1、竞赛讲座 30 分类与讨论分类与讨论 1. 分类讨论的规则 解题总是在一定的范围(论域)进行的.解题中有时要将题目条件包含的全体对象分成若干类, 然后逐类讨论,才能得出正确的解答.因此,分类讨论是数学解题中的一个重要内容. (1) 分类的规则 分类时首先要明确分类的对象和分类的标准.有时还要对第一次 分出的各类进行再分类,这就是第二级分类,类似地有第三级分类、第四级分类、，这种 进行多次分类的现象叫做连续分类.合理的分类不但是正确解题的基础，而且是简捷解题的 出发点. 分类的原则是： 不重不漏， 即每一个题设包含的对象都必须在而且只在所分的一类中.为此， 分类时必须做到： 一次分类只按一个标准
2、进行； 连续分类按层次逐级进行. （2）枚举和讨论 解决需要讨论的问题的方法是枚举，枚举的基础是正确分类. 例 1 求出所有的自然数 n，使三个整数 n，n+8，n+16 都为质数. 解 现将所有自然数 n 按模为 3 的剩余类分成三类： n=3k，3k+1，3k+2. 当 n=3k 时，只有 k=1 时，三个整数（3，11，19）都是质数； 当 n=3k+1 时，n+8=3k+1+8=3（k+3）不是质数； 当 n=3k+2 时，n+16=3k+2+16=3（k+6）不是质数. 所以满足题设的自然数只有一个 3. 2分类讨论举例 下面我们用分类讨论的思想方法来解决一些国内外数学竞赛问题. 例
3、 2 （第 4 届加拿大中学生竞赛题）设 a 和 n 是相异的实数，证明存 在整数 m 和 n 使得 am+bn0，bm+an0. 证明 既然 a，b 为相异实数，那么必有 a-b0 或 a-b0. 当 a-b0 时，就取 m=1，n=-1，验证和满足所给不等式； 当 a-b0 时，就取 m=-1，n=1，显然也满足所给不等式. 例 3 （1956 年上海市竞赛题）从 1 到 100 这一百个自然数中，每次取 2 个，要它们的和大于 100，有多少种取法？ 解 因为每次所取的两数不等，所以可以按较大（或较小）的数的取值来分类考虑： 较大的数取 100 时，另一数有 99 种取法； 较大的数取
4、99 时，另一数有 97 种取法； 较大的数取 51 时，另一数有一种取法；而 50 以下的任何两数都不能组成符合条件的数对， 故共有 1+3+5+97+99=2500 种取法. 按照某个确定的自然数为模的剩余类分类是数学竞赛中经常出现的问题之一. 例 4 求证：从任意 n 个整数 a1，a2，an中，一定可以找到若干个数， 使它们的和可被 n 整除. 证明 考察如下的 n 个和，a1，a1+a2，a1+a2+a3，a1+a2+an. 若其中至少有一个能被 n 的整除，则结论成立； 若其中没有一个能被 n 整除；则将他们按模 n 的剩余类至多可分为余数为 1，余数为 2， 余数为n-1的n-1
5、个类.因此,这几个整数中至少有两个整数a1+a2+ak和a1+a2+a3+ak+al （lk）对模 n 有相同的余数. 这时和数 ak+1+al=（a1+a2+ak+a1）-（a1+a2+ak）显然可被 n 整除，即结论成立. 说明：本例通过分类制造“抽屉”，体现了分类思想有“抽屉原则”的完美结合. 在给定的几何条件下，由于图形的形状或位置不同含有不同的结果或需用不同的方法处理， 这就引出了几何中的分类讨论问题. 例 5 （1989 年武汉、 广州等五市初中数学联赛题） ABC 中， C=， BM 是中线， AC=2a， 若沿 BM 将三角形对折起来，那个两个小三角形 ABM 和 BCM 重叠
