1、竞赛讲座竞赛讲座 21 应用题选讲应用题选讲 应用题联系实际，生动地反映了现实世界的数量关系，能否从具体问题中归纳出 数量关系，反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力. 列方程解应用题，一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤. 下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题，从中体现解应用题的技能和技巧. 1.合理选择未知元 例 1 （1983 年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米 的速度下坡后，以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地，共用 55 分钟.回来时，他以 每小时8千米的速度通过平路后， 以每小时4千米的速度上坡， 从B地到A地共用 小时，
2、求 A、B 两地相距多少千米？ 解法 1 （选间接元）设坡路长 x 千米，则下坡需 依题意列方程： 解之，得 x=3. 答：A、B 两地相距 9 千米. 解法 2（选直接元辅以间接元）设坡路长为 x 千米，A、B 两地相距 y 千米，则有如 下方程组 解法 3（选间接元）设下坡需 x 小时，上坡需 y 小时，依题意列方程组： 例 2 （1972 年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊 8%，而售价保持不变， 那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 x%增加到(x+10)%，x 等于多少？ 解 本题若用直接元 x 列方程十分不易，可引入辅助元进货价 M，则 0.92M 是打折 扣的价格，x 是
3、利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式，可得： M（1+0.01x）=0.92M1+0.01（x+10）. 约去 M，得 1+0.01x=0.921+01.1（x+10）. 解之，得 x=15. 例 3 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？ 分析 选直接元，设两针在 3 点 x 分钟时重合，则这时分针旋转了 x 分格，时针旋 转了（x-15）分析，因为分针旋转的速度是每分钟 1 分格，旋转 x 分格需要分钟， 时针旋转的速度是每分钟分格，旋转（x-15）分格要 例 4（1985 年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为 m 千克和 n 千克，且含铜百分 数不同的合金上
4、，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加 在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？ 解 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为 x 千克，并设 m 千克的铜合金中含 铜百分数为 q1，n 千克的铜合金中含铜百分数为 q2，则切下的两块中分别含铜 xq1 千克和 xq2千克，混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜xq1+(n-x)q2千克和 xq2+(m-x)q1千克，依题意，有： 2.多元方程和多元方程组 例 5 （1986 年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C 三人各有豆若干粒，要求互相赠送， 先由 A 给 B、C，所给的豆数等于 B、C 原来各有的豆数，依同
5、法再由 B 给 A、C 现有 豆数，后由 C 给 A、B 现有豆数，互送后每人恰好各有 64 粒，问原来三人各有豆多 少粒？ 解 设 A、B、C 三人原来各有 x、y、z 粒豆，可列出下表： 则有： 解得：x=104，y=56，z=32. 答：原来 A 有豆 104 粒，B 有 56 粒，C 有 32 粒. 例 6（1985 年宁波市初中数学竞赛题）某工厂有九个车间，每个车间原有一样多的 成品，每个车间每天能生产一样多的成品，而每个检验员检验的速度也一样快，A 组 8 个检验员在两天之间将两个车间的所有成品（所有成品指原有的和后来生产的 成品）检验完毕后，再去检验另两个车间的所有成品，又用了三
6、天检验完毕，在此 五天内，B 组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品，问 B 组有几个检验 员？ 解 设每个车间原有成品 x 个，每天每个车间能生产 y 个成品；则一个车间生产两 天的所有成品为（x+2y）个，一个车间生产 5 天的所有成品为(x+5y)个，由于 A 组 的 8 个检验员每天的检验速度相等，可得 解得：x=4y 一个检验员一天的检验速度为： 又因为 B 组所检验的是 5 个车间，这 5 个车间生产 5 天的所有成品为 5(x+5y)个， 而这 5(x+5y)个成立要 B 组的人检验 5 天，所以 B 组的人一天能检验(x+5y)个. 因为所有检验员的检验速度都相等，所以，
