1、竞赛讲座 16 不等式 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的 技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、 函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特 别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异， 灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技 巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 一、不等式证明的基本方法一、不等式证明的基本方法 1 1比较法比较法 比较法可分为差值比较法和商值比较法。 （1
2、1）差值比较法）差值比较法 原理原理 A B0AB 【例 1】（l）m、n 是奇偶性相同的自然数，求证： （a mbm）（anbn）2（am+n+bm+n）。 （2）证明：。 【例 2】设 a1a2an，b1b2bn，j1,j2,jn是 1,2,n 的任意一个排 列，令 S=a1+ a2+ an，S0=a1bn+a2bn-1+anb1，S1=a1b1+a2b2+anbn。 求证：S0SS1。 （2 2）商值比较法）商值比较法 原理原理 若1，且 B0，则 AB。 【例 3】已知 a,b,c0，求证：a 2ab2bc2cab+cbc+aca+b。 2 2分析法分析法 【例 4】若 x,y0，求证
3、：。 【例 5】若 a,b,c 是ABC 的三边长，求证：a 4+b4+c40，求证：abc(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。 【例 7】已知ABC 的外接圆半径 R=1，SABC=，a,b,c 是ABC 的三边长，令 S=，t=。 求证：tS。 4 4反证法反证法 【例 8】已知 a 3+b3=2，求证：a+b2。 5 5数学归纳法数学归纳法 【例 9】证明对任意自然数 n，。 二、不等式证明的若干技巧二、不等式证明的若干技巧 无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往 往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、 拆、分
4、解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突 破口。 1 1 变形技巧变形技巧 【例 1】若 nN，S=+， 求证：nSn+1。 【例 2】（1）若 A、B、C0，求证： sinA+sinB+sinC3sin。 （2）ABC 的三内角平分线分别交其外接圆于 A,B,C，求证：SABCSABC。 2 2 引入参变量引入参变量 【例 3】将一块尺寸为 4870 的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体 铁盒，求铁盒的最大容积。 【例 4】在ABC 中，求证：a 2+b2+c24 +(b-c) 2+(c-a)2+(a-b)2。 其中，a,b,c 是ABC 的三边长，= SABC。 3 3 数形结合、构造数形结合、构造 【例 5】证明：。 4 4 递推递推 【例 6】 已知： x1=， x2=， ， xn=。 求证：。 三、放缩法三、放缩法 【例 1】若 nN，n2，求证：。 【例 2】、 都是锐角，求证：9。 【例 3】已知：a11，a1 a21，a1 a2an1，求证： 。 【例 4】S=1+，求 S 的整数部分S。 【例 5】设 a0=5，an=an-1+，n=1,2, 。求证：45a100045.1。