6、部分的面积恰好等于ABC 面积的四分之一.试求ABC 的面积. 解若原三角形中，ABMCBM，则对折后如图 28-1，其中是对折后 C 点所落位置， BMD 是重叠部分.依题意得 即 D 为 AM 的中点. 又 D 是 BC 的中点. 由ADB=MD知， ABDMD， AB=M=CM=.而ACB=， ABC=. 由 AC=2a，可得 AB=a，BC= （2）若原三角形中ABMCBM，对折后如图 28-2.如上证明，可得 D 为 AB，M的中点. 于是 BC=B=a. 过 B 作ABC 的高 BE.ACB=， （3）显然，ABM=CBM 不合题意. 列 6 设一条曲线的两端在单位正方形的周界上；
7、并且这条曲线将正方形分成面积相等的两 部分.证明这条曲线的长度不小于 1. 证明 （如图 28-3）设曲线 PQ 分正方形 ABCD 为面积相等的两部分 S1，S2.又 M、N、E、F 分别为正方形的边的中点.因的面积， 故曲 线 PQ 与线段 MN、EF、AC、BD 必各至少有一个公共点.现按 P、Q 的位置来分类讨论. 不失一般性，不妨设 P 在 AB 上，这时， Q 在对边 CD 上（图 28-4）.如上所述,曲线 PQ 与 MN 至少有一公共点(设为 R), 则 PQ=PR+RQPR+RQMR+RN=MN=1，此时结论正确. Q 在 AB 上（图 28-5）.设曲线 PQ 与线段 EF
8、 的一个公共点为 R.以 EF 为对称轴 作出 PR 的对称图形，则曲线 PQ 与曲线等长.由知1，故 PQ1，此时结 论也正确. Q 在邻边 BC 或 AD 之一上（图 28-6）.令曲线 PQ 与 AC 的一个公共点为 R，以 AC 为对称轴作出 RQ 的对称图形，则曲线 PQ 与等长.由知，此时结论亦成立. 综上述，对符合条件的任意位置的 P、Q 均有所述结论. 练习二十八 1 选择题 （1）如果 a、b 为不超过 10 的自然数，那么能使方程 ax=b 的解大于而小于的 a、b 有 （ ）. （A） 五组 （B）四组 （C）三组 （D）两组 （2）（1984 年重庆初中竞赛题）如果 、
9、 是三角形三内角，x=+，y=+， z=+，那么 x，y，z 中锐角个数的错误判断应是（ ）. （A） 可能没有锐角 （B）可能有一个锐角 （C）可能有两个锐角 （D）最多有一个锐角 （3）（1978 年重庆竞赛题）a、b、c 是三角形三边，由 a-bc 可导出（ ）. （A）c 2（B）a2-b2c2（C）a2-b2=c2（D）以上结论都不对 2（1989 年吉林初中预选赛试题）已知 n（n2）个相异自然数的和与积相等，求此 n 的 值及 n 个自然数. 3（第 4 届加拿大中学生竞赛试题）证明方程 x 3+113=y3没有 x 和 y 的正整数解. 4（1983 年上海初中竞赛题）已知AB
10、C 中B 为锐角.从顶点 A 向边 BC 或它的延长线引 垂线，交 BC 于 H，又从顶点 C 向边 AB 或它的延长线引垂线交 AB 于 K 点.试问当 2BH：BC、 2BK：BA 是整数时，ABC 是怎样三角形？证明你的结论. 5.(1984 年西安初中竞赛题)求证 n 5-n 可被 30 整除(n整数). 6（1978 年重庆竞赛题）设ABC 中，AB=AC，P 为该三角形内一点，且APBAPC.用 间接证法证明:BAPCAP. 7（1957 年上海竞赛题）设自然数 62427 为 99 的倍数，求 、. 8（莫斯科比赛大会预习题）求多项式 x 2+x+q 的使它在区间-1，1上的绝对值为极大 值的最小值. 9证明内接平行四边形的三角形的面积不可能大于这个平行四边形面积的一半. 10（第 7 届加拿大中学竞赛题）对每个实数 ，表示小于或等于 的最大整数，例 如6=6，=3，-1.5=-2.在（x，y）平面上指出满足x 2+y2=4 的一切点（x，y）.