1、竞赛讲座竞赛讲座 1212 覆盖覆盖 一个半径为 1 的单位圆显然是可以盖住一个半径为的圆的反过来则不然，一个 半径为的圆无法盖住单位圆那么两个半径为的圆能否盖住呢？不妨动手实验 一下，不行为什么不行？需几个这样的小圆方能盖住大圆？，这里我们讨论 的就是覆盖问题，它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题 定义 设和是两个平面图形 如果图形或由图形经过有限次的平移、 旋转、 对称等变换扣得到的大小形状不变的图形上的每一点都在图形上我们就说 图形覆盖图形；反之，如果图形或上至少存在一点不在上，我们就说 图形不能覆盖图形 关于图形覆盖，下述性质是十分明显的： （） 图形覆盖自身； （） 图形覆盖图形
2、，图形覆盖图形，则图形覆盖图形 最简单情形用一个圆覆盖一个图形 首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到： 定理 如果能在图形所在平面上找到一点， 使得图形中的每一点与的距 离都不大于定长，则可被一半径为的圆所覆盖 定理 对于二定点、及定角 若图形中的每点都在同侧，且对、 视角不小于 ，则图形被以为弦，对视角等于 的弓形所覆盖 在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛 例 求证：（）周长为的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖 （）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是，不管线圈形状如何，都可 以被个半径为的圆纸片所覆盖 分析 （）关键在于圆心位置，考虑到平行四边形是中心对称图形，
3、可让覆盖圆 圆心与平行四边形对角线交点叠合 （）曲化直对比（），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆 圆心 证明 （）如图，设的周长为，、 交于，为周界上任意一点，不妨设在上，则 ， 有 又， 故 因此周长为的平行四边形可被以为圆心；半径为的圆所覆盖，命 题得证 （2）如图 45-2,在线圈上分别取点 R，Q，使 R、Q 将线圈分成等长两段，每段各长 l.又设 RQ 中点为 G，M 为线圈耻任意一点，连 MR、MQ，则 因此，以 G 为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈 例ABC 的最大边长是，则这个三角形可被一半径为的圆所覆盖 分析 为最大边，所对角 A 满足A 证明 不妨设 BC，
4、以 BC 为弦，在 A 点所在一侧作含 60角的弓形弧（图 ）因A180，故根据定理，ABC 可被该弓形所覆盖 由正弦定理，弓形相应半径，所以ABC 可被半径为的圆 所覆 盖 显然覆盖ABC 的圆有无穷多个，那么半径为的圆是否是最小的覆盖圆呢？事 实并不 尽然 例 的最大边 BC 等于，试求出覆盖ABC 的最小圆 解 分三种情形进行讨论： （） 为钝角，以为直径作圆即可覆盖BC （） 是直角，同样以为直径作圆即可覆盖ABC； （）是锐角假若O 覆盖ABC，我们可在O 内平移ABC，使一个顶点 B 落到圆周上，再经过适当旋转，使另一个顶点落在圆周上，此时第三个顶点 A 在O 内或其圆周上，设 B
5、C 所对圆周角为 ，那么BAC，设O 直径，ABC 外 接圆直径，那么 所以对于锐角三角形 ABC，最小覆盖圆是它的外接圆 今后我们称覆盖图形 F 的圆中最小的一个为 F 的最小覆盖圆最小覆盖圆的半径叫 做图形 F 的覆盖半径 综合例、例，即知ABC 中，若为最大边，则ABC 的覆盖半径满足 一个图形能否被覆盖，与图形中任意两点间的距离最大值密切相关 以下我们称图形中任意两点间的距离最大值为图形的直径 我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题 定义 对于图形，若图形中的每一点都被这组图形中的某个 所覆盖，则称这几个图形覆盖图形 图形，为个圆是一特殊情形 例 以的边为直径向平行四边形内作四个半圆， 证
6、明这四个半圆一定覆 盖整个平行四边形 分析 的每一点至少被某个半圆所盖住 证明 用反证法如图设存在一点在以、为直径 的圆外，根据定理二，均小于，从 而 与四角和应为周角相矛盾故应被其中一半圆盖住，即所作四个半圆覆盖 分析 划片包干，如图，将分为若干部分，使每一部分分别都被 上述四个半圆所覆盖 证明 在中， 如图， 设 分别过、 引垂线、 垂直，交于、，将分成四个直角三角形，、 、每一个直角三角形恰好被一半圆所覆盖，从而整个 四边形被四个半圆所覆盖 上述结论可推广到任意四边形，留给读者考虑 例 求证：一个直径为的圆不能被两个直径小于的圆所覆盖 证明 如图，先考虑其中一个小圆即去覆盖大圆，连、过
