1、竞赛讲座竞赛讲座 17 -数学归纳法数学归纳法 基础知识基础知识 数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法 在 数学竞赛中占有很重要的地位 1数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 当 0 nn （Nn 0 ）时，)(nP成立； 假设),( 0 Nknkkn成立，由此推得1 kn时，)(nP也成立，那么，根据 对一切正整数 0 nn 时，)(nP成立 （2）第二数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 当 0 nn （Nn 0 ）时，)(nP成立； 假设),( 0 Nknkkn成立，由此推得1 kn时，)
2、(nP也成立，那么，根据 对一切正整数 0 nn 时，)(nP成立 2数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 当ln, 3 , 2 , 1时，)(,),3(),2(),1 (lPPPP成立， 假设kn 时)(kP成立，由此推得lkn时，)(nP也成立，那么，根据对一 切正整数1n时，)(nP成立 （2）反向数学归纳法 设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果 )(nP对无限多个正整数n成立； 假设kn 时，命题)(kP成立，则当1 kn时命题) 1( kP也成立，那么根据 对一切正整数1n时，)(nP成立 3应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数n
3、都成立，但命题本身对 0n也成立，而且验证起来比验证1n时容易，因此用验证0n成立代替验证1n， 同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步， 有意前移起点 （2）起点增多：有些命题在由kn 向1 kn跨进时，需要经其他特殊情形作为基 础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点 （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也 应相应增多 （4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设kn 时命题成立”不可， 需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用 （5）变换命题：有些命题
4、在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或 者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明 5归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的， 这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其 正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、 解决问题极好的方法 例题分析例题分析 例 1用数学归纳法证明： 3 13) 23 1 1 () 7 1 1)( 4 1 1)(11 ( n n （1, * nNn） 例 2 已知对任意 * Nn，1n，0 n a
5、且 2 21 33 2 3 1 )( nn aaaaaa， 求证：nan 例 3如果正整数n不是 6 的倍数，则11986 n 不是 7 的倍数 例 4设 n aaa, 21 都是正数，证明 n n n aaa n aaa 21 21 例 5已知函数)(xf的定义域为,ba，对于区间,ba内的任意两数dc,均有 )()( 2 1 ) 2 (dfcf dc f 求证：对于任意, 21 baxxx n ，均有 )()()( 1 )( 21 21 n n xfxfxf nn xxx f 例 6 试证：对一切大于等于 1 的自然数n都有 2 sin2 2 12 sin cos2coscos 2 1 n
6、 n 例 7 试证：对一切自然数n（1n）都有 2 22n n 例 8证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形 例 9设10 a，aa1 1 ，a a a n n 1 1 ，求证：对一切Nn均有1 n a 例 10已知1 21 aa， n n n n a a a 12 1 2 ) 1( ，求证：对一切Nn， n a都是整数 例 11设 n nf 1 3 1 2 1 1)(，是否存在关于正整数n的函数)(ng使等式 1)()() 1()2() 1 (nfngnfff对于2n的一切自然数都成立？并证明你 的结论 例12 设 整 数 数 列 n a满 足1 1 a，12 2 a，20
7、3 a， 且 nnnn aaaa 123 22证明：任意正整数n， 1 41 nna a是一个整数的平方 例13设 n xxx, 21 为正数（2n） ，证明： 1 21 2 2 1 2 1 2 1 43 2 2 2 2 32 2 1 2 1 n xxx x xxx x xxx x xxx x n n nn n 例 14已知1 1 a， 2 1 1 n nn a aa （1, * nNn） ，求证：30 9000 a 例 15 整数列 n a（1, * nNn） 满足7, 2 21 aa， 且有2 2 1 1 2 1 n n n a a a 求 证：2n时， n a是奇数 训练题训练题 1证明
8、Nn时， 1532 22221 n 能被 31 整除 2设n不小于 6 的自然数，证明：可以将一个正三角形分成n个较小的正三角形 3用数学归纳法证明：2 2 1 4 1 2 1 1 1 n 4设n为自然数，求证：2 1 3 1 2 1 1 222 n 5对于自然数n（3n） ，求证： nn nn) 1( 1 6已知1 21 aa， n n n n a a a 12 1 2 ) 1( ，求证：对于一切 * Nn， n a是整数 7设有 n 2个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若甲 戴盆望天的球数p不小于乙堆的球数q， 则从甲堆拿q个球放堆乙堆， 这样算是挪动一次 证 明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆 8已知数列 n a满足：3 1 a，8 2 a，202453)(4 2 21 nnaaa nnn （3n） ，试证： n n na2 2