1、竞赛讲座 09 圆 基础知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系， 和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系 圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何 问题， “三角形的心” ， “几何著名的几何定理” ， “共圆、共线、共点” ， “直线形” 将构成圆 的综合问题的基础 本部分着重研究下面几个问题： 1角的相等及其和、差、倍、分； 2线段的相等及其和、差、倍、分； 3二直线的平行、垂直； 4线段的比例式或等积式； 5直线与圆相切； 6竞赛数学中几何命题
2、的等价性 命题分析 例 1已知A为平面上两个半径不等的 1 O和 2 O的一个交点，两圆的外公切线分别 为 2121 ,QQPP， 1 M、 2 M分别为 11Q P、 22Q P的中点，求证： 2121 AMMAOO 例 2证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形 例 3延长AB至D，以AD为直径作半圆，圆心为H，G是半圆上一点，ABG为 锐角E在线段BH上，Z在半圆上，EZBG，且 2 EZEDEH，BTHZ求 证：ABGTBG 3 1 例 4求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等 例 5设A是ABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外
3、接圆分成两段弧， U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点，线段AB和AC的垂直平分线分别 交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T证明：TCTBAU 例6 菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于HGFE,， 在 EF与 GH上分别作O 切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQNP 例 7 1 O和 2 O与ABC的三边所在直线都相切，HGFE,为切点，并且 FHEG,的延长线交于点P求证：直线PA与BC垂直 例 8在圆中，两条弦CDAB,相交于E点，M为弦AB上严格在E、B之间的点过 MED,的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于GF,已知t AB AM ，求 E
4、F CE （用t表 示） 例 9 设点D和E是ABC的边BC上的两点， 使得CAEBAD 又设M和N 分别是ABD、ACE的内切圆与BC的切点求证： NENCMDMB 1111 例 10设ABC满足90A，CB，过A作ABC外接圆W的切线，交 直线BC于D，设A关于直线BC的对称点为E，由A到BE所作垂线的垂足为X，AX 的中点为Y，BY交W于Z点，证明直线BD为ADZ外接圆的切线 例 11 两个圆 1 和 2 被包含在圆内， 且分别现圆相切于两个不同的点M和N 1 经过 2 的圆心 经过 1 和 2 的两个交点的直线与相交于点A和B， 直线MA和直线MB 分别与 1 相交于点C和D求证：CD
5、与 2 相切 例 12已知两个半径不相等的 1 O和 2 O相交于M、N两点，且 1 O、 2 O分别 与O内切于S、T两点求证：MNOM 的充要条件是S、N、T三点共线 例 13在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行， 1 O过A、B且与边CD相切于 点P， 2 O过C、D且与边AB相切于点Q 1 O和 2 O相交于E、F，求证：EF平 分线段PQ的充要条件是BCAD 例 14设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，且两对边AB与CD不 平行 点P为线段AB与CD的垂直平分线的交点， 且在四边形的内部 求证：A、B、C、 D四点共圆的充要条件为 PCDPAB SS 训练题 1AB
6、C内接于O，90BAC，过B、C两点O的切线交于P，M为BC 的中点，求证： （1）BAC AP AM cos； （2）PACBAM 2已知CBA,分别是ABC外接圆上不包含CBA,的弧 ABCABC,，的中点， BC分别和A C 、BA相交于M、N两点，CA分别和BA、CB相交于P、Q两点， AB分别和CB、A C 相交于R、S两点求证：RSPQMN的充要条件是ABC 为等边三角形 3以ABC的边BC为直径作半圆，与AB、CA分别 交于点D和E，过D、E作 BC的垂线，垂足分别为F、G线段DG、EF交于点M求证：BCAM 4在ABC中，已知B内的旁切圆与CA相切于D，C内的旁切圆与AB相切
7、于E，过DE和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分ABC的周长，且与 A的平分线平行 5在ABC中，已知，过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F在BC边 上取点P使得BCBP 3求证：BBFP 2 1 6 半 圆 圆 心 为O， 直 径 为AB， 一 直 线 交 半 圆 于DC,， 交AB于M （MDMCMAMB,） 设K是AOC与DOB的外接圆除点O外之另一交点求 证：MKO为直角 7 已 知 ，AD是 锐 角ABC的 角 平 分 线，BAC，ADC， 且 2 coscos 求证：DCBDAD 2 8M为ABC的边AB上任一点，rrr, 21 分别为AMC、BMC、ABC的 内
8、切圆半径；, 21 分别为这三个三角形的旁切圆半径（在ACB内部） 求证： rrr 2 2 1 1 9设D是ABC的边BC上的一个内点，AD交ABC外接圆于X，P、Q是X 分别到AB和AC的垂足，O是直径为XD的圆证明：PQ与O相切当且仅当 ACAB 10若AB是圆的弦，M是AB的中点，过M任意作弦CD和EF，连DECD,分别 交AB于YX,，则MYMX 11设H为ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的一点，E是高BH的垂足，并 设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与BR交于X证明：EXAP 12在ABC中，C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于D和K，I是内切 圆圆心证明： （1） CIIKID 111 ； （2）1 IK ID ID CI