7、作，为的直径（若、重合，那么为任意直径）此时 故、两点都不能被盖住至于另一小圆无疑不能同时盖住、两 点，故、不能覆盖 事实上，我们还可以从另一角度给予证明那就是一个小圆无法覆盖半个大圆，因 此两个小圆也就不可能覆盖住整个大圆了 现在，我们着手研究本文一开始就提出的问题 例 给定一个半径为的圆， 若用半径为的圆去覆盖它， 问至少要几个才能盖 住 问题需要我们在二个方面给予回答：一是所确定数目的小圆足以覆盖大圆；二是少 于确定的数目，则全部小圆不能覆盖大圆 对于不能覆盖的推断，以下两个原则是常用的： 原则 若图形的面积大于图形的面积，则图形不能覆盖图形 原则 直径为的图形不能被直径小于的图形所覆盖
8、 两原则十分显然，不再证明 四个半径为的小圆面积和为 ，恰等于大圆面积，而四小圆间若不重迭，则覆盖 其它图形时，还须排除中间所夹的不属于四圆的部分，换句话说，四小圆所覆盖大 圆部分面积必小于大圆自身面积，根据法则，不可能覆盖大圆，少于四个小圆更 不可能 若有五个小圆，我们改变角度考虑，可将大圆周分为六等分因小圆直径为，五 个小圆无法盖住大圆周，而六个圆周恰好盖住 还需考虑大圆圆心没有被盖住，再添加一个小圆，符合要求！ 这说明： 至少七个以为半径的小圆方能覆覆盖半径为 1 的一个大圆.事实上这样的 六个小圆若盖住大圆周，则大圆心不能被覆盖若其中一小圆盖住大圆圆心，那么 该圆又至多盖住大圆周上一点
9、也就是六个小圆无法覆盖大圆，而我们作大圆的内接 正六边形，分别将小圆圆心与各边中点重合，再将第七个小圆圆心与大圆圆心重合 即可盖住大圆，如图，以下给出证明： 对于正， 设、 中点、 ， 那么， 故四边形被以为直径的圆覆盖另外，被小圆所覆 盖类似地可推得七个小圆覆盖整个大圆 直线形图形覆盖别的图形的问题 解决直线形图形覆盖别的图形的问题，常须较高的智巧，一般的处理方法是通过构 造过渡图形，逐步调整，最终获得问题的解决 例 证明直径为的图形可被单位正方形覆盖 分析 先后用互相垂直的两对平行线将图形夹在中间，再向内收缩 证明 取位于水平方向和铅直方向的两对平行直线将图形夹在中间， 再将位于下 方的直
10、线向上平移，直至遇到图形上点为止，中图中处接着 又将向下平移至与相距为的处止 因图形直径为 故图形仍 被二直线，所夹同样采用先左后右的顺序，将沿直线、平移至 、处，、相距为，而图形依然夹在直线，中 间，从而直线、所围成单位正方形即可覆盖图形 运用上述方法，我们可进一步解决以下问题： 例 直径为的图形可被一个边长为的正三角形覆盖，试证明之 证明 作三对相距为的平行直线、，、，相交直线所 成角为，围成可覆盖图形的六边形及正，正（具 体作法可参照例）如图设为中任意一点，它到六边形各边距离 依次为、又设正的高为，正2 的高为因正三角形内一点到三边距离和等于正三角形的高，得 ， 相加,得 （）（）（），
11、 又， 根据抽屉原则,、中有一不大于,不妨设,即正ABC的高不大于 ,那么它的边长 因此图形可被边长不大于的正三角形即正1所覆盖. 4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式 所谓图形能嵌入图形,其本质就是图形能覆盖图形 F. 例 9 试证面积为 S、周长为 P 的四边形一定可嵌入一个半径为的圆. 分析 四边形内存在到各边距离不小于的点. 证明 如图 45-10,设四边形 ABCD 面积为,周长为.各边长分别为1、 、 、 .现以、为长,为宽,向四边形内侧作矩形,则这些矩形总面 积是 即四个矩形面积总和等于四边形面积.由于这四个矩形有重迭部分,所以四边形内部 存在点 O 没有被矩形覆盖,那么以
12、点 O 为圆心,为半径的圆可嵌入四边形 ABCD 中. 例 10 在一个半径等于 18 的圆中已嵌入 16 个半径为 3 的圆.证明在余下的部分中还 能嵌入 9 个半径为 1 的圆. 证明 首先证明大圆中还能嵌入 1 个半径为 1 的小圆.先将大圆的半径收缩为 17, 而将半径为 3 的圆膨胀成半径为 4 的圆,此时大圆面积变为 17 2289. 16 个半径为 4 的圆的面积是 4 216=256. 289-256=33. 这说明大圆中嵌入 16 个半径为 3 的圆外,还能嵌入半径为 1 的一个小圆,如图 45-11 所示. 再将大圆的半径收缩为 17,半径为 3 的圆的半径膨胀为 4,半径为 1 的圆膨胀为 2,由 于 289-256-4=29,所以大圆中除嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入两个半径 为 1 的圆.依此类推,由于 289-256-48=0, 故大圆还可嵌入九个半径为 1 的小圆. 将图形收缩、膨胀是解嵌入问题一种重要方法.