1、竞赛讲座 32 多边形的面积和面积变换多边形的面积和面积变换 本讲在初二几何范围内，通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍. 所用知识不多，简列如下： （1） 全等形的面积相等； （2） 多边形的面积定理（三角形、梯形等，略）； （3） 等底等高的三角形，平行四边形，梯形的面积相等（对梯形底相等应理 解为两底和相等）； （4） 等底 （等高） 的三角形， 平行四边形， 梯形的面积比等于这底上的高 （这 高对应的底）的比. 以下约定以ABC 同时表示ABC 的面积. 1 多边形的面积 例 1 （第 34 届美国中学数学竞赛题）在图 23-1 的平面图形中，边 AF 与 CD 平
2、行，BC 与 ED 平行，各边长为 1，且FAB=BCD=，该图形的面积是（ ） （A） （B）1 （C） （D） （E）2 分析 将这个图形分解为若干个基本图形三角形，连 BF、BE、BD 得四个与ABF 全等 的正三角形，进一步计算可得图形面积为.所以选（D）. 例 2 （第 5 届美国数学邀请赛试题）如图 23-2 五条线段把矩形 ABCD 分成了面积相等的四部分， 其中 XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX， 而 PQ 平行于 AB.如果 BC=19cm， PQ=87cm，则 AB 的长度等于_. 分析 如图,延长 PQ 交 AD、CB 于 E、F.由 YB+BC+CZ=WD
3、+DA+AX 知 a+c=b+d,又梯形 PQWZ 与 梯形 PQYX 面积相等,故 E、F 分别为 AD、CB 的中点. 而 SAXPWD=SBYQZC，EP=QF，设为 e. 由 SAXPWD=SPQZW 得 2e=106， AB=2e+87=193. 例 3.如图 23-3 四边形 ABCD 的两边 BA 和 CD 相交于 G， E、 F 各为 BD、 AC 的中点.试证： EFG 的面积等于四边形 ABCD 面积的四分之一. 分析 注意到 E、F 各为 BD、AC 的中点，连结 EA、EC 和 FD.则 如果能够证明EFG 的面积等于四边形 AEFD 的面积，问题即可解决.为此，取 A
4、D 的中点 P， 连 PE、 PF， 则 PEGB， PFGC.于是GEP=AEP， GFP=DFP.而PEF 公用.GEF=SAEFD. 至此，问题得解.证明略. 2 利用面积变换解几何题 先看一个例子. 例 4.以直角三角形 ABC 的两直角边 AC、BC 为一边各向外侧作正方形 ACDE、BCGH，连结 BE、 AH 分别交 AC、BC 于 P、Q.求证:CP=CQ. 证明 (如图 23-4)显然 SGCQ=SHCQ， HBAG， SGCQ=SACH=SABC. 同理,SBDP=SABC. SAGQ=SBDP, CQAG=CPBD. AG=AC+GC =DC+BC=BD， CP=CQ.
