1、6.2.3 组组 合合 6.2.4 组合数组合数 第第 1 课时课时 组合及组合数的定义组合及组合数的定义 1(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有( ) A由 1,2,3,4 构成的含有 2 个元素的集合个数 B五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C由 1,2,3 组成两位数的不同方法数 D由 1,2,3 组成的无重复数字的两位数的个数 答案 AB 2把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有( ) AA310种 BC310种 CC310A310种 D30 种 答案 B 解析 三张票没区别，从 10 人中选 3 人，即 C310. 3已知平面内 A，B，C，D 这 4 个点中任何
2、3 点不共线，则由其中每 3 点为顶点的所有三 角形的个数为( ) A3 B4 C12 D24 答案 B 解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有 4 个：ABC，ABD，ACD，BCD. 4某新农村社区共包括 8 个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上， 现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( ) A4 B8 C28 D64 答案 C 解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建 C28A 2 8 A22 87 2128(条)公路 5某乒乓球队有 9 名队员，其中有两名种子选手，现要选 5 名队员参加运动会，种子选手都 必须在内，则不同的选法有(
3、 ) AC59种 BA37种 CC37种 DC57种 答案 C 解析 只需再从其他 7 名队员中选 3 人，即 C37种选法 6从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛，有_种不同选法 答案 84 解析 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C39A 3 9 A33 987 32184(种)选法 7若已知集合 P1,2,3,4，则集合 P 的子集中含有 2 个元素的子集数为_ 答案 6 解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含 2 个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合 问题，共有 C24A 2 4 A22 43 216(个) 8有 3 张参观券，要在5 人中确定3 人去参
4、观，则不同方法的种数是_(用数字作答) 答案 10 解析 由于选出的人无角色差异， 所以是组合问题， 共有 C35A 3 5 A33 543 32110(种)不同方法 9判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数 (1)10 个人相互写一封信，一共写了多少封信？ (2)10 个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ (3)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？ (4)从 10 个人中选 3 人去开会，有多少种选法？ (5)从 10 个人中选出 3 人担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 解 (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的
5、，排列数为 A21090. (2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数 为 C210A 2 10 A22 45. (3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为 C210A 2 10 A22 45. (4)是组合问题，因为去开会的 3 个人之间没有顺序的区别，组合数为 C310A 3 10 A33 120. (5)是排列问题，因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为 A310720. 10平面内有 10 个点，其中任意 3 个点不共线 (1)以其中任意 2 个点为端点的线段有多少条？ (2)以其中任意 2 个点为端点的有向
6、线段有多少条？ (3)以其中任意 3 个点为顶点的三角形有多少个？ 解 (1)所求线段的条数，即为从 10 个元素中任取 2 个元素的组合数，共有 C210A 2 10 A22 109 21 45(条)，即以 10 个点中的任意 2 个点为端点的线段共有 45 条 (2)所求有向线段的条数，即为从 10 个元素中任取 2 个元素的排列数，共有 A210109 90(条)，即以 10 个点中的任意 2 个点为端点的有向线段共有 90 条 (3)所求三角形的个数， 即为从 10 个元素中任选 3 个元素的组合数， 共有 C310A 3 10 A33 1098 321 120(个) 11(多选)下列
7、问题是组合问题的有( ) A10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B平面上有 2 021 个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C集合a1，a2，a3，an中含有三个元素的子集有多少个 D从高三(19)班的 54 名学生中选出 2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少 种选法 答案 ABC 解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 选项中，选出的 2 名学生，如甲、乙， 其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此 是排列问题，不是组合问题，故选 ABC. 12从 5 人中选 3 人参加座谈会，其中甲
8、必须参加，则不同的选法有( ) A60 种 B36 种 C10 种 D6 种 答案 D 解析 甲必须参加， 因此只要从除甲之外的 4 人中选 2 人即可， 有 C24A 2 4 A226(种)不同的选法 13从 8 名女生和 4 名男生中，抽取 3 名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样， 则不同的抽取方法数为( ) A224 B112 C56 D28 答案 B 解析 由分层抽样知，应从 8 名女生中抽取 2 名，从 4 名男生中抽取 1 名，所以抽取 2 名女 生和 1 名男生的方法数为 C28C14A 2 8 A22 A14 A11112. 14从 2,3,5,7 四个数中任取两个不
9、同的数相乘，有 m 个不同的积，任取两个不同的数相除， 有 n 个不同的商，则 mn_. 答案 12 解析 mC24，nA24，mn12. 15某区有 7 条南北向街道，5 条东西向街道(如图) (1)图中有_个矩形； (2)从 A 点走向 B 点最短的走法有_种 答案 (1)210 (2)210 解析 (1)在 7 条南北向街道中任选 2 条，5 条南北向街道中任选 2 条，这样 4 条线可组成一 个矩形，故可组成矩形 C27 C25A 2 7 A22 A25 A22210(个) (2)每条东西向的街道被分成 6 段，每条南北向的街道被分成 4 段，从 A 到 B 最短的走法，无 论怎样走，
10、一定至少包括 10 段，其中 6 段方向相同，另 4 段方向也相同，每种走法，即是从 10 段中选出 6 段， 这 6 段是走东西方向的(剩下 4 段即是走南北方向的)， 共有 C610 C44A 6 10 A66 A44 A44 210(种)走法 16某次足球比赛共 12 支球队参加，分三个阶段进行 (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组 6 队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛： 甲组第一名与乙组第二名， 乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队 主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负 问：全部赛程共需比赛多少场？ 解 (1)小组赛中每组 6 队进行单循环比赛，就是 6 支球队的任两支球队都要比赛一次，所需 比赛的场次即为从 6 个元素中任取 2 个元素的组合数，所以小组赛共要比赛 2C262A 2 6 A22 30(场) (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决 赛共要比赛 224(场) (3)决赛只需比赛 1 场，即可决出胜负 所以全部赛程共需比赛 304135(场)