1、1.1.2 弧度制弧度制 基础过关 1.把11 4 表示成 2k(kZ)的形式，使|最小的 值是( ) A.3 4 B.2 C. D. 解析 11 4 2 3 4 2(1) 3 4 ，使|最小的 3 4. 答案 A 2.如图是一个半径为 R 的扇形，它的周长为 4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域) 的面积是( ) A.1 2(2sin 1cos 1)R 2 B.1 2R 2sin 1cos 1 C.1 2R 2 D.(1sin 1cos 1)R2 解析 设扇形的弧长为 l，圆心角的弧度数为 ， l4R2R2R， l R2. S弓形S扇形S1 2R 21 2(2Rsin 2) (Rcos 2)
2、1 22R 2R2sin 1 cos 1R2(1sin 1cos 1). 答案 D 3.在半径为 10 的圆中，240 的圆心角所对弧长为_. 解析 240 240 180 4 3， 弧长 l| r4 310 40 3 . 答案 40 3 4.时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过的弧度数为_. 解析 显然分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的1 3， 用弧度制表示就是41 32 14 3 . 答案 14 3 5.已知扇形的圆心角为 3，半径为 2，则其面积为_. 解析 此扇形的面积为 S1 2|r 21 2 32 22 3 . 答案 2 3 6
3、.把下列角化成 k2(02，kZ)的形式，并判断是第几象限角. (1)22 3 ；(2)315 . 解 (1)22 3 4 3 32，为第三象限角. (2)315 7 4 42，为第一象限角. 7.设 1510 ，2750 ，14 5，2 11 6 . (1)将 1，2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将 1，2用角度表示出来，并在360 360 内找出与它们终边相同的所有的 角. 解 (1)1 180 rad， 1510 510 180 17 6 ， 2750 750 180 25 6 . 又 117 6 25 6，2 25 6 3211 6 ， 1是第二象限角，2是第四象限角
4、. (2)14 5 4 5 180 144 . 设 1k 360 144 (kZ). 360 1360 ， 360 k 360 144 360 ， k1 或 k0. 在360 360 内与 1终边相同的角是216 角与 144 角. 211 6 11 6 180 330 . 设 2k 360 330 (kZ). 360 2360 ， 360 k 360 330 360 ， k0 或 k1. 在360 360 内与 2终边相同的角是 30 角与330 的角. 能力提升 8.若扇形圆心角为 3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( ) A.12 B.23 C.25 D.34 解析 设扇形的半径为
5、R，扇形内切圆半径为 r， 则 Rr r sin 6 r2r3r， S内切圆r2. S扇形1 2R 21 2 3R 21 2 39r 23 2r 2. S内切圆S扇形23. 答案 B 9.如果一扇形的弧长变为原来的3 2倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原 扇形面积的( ) A.3 5 B.2 5 C.3 4 D.2 3 解析 由于 S1 2lR，若 l 3 2l，R 1 2R，则 S 1 2lR 1 2 3 2l 1 2R 3 4S. 答案 C 10.若角 的终边与8 5 的终边相同，则在0，2内终边与 4角的终边相同的角是 _. 解析 8 5 2k，kZ， 所以 4 2 5 k 2
6、，kZ. 当 k0，1，2，3 时， 4 2 5 ，9 10， 7 5 ，19 10 且 40，2. 答案 2 5 ，9 10， 7 5 ，19 10 11.已知 是第二象限角，且|2|4，则 的取值范围是_. 解析 是第二象限角， 22k2k，kZ. |2|4，62. 当 k1 时，3 2， 当 k0 时， 22， 当 k 为其他整数时，满足条件的角 不存在. 的取值范围是(3 2 ，)( 2，2. 答案 (3 2 ，)( 2，2 12.如图，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终边落在阴影部 分内的角 的集合. 解 (1)在360 360 内，以射线 OB 为终边的角为 2
7、25 ，也可看成是135 ， 化为弧度，即135 135 180 3 4 ，135 135 180 3 4 ， 角 的集合为 |2k3 4 2k3 4 ，kZ . (2)在22 内， 终边落在阴影部分的角 为 4 6与 3 4 7 6 ， 且两区域 关于原点对称. 角 的集合为 |k 4k 6，kZ . 创新突破 13.一条弦的长度等于半径 r，求： (1)这条弦所对的劣弧长； (2)这条弦和劣弧组成的弓形的面积. 解 (1)如图所示，半径为 r 的O 中，弦 ABr，则OAB 为等边三角形，所以 AOB 3，则弦 AB 所对的劣弧长为 3r. (2)SAOB1 2 OA OB sinAOB 3 4 r2，S扇形OAB1 2|r 21 2 3r 2 6 r 2，所以 S 弓 形S扇形OABSAOB 6r 2 3 4 r2 6 3 4 r2， 即这条弦和劣弧所组成的弓形的面积 为 6 3 4 r2.