，即 m 3. 所以 m 的最小值为 3.