5、此例是关于平面图形中线段的等式， 看似与面积无关， 然而我们却利用图形之间面积的等量 关系达到了证明的目的.这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量 关系和位置关系的方法即所谓面积变换. 例 5 (第 37 届美国中学数学竞赛题)图 23-5 中,ABCDE 是正五边形,AP、AQ 和 AR 是由 A 向 CD、CB 和 DE 的延长线上所引的垂线.设 O 是正五边形的中心,若 OP=1,则 AO+AQ+AR 等于 ( ). （A）3 （B）1+ （C）4 （D）2+ (E)5 分析 因题设中 AP、AQ、AR 分别与 CD、CB、DE 垂直，这就便于利用面积作媒介.注意到
6、即 由 CD=BC=DE， 则 AP+AQ+AR=5OP 故 AO+AQ+AR=4.应选（C）. 例 6 （第 37 届美国中学数学竞赛题）不等边三角形 ABC 的两条高的长度分别为 4 和 12. 若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是（ ）. （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）不同于（A）-（D）的答案 解 设ABC 第三边上的高为 h，面积为 S，则该三角形的三边可表示为 显见.据“三角形两边之和大于第三边”有+，+. 解得 3h6.所以选（B）. 例 7 图 23-6 中，已知 AB 是直角三角形 ABC 的斜边，在射线 AC、BC 上各 取一点、，使P、Q 是ABC
7、内两点，如果 P，Q 到ABC 各边的距 离之和相等，则 PQ；反之亦然. 证明 设 P、Q 到ABC 各边的距离之和分别为 S（P），S（Q）.连 PA、PB、P、P， 不难发现APB+AP+PB-P=ABC-C（定值）. 于是 = 同理， 显然，当 S（P）=S（Q）时， PQ 反之，当 PQ时， S（P）=S（Q）. 3 一个定理的应用定理 已知ABC、DBC 共边 BC，AD 交 BC 或其延长线于 E，则 分析 当 B 或 C 点与 E 重合时，结论显然成立.当 B、C 都不与 E 重合时，有两种情况：若 E 在 BC 之间，由ABE=易知结论成立；若 E 在 BC 之外 类似可证.
8、证明略. 这个定理叙述的事实虽然简单,但却能解决大问题. 例 8 (1987 年全国初中数学联赛试题)如图 23-8 已知四边形 ABCD 内有一点 E,连接 AE、BE、 CE、DE，将四边形 ABCD 分成四个面积相等的三角形，那么命题（ ）. 甲. ABCD 是凸四边形; 此处无图 乙. E 是对角线 AC 的中点或对角线 BD 的中点; 丙. ABCD 是平行四边形中. (A) 只有甲正确 (B)只有乙正确 (C)甲、乙、丙都正确 （D）甲、乙、丙都不正 确 分析 如果ABCD是以AC为对称轴的凹四边形， 易见AC的中点具有题中E点所要求的性质， 所以甲、丙都不正确. 设 AE、 BE
9、、 CE、 DE 将四边形 ABCD 分成四个面积相等的三角形， BD、 AC 交于 F， 由ABE=ADE 及本讲定理知 F 是 BD 的中点，即 E 在 AF 上. 如果 F 与 E 重合，则 E 是 BD 的中点，乙成立.如果 F 与 E 不重合，同理由BEC=DEC 是 E 在直线 CF 上，也就是说 A、C 都在直线 EF 上.再由ABE=BEC，得 AE=EC，所以 E 是 AC 的 中点，乙成立.所以选（B）. 如果将三点 A、B、C 在一条直线上看成是ABC 的蜕化情况，那么 A、B、C 三点共线等价于 ABC=0.由此引出证明三点共线的一条极自然的思路:欲证三点 A、B、C
10、共线，只要证明 ABC=0.为了计算ABC 的面积， 常在 A、 B、 C 之外适当选一点 P， 如果PAB、 PBC、 PAC 三者之中一个等于另两个之和，则自然有ABC=0，这方面传统的例子是梅内劳斯定理的证 明. 例 9 在图 33-9ABC 的两边 AB、AC 上分别取 E、F 两点，在 BC 的延长线上取点 D，使 则 D、E、F 三点共线. 此处无图 证明 设则 于是 由、易得BDE=BEF+BDF， D、E、F 三点共线. 说明：A、B、C 共线即点 B 在直线 AC 上.由此即知欲证 l1、l2、l3共点，只要证 l1、l2的交 点 B 在直线 l3上，若在 l3上别取点 A、
