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全国重点高中竞赛讲座 08几何变换

1、竞赛专题讲座竞赛专题讲座 08 几何变换几何变换 【竞赛知识点拨】【竞赛知识点拨】 一、一、 平移变换平移变换 1 定义 设是一条给定的有向线段,T 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X,使得=,则 T 叫做沿有向线段的平移变换。记为 XX,图形 FF 。 2 主要性质 在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为 三角形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。 二、二、 轴对称变换轴对称变换 1 定义 设 l 是一条给定的直线,S 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任 一点 X 变到 X,使得 X 与 X关于直线 l 对称,则

2、 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变 换。记为 XX,图形 FF 。 2 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者 交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。 三、三、 旋转变换旋转变换 1 定义 设 是一个定角,O 是一个定点,R 是平面上的一个变换,它把点 O 仍变到 O(不动点),而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X,使得 OX=OX,且 XOX=,则 R 叫做绕中心 O,旋转角为 的旋转变换。记为 XX, 图形 FF 。 其中 0 时,为逆时针方向。 2 主要性质 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。 四、四、 位似变换位似变换 1

3、定义 设 O 是一个定点,H 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X,使得 =k,则 H 叫 做以 O 为位似中心,k 为位似比的位似 变换。记为 XX,图形 FF 。 其中 k0 时,X在射线 OX 上,此时的位似变换叫做外位似;k0 时, X在射线 OX 的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。 2 主要性质 在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变 到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的 比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的 对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直

4、线的平行、相交位置关 系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。 【竞赛例题剖析】【竞赛例题剖析】 【例 1】P 是平行四边形 ABCD 内一点,且PAB=PCB。 求证:PBA=PDA。 【分析】作变换ABPDCP, 则ABPDCP,1=5,3=6。由 PPADBC,ADPP、PPCB 都是平 行四边形,知2=8,4=7。由已知1=2,得5=8。 P、D、P、C 四点共圆。故6=7,即3=4。 【例 2】“风平三角形”中,AA=BB=CC=2,AOB=BOC=60。 求证:AOB+BOC+ COA。 【分析】作变换AOCAQR,BOCBPR,则 R、 R重合,记为

5、 R。P、R、Q 共线,O、A、Q 共线,O、B、P 共线,OPQ 为等边 三角形。 AOB+BOC+COA2AD。 【分析】设 PP,PP。则 RP=RP,PQ=PQ, AP=AP=AP。 PQ+QR+RP= PQ+QR+RP。 又A90,PAP+PAP=2A180,A 点在线段 PP上或在凸 四边形 PRQP的内部。PQ+QR+RPAP+AP=2AP2AD。 PQ+QR+RP2AD。 【评注】如果题设中有角平分线、垂线,或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形, 可以将图形或其部分进行轴对称变换。此外,也可以适当选择对称轴将一些线段的 位置变更,以便于比较它们之间的大小。 【例 7】以ABC 的

6、边 AB、AC 为斜边分别向外作等腰直角三角形 APB、 AQC, M 是 BC 的中点。 求证: MP=MQ, MPMQ。 【分析】延长 BP 到 E,使 PE=BP,延长 CQ 到 F, 使 QF=CQ,则BAE、CAF 都是 等腰三角形。 显然:EB,CF,EC=BF,ECBF。 而 PMEC,MQBF,MP=MQ,MPMQ。 【例 8】已知 O 是 ABC 内一点,AOB=BOC=COA=120;P 是ABC 内任一点,求证: PA+PB+PCOA+OB+OC。(O 为费马点) 【分析】 将 CC, OO, PP, 连结 OO、 PP。 则B OO、B PP都是正三角形。 OO=OB,

7、PP =PB。显然BOCBOC,BPCBPC。 由于BOC=BOC=120=180-BOO,A、O、O、C四点共线。 AP+PP+PCAC=AO+OO+OC,即 PA+PB+PCOA+OB+OC。 【例 9】O 与ABC 的三边 BC、CA、AB 分别交于点 A1、A2、B1、B2、C1、C2, 过上述六点分别作所在边的垂线 a1、a2、b1、b2、,设 a1、b2、c1三线相交于一点 D。 求证:a2、b1、c2三线也相交于一点。 【分析】a1、a2关于圆心 O 成中心对称, a1a2。 同理,b1b2,c1c2。 a1、b2、c1的公共点 D 在变换 R(O,180)下的像 D也是像 a2

8、、b1、c2的公共点, 即 a2、b1、c2三线也相交于一点。 【例 10】AD 是ABC 的外接圆 O 的直径,过 D 作O 的切线交 BC 于 P,连结并延长 PO 分别交 AB、AC 于 M、N。求证:OM=ON。 【分析】设 OO,NN,而 MB, M、O、N 三点共线,B、O、N三点共线,且。 取 BC 中点 G,连结 OG、OG、DG、DB。 OGP=ODP=90,P、D、G、O 四点共圆。 ODG=OPG,而由 MNBN有OPG=OBG, ODG=OBG,O、B、D、G 四点共圆。 OGB=ODB。而ODB=ACB,OGB=ACB,OGAC, 而 G 是 BC 的中点,O是 BN的中点,OB= O N, OM=ON。