7、(x+5y)个成品所需的检验员为： （人）. 答：B 组有 12 个检验员. 3.关于不等式及不定方程的整数解 例 7（1985 年武汉市初一数学竞赛题）把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴 子分 3 颗，就剩下 8 颗；如果每只猴子分 5 颗，那么最后一只猴子得不到 5 颗，求 猴子的只数和花生的颗数. 解：设有 x 只猴子和 y 颗花生，则： y-3x=8, 5x-y5， 由得：y=8+3x, 代入得 5x-(8+3x)5, x6.5 因为 y 与 x 都是正整数，所以 x 可能为 6，5，4，3，2，1，相应地求出 y 的值为 26， 23，20，17，14，11. 经检验知，只有 x
8、=5，y=23 和 x=6，y=26 这两组解符合题意. 答：有五只猴子，23 颗花生，或者有六只猴子，26 颗花生. 例 8（1986 年上海初中数学竞赛题）在一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶 环数的积都是 36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中 箭的环数是不超过 10 的自然数），则小王的三次射箭的环数从小到大排列是多少？ 解 设小王和小张三次中靶的环数分别是 x、y、z 和 a、b、c,不妨设 xyz， abc，由题意，有： 因为环数为不超过 10 的自然数，首先有 z10，否则与式矛盾. 若设 z=9,则由知：xy=4, x=2,y=2,或 x=1,y=4
9、, x+y+z=13 或 x+y+z=14. 又由及 cz 知，c|36，c=6，这时，ab=6. a=2，b=3，或 a=1，b=6 a+b+c=11 或 a+b+c=13 又由知：x+y+z=a+b+c=13 取 x=2，y=2，z=9. 答：小王的环数分别为 2 环，2 环，9 环. 例 9（1980 年苏联全俄第 6 届中学生物理数学竞赛题）一队旅客乘坐汽车，要求每 辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了 22 人，结果剩下一人未上车；如果有 一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上，已知每辆汽车最 多只能容纳 32 人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？ 解 设起初
10、有汽车 k 辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘的旅客为 n 名，显然， k2，n32，由题意，知：22k+1=n(k-1)， k-1=1，或 k-1=23, 即 k=2，或 k=24. 当 k=2 时，n=45 不合题意， 当 k=24 时,n=23 合题意， 这时旅客人数为 n(k-1)=529. 答：起初有 24 辆汽车，有 529 名旅客 4.应用题中的推理问题 竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现， 而是一种逻辑推理型.解答这类题 目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确 的逻辑思维. 例 10（1986 年加拿大数学竞赛题）有一种体育竞赛共含 M
11、 个项目，有运动员 A、B、 C 参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得 p1、p2、p3分，其中 p1、p2、p3为正 整数且 p1p2p3，最后 A 得 22 分，B 与 C 均得 9 分，B 在百米赛中取得第一，求 M 的值，并问在跳高中谁取得第二名？ 分析 考虑三个得的总分，有方程： M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, 又 p1+p2+p31+2+3=6， 6MM(p1+p2+p3)=40，从而 M6. 由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而 M2， 又 M|40，所以 M 可取 2、4、5. 考虑 M=2， 则只有跳高和百米， 而 B 百米第一， 但总分仅 9 分， 故必
12、有： 9p1+p3,8， 这样 A 不可能得 22 分. 若 M=4，由 B 可知：9p1+3p3，又 p31，所以 p16,若 p15，那么四项最多得 20 分，A 就不可能得 22 分，故 p1=6. 4（p1+p2+p3）=40,p2+p3=4. 故有：p2=3,p3=1,A 最多得三个第一，一个第二，一共得分 36+3=2122，矛盾. 若 M=5，这时由 5(p1+p2+p3)=40，得： p1+p2+p3=8.若 p32，则： p1+p2+p34+3+2=9，矛盾，故 p3=1. 又 p1必须大于或等于 5,否则,A 五次最高只能得 20 分,与题设矛盾,所以 p15. 若 p16
