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全国重点高中竞赛讲座 09圆

1、竞赛讲座 09 圆 基础知识 如果没有圆,平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形,应当掌握圆的基本性质,垂线定理,直线与圆的位置关系, 和圆有关的角,切线长定理,圆幂定理,圆和圆的位置关系,多边形与圆的位置关系 圆的几何问题不是独立的,它与直线形结合起来,将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何 问题, “三角形的心” , “几何著名的几何定理” , “共圆、共线、共点” , “直线形” 将构成圆 的综合问题的基础 本部分着重研究下面几个问题: 1角的相等及其和、差、倍、分; 2线段的相等及其和、差、倍、分; 3二直线的平行、垂直; 4线段的比例式或等积式; 5直线与圆相切; 6竞赛数学中几何命题

2、的等价性 命题分析 例 1已知A为平面上两个半径不等的 1 O和 2 O的一个交点,两圆的外公切线分别 为 2121 ,QQPP, 1 M、 2 M分别为 11Q P、 22Q P的中点,求证: 2121 AMMAOO 例 2证明:唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形 例 3延长AB至D,以AD为直径作半圆,圆心为H,G是半圆上一点,ABG为 锐角E在线段BH上,Z在半圆上,EZBG,且 2 EZEDEH,BTHZ求 证:ABGTBG 3 1 例 4求证:若一个圆外切四边形有两条对边相等,则圆心到另外两边的距离相等 例 5设A是ABC中最小的内角,点B和C将这个三角形的外

3、接圆分成两段弧, U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点,线段AB和AC的垂直平分线分别 交线段AU于V和W,直线BV和CW相交于T证明:TCTBAU 例6 菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于HGFE,, 在 EF与 GH上分别作O 切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求证:MQNP 例 7 1 O和 2 O与ABC的三边所在直线都相切,HGFE,为切点,并且 FHEG,的延长线交于点P求证:直线PA与BC垂直 例 8在圆中,两条弦CDAB,相交于E点,M为弦AB上严格在E、B之间的点过 MED,的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于GF,已知t AB AM ,求 E

4、F CE (用t表 示) 例 9 设点D和E是ABC的边BC上的两点, 使得CAEBAD 又设M和N 分别是ABD、ACE的内切圆与BC的切点求证: NENCMDMB 1111 例 10设ABC满足90A,CB,过A作ABC外接圆W的切线,交 直线BC于D,设A关于直线BC的对称点为E,由A到BE所作垂线的垂足为X,AX 的中点为Y,BY交W于Z点,证明直线BD为ADZ外接圆的切线 例 11 两个圆 1 和 2 被包含在圆内, 且分别现圆相切于两个不同的点M和N 1 经过 2 的圆心 经过 1 和 2 的两个交点的直线与相交于点A和B, 直线MA和直线MB 分别与 1 相交于点C和D求证:CD

5、与 2 相切 例 12已知两个半径不相等的 1 O和 2 O相交于M、N两点,且 1 O、 2 O分别 与O内切于S、T两点求证:MNOM 的充要条件是S、N、T三点共线 例 13在凸四边形ABCD中,AB与CD不平行, 1 O过A、B且与边CD相切于 点P, 2 O过C、D且与边AB相切于点Q 1 O和 2 O相交于E、F,求证:EF平 分线段PQ的充要条件是BCAD 例 14设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,且两对边AB与CD不 平行 点P为线段AB与CD的垂直平分线的交点, 且在四边形的内部 求证:A、B、C、 D四点共圆的充要条件为 PCDPAB SS 训练题 1AB

6、C内接于O,90BAC,过B、C两点O的切线交于P,M为BC 的中点,求证: (1)BAC AP AM cos; (2)PACBAM 2已知CBA,分别是ABC外接圆上不包含CBA,的弧 ABCABC,,的中点, BC分别和A C 、BA相交于M、N两点,CA分别和BA、CB相交于P、Q两点, AB分别和CB、A C 相交于R、S两点求证:RSPQMN的充要条件是ABC 为等边三角形 3以ABC的边BC为直径作半圆,与AB、CA分别 交于点D和E,过D、E作 BC的垂线,垂足分别为F、G线段DG、EF交于点M求证:BCAM 4在ABC中,已知B内的旁切圆与CA相切于D,C内的旁切圆与AB相切

7、于E,过DE和BC的中点M和N作一直线,求证:直线MN平分ABC的周长,且与 A的平分线平行 5在ABC中,已知,过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F在BC边 上取点P使得BCBP 3求证:BBFP 2 1 6 半 圆 圆 心 为O, 直 径 为AB, 一 直 线 交 半 圆 于DC,, 交AB于M (MDMCMAMB,) 设K是AOC与DOB的外接圆除点O外之另一交点求 证:MKO为直角 7 已 知 ,AD是 锐 角ABC的 角 平 分 线,BAC,ADC, 且 2 coscos 求证:DCBDAD 2 8M为ABC的边AB上任一点,rrr, 21 分别为AMC、BMC、ABC的 内

8、切圆半径;, 21 分别为这三个三角形的旁切圆半径(在ACB内部) 求证: rrr 2 2 1 1 9设D是ABC的边BC上的一个内点,AD交ABC外接圆于X,P、Q是X 分别到AB和AC的垂足,O是直径为XD的圆证明:PQ与O相切当且仅当 ACAB 10若AB是圆的弦,M是AB的中点,过M任意作弦CD和EF,连DECD,分别 交AB于YX,,则MYMX 11设H为ABC的垂心,P为该三角形外接圆上的一点,E是高BH的垂足,并 设PAQB与PARC都是平行四边形,AQ与BR交于X证明:EXAP 12在ABC中,C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于D和K,I是内切 圆圆心证明: (1) CIIKID 111 ; (2)1 IK ID ID CI