11、C，则只要证明ABC=0 即可.看来三线共点的问题可 转化为三点共线来解决，这方面典型的例子是塞瓦定理的证明（见练习题）. 最后，我们来看一个漂亮的作图问题. 例 10 设 A、B 是直线 l1上的两点，而 C、D 是直线 l2上的两点，l1与 l2交于 O，作出平面上 一切满足条件PAB=PCD 的点 P. 分析 如图 23-10，在 l1上取 E、F，使 O 为 EF 中点且 EO=AB；在 l2上取 G、H，使 O 为 GH 中点且 GO=CD.不妨设 E、G、F、H 之顺序使 EGFH 成为以 O 为中心的平行四边形.设 EG、GF、 FH、HE 之中点顺次为 M、S、N、R，则 P
12、点为直线 MN 和 RS 上的一切点. 设 P 为 RS 上或 MN 上任一点，由作图知PAB=PFO，PCD=PGO.由本讲定理知 PFO=PGO，所以PAB=PCD.当 P 点不在直线 MN 上且不在 RS 上时，可以用反证法证明 PABPCD. 练习二十三 1 选择题 （1）等腰ABC 中，一腰上的高线长为，这个高线与底边的夹角是，ABC 的面积 是（ ）. （A） （B）2 （C）2 （D） （E）以上答案都不对 （2）如图，ABCD 是面积为 1 的正方形，PBC 为正三角形，则BPD 的面积为（ ）. （A） （B） （C） （D） （E） （3）已知等腰ABC 一腰上的中线为 1
13、5，底边上的高为 18，则ABC 的面积是（ ）. （A）124 （B）144 （C）150 （D）以上答案都不对 2.填空题 (1) 已知一张矩形纸片 ABCD,AB=a,BC=Ka,将纸片折叠一次,使顶点 A 与 C 重合,如果 纸片不重合部分面积为,则 K=_. (2) 已知等腰梯形 ABCD 的两对角线 AC、BD 互相垂直相交，且梯形的面积为 100cm 2， 则梯形的高 h=_. (3) (第 3 届美国数学邀请赛试题)如图所示,将ABC 的三个顶点与同一个内点连接 起来,所得三条联线把ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明. ABC 的面积是_. (4) (
14、1984 年西安初中数学竞赛题)设ABC 的面积为 1,则DEF 的面积是_. 3.如图,B 在 AC 上,Q 在 PR 上,PBQC，AQBR.求证：APCR. 4（1974 年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题）设 AD 为ABC 一中线，引任一直线 CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F. 证明 AEFB=2AFED. 5（塞瓦定理）设 X、Y、Z 分别是ABC 的边 BC、CA、AB 上的点，若 则 AX、BY、CZ 三线共点. 6（1983 年中学生联合数学竞赛题）如图，在四边形 ABCD 中ABD，BCD，ABC 的面积 比是 3：4：1，点 M，N 分别在 AC，CD 上，满足 AM
15、：AC=CN：CD，并且 B、M、N 三点共线， 求证：M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中点. 此处无图 7 P 为ABC 内部一点， P 到边 AB、 AC 的距离为 PE、 PF， PE=q， PF=r， PA=x， 求证： axcq+br. （a，b，c 为相应顶点对应的边长） 8三角形的两边不等，则大边加上这边上的高，不小于小边加上小边上的高. 9设ABC 的面积 S=1.试分别在边 BC、CA、AB 上依次我一内点 E、F、G，使得EFG 的面 积适合 练习二十三 （） （） （） （） 连、， ， 连后，引入三个面积参数，即， 则 设与交于点，连、设易知 ，（）， 、共线、共
16、点 设及 这时， ， （），（） 因此，所以解得 即与分别是与的中点 作，设又作，设显然 ，（） 如图，设，易知， ，（）（ ），即（）（），即 作法：如图，作的中位线并延长至，使 作，垂足为 （当为的最大内角时，必为的内点）， 作 M，交于选的任一内点，连结、，并将点改 名为，则即为所求 练习二十三 （） （） （） （） 连、， ， 连后，引入三个面积参数，即， 则 设与交于点，连、设易知 ，（）， 、共线、共点 设及 这时， ， （），（） 因此，所以解得 即与分别是与的中点 作，设又作，设显然 ，（） 此处无图 如图，设，易知， ，（）（ ），即（）（），即 作法：如图，作的中位线并延长至，使 作，垂足为 （当为的最大内角时，必为的内点）， 作 M，交于选的任一内点，连结、，并将点改 名为，则即为所求 此处无图