13、，则 p2+p32，这也与题设矛盾，p1=5，p2+p3=3，即 p2=2，p3=1. A=22=45+2. 故 A 得了四个第一，一个第二； B=9=5+41， 故 B 得了一个第一，四个第三； C=9=42+1， 故 C 得了四个第二，一个第三. 练 习五 1.选择题 （1）打开 A、B、C 每一个阀门，水就以各自不变的速度注入水槽.当所有三个阀门 都打开时，注满水槽需 1 小时；只打开 A、C 两个阀门，需要 1.5 小时；如果只打开 B、C 两个阀门，需要 2 小时，若只打开 A、B 两个阀门时，注满水槽所需的小时数 是（ ）. （A）1.1 （B）1.1 （C）1.2 （D）1.25
14、 (E)1.75 （2）两个孩子在圆形跑道上从同一点 A 出发，按相反方向运动，他们的速度是每秒 5 英尺和每秒 9 英尺，如果他们同时出发并当他们在 A 点第一次再相遇的时候结束， 那么他们从出发到结束之间相遇的次数是（ ）. （A）13 （B）25 （C）44 （D）无穷多 （E） 这些都不是 （3）某超级市场有 128 箱苹果，每箱至少 120 只，至多 144 只，装苹果只数相同的 箱子称为一组，问其中最大一组的箱子的个数 n，最小是（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）24 （E）25 （4）两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是 p:1，而 在另一个瓶子
15、中是 q:1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之 比是（ ）. （5）汽车 A 和 B 行驶同样的距离，汽车 A 以每小时 u 千米行驶距离的一半并以每小 时 千米行驶另一半，汽车 B 以每小时 u 千米行驶所行时间的一半并以每小时 千米行驶另一半，汽车 A 的平均速度是每小时 x 千米，汽车 B 的平均速度是每小时 y 千米，那么我们总有（ ） （A）xy (B)xy (C)xy (D)x y (E)xy 2.填空题 （1）已知闹钟每小时慢 4 分钟，且在 3 点半时对准，现在正确时间是 12 点，则过 正确时间_分钟，闹钟才指到 12 点上. （2）若 b 个人 c 天砌
16、f 块砖，则 c 个人用相同的速度砌 b 块砖需要的天数是_. （3）某人上下班可乘火车或汽车，若他早晨上班乘火车则下午回家乘汽车；又假若 他下午回家乘火车则早晨上班乘汽车，在 x 天中这个人乘火车 9 次，早晨乘汽车 8 次，下午乘汽车 15 次，则 x=_. （4）一个年龄在 13 至 19 岁之间的孩子把他自己的年龄写在他父亲年龄的后面，从 这个新的四位数中减去他们年龄差的绝对值得到 4289，他们年龄的和为_. （5）一个城镇的人口增加了 1200 人，然后这新的人口又减少了 11%，现在镇上的 人数比增加 1200 人以前还少 32 人，则原有人口为_人. 3.（1982-1983
17、年福建省初中数学竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字小于 其余各位数字，而第二位数字大于其余各位数字，第三位数字等于首末两位数字之 和的二倍，求此四位数. 4.（第 2 届祖冲之杯）甲乙两人合养了几头羊，而每头羊的卖价又恰为 n 元， 两人分钱方法如下：先由甲拿 10 元，再由乙拿 10 元，如此轮流，拿到最后，剩下 不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该分给乙多少钱？ 5.（1986 年湖北省荆州地区初中数学竞赛题）完成同一工作，A 独做所需时间为 B 与 C 共同工作所需时间的 m 倍，B 独做所需时间为 A 与 C 共同工作所需时间的 n 倍， C 独做所需时间为 A 与 B 共同
18、工作所需时间的 x 倍，用 m，n 表示出 x 来. 6.（1988 年江苏省初中数学竞赛题）今有一个三位数，其各位数字不尽相同，如将 此三位数的各位数字重新排列，必可得一个最大数和一个最小数（例如，427，经重 新排列得最大数 742，最小数 247），如果所得最大数与最小数之差就是原来的那个 三位数，试求这个三位数. 7.（1978 年四川省数学竞赛题）某煤矿某一年产煤总量中，除每年以一定数量的煤 作为民用、出口等非工业用途外，其余留作工业用煤，按照该年度某一工业城市的 工业用煤总量为标准计算，可供这样的三个工业城市用六年，四个这样的城市用五 年（当然每年都要除去非工业用煤的那一个定量），问如果只供一个城市的工业用 煤，可以用多少年？ 练习五 岁 设从首位起，各位数字顺次为，则， 且，又（）且，故（） 为奇数，这时（）， 略 设、单独完成同一工作所需时间分别为、，则单位时间他们 可分别完成全部工作的、，依题意 有： 由上面三式，可得： 设三位数为，重排后最大数为则最小数为于 是有由于，由上式有，（） ，（）可求得， 设该煤矿该年度产煤总量为，每年非工业用煤量为，该工业城市该年工业 用煤量为，并设只供这样一个城市工业用煤可用年，由题意得方程组： 由与得 从、三式中消去、，得