1、 7.1 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率条件概率 1已知 P(B|A)1 3，P(A) 2 5，则 P(AB)等于( ) A.5 6 B. 9 10 C. 2 15 D. 1 15 答案 C 解析 P(AB)P(B|A) P(A)1 3 2 5 2 15，故选 C. 2(多选)设 P(A|B)P(B|A)1 2，P(A) 1 3，则( ) AP(AB)1 6 BP(AB)5 6 CP(B)1 3 DP(B) 1 12 答案 AC 解析 P(AB)P(A)P(B|A)1 3 1 2 1 6， 由 P(A|B)PAB PB ，得 P(B)PAB PA|B 1 62
2、1 3. 3某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概 率是( ) A. 1 10 B. 2 10 C. 8 10 D. 9 10 答案 A 解析 记事件 A 为第一次失败，事件 B 为第二次成功，则 P(A) 9 10，P(B|A) 1 9， 所以 P(AB)P(A)P(B|A) 1 10. 4 某班学生考试成绩中， 数学不及格的占 15%， 语文不及格的占 5%， 两门都不及格的占 3%. 已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A0.2 B0.33 C0.5 D0.6 答案 A 解析 记“数学不及格”为事件 A，“语文不及格”为事件 B，
3、P(B|A)PAB PA 0.03 0.150.2， 所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为 0.2. 5将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 A“两个点数互不相同”，B“出现一个 5 点”，则 P(B|A)等于( ) A.1 3 B. 5 18 C. 1 6 D. 1 4 答案 A 解析 出现点数互不相同的共有 6530(种)， 出现一个 5 点共有 5210(种)， 所以 P(B|A) 10 30 1 3. 6袋中有 5 个小球(3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取 到白球的条件下，第二次取到白球的概率是_，两次都取到白球的概率是_ 答案 1 2 3
4、10 解析 第一次取到白球，则还剩下 4 个小球，2 个白球，2 个黑球，故第二次取到白球的概率 P2 4 1 2，两次都取到白球的概率 P 32 54 3 10. 7设某种动物由出生算起活到 20 岁的概率为 0.8，活到 25 岁的概率 0.4，现有一个 20 岁的 这种动物，则它能活到 25 岁的概率是_ 答案 0.5 解析 设该动物活到 20 岁为事件 A，活到 25 岁为事件 B，则 P(A)0.8，P(B)0.4， 又 P(AB)P(B)， 所以 P(B|A)PAB PA PB PA 0.4 0.80.5. 8有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中
5、，随机抽取一粒， 则这粒种子能成长为幼苗的概率是_ 答案 0.72 解析 “种子发芽”为事件 A， “种子成长为幼苗”为事件 AB(发芽， 并成活才成长为幼苗)， 则 P(A)0.9， 又种子发芽后的幼苗成活率为 P(B|A)0.8， 所以 P(AB)P(A)P(B|A)0.90.8 0.72. 9某校高三(1)班有学生 40 人，其中共青团员 15 人全班平均分成 4 个小组，其中第一组 有共青团员 4 人从该班任选一人作学生代表 (1)求选到的是第一组的学生的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 解 设事件 A 表示“选到第一组学生”，事件 B 表示“选到共青团员”
6、(1)由题意，得 P(A)10 40 1 4. (2)方法一 要求的是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率 P(A|B) 不难理解，在事件 B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有 15 种不同的选 择，其中属于第一组的有 4 种选择 因此，P(A|B) 4 15. 方法二 P(B)15 40 3 8，P(AB) 4 40 1 10， P(A|B)PAB PB 4 15. 10设 b 和 c 分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数 (1)求方程 x2bxc0 有实根的概率； (2)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x2bxc0 有实根的概率 解 (1)方程
7、有实根，b24c0，b24c， 又 b，c1,2,3,4,5,6， 当 b2 时，c1， 当 b3 时，c1,2， 当 b4 时，c1,2,3,4， 当 b5 时，c1,2,3,4,5,6， 当 b6 时，c1,2,3,4,5,6， 共 19 种情况 故所求的概率为 19 66 19 36. (2)把“出现 5 点”记为事件 A， “方程有实根”记为事件 B， 满足 b24c 的有序数对记为(b， c)， 则事件 A 包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)， 共 11 种， 事件 AB 包含
8、的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 7 种， 故所求的概率为 7 11. 117 名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是( ) A.1 4 B. 1 5 C. 1 6 D. 1 7 答案 C 解析 记“甲站在中间”为事件 A，“乙站在最右端”为事件 B， 则 n(A)A66，n(AB)A55， 所以 P(B|A)A 5 5 A66 1 6. 12已知某产品的次品率为 4%，其合格品中 75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为 ( ) A75% B96% C72% D78.125% 答案 C 解析 记“任选一件产品
9、是合格品”为事件 A，则 P(A)1P( A )14%96%. 记“任选一件产品是一级品”为事件 B，由于一级品必是合格品，所以事件 A 包含事件 B， 故 P(AB)P(B) 由合格品中 75%为一级品知 P(B|A)75%， 故 P(B)P(AB)P(A)P(B|A)96%75%72%. 13一个盒子里有 6 支好晶体管，4 支坏晶体管，任取两次，每次取 1 支，每次取后不放回， 已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( ) A.2 3 B. 5 12 C. 5 9 D. 7 9 答案 C 解析 记“第 i(i1,2)支晶体管是好的”为事件 Ai(其中 i1,2)由题意可知，要
10、求的概率为 P(A2|A1)因为 P(A1)3 5，P(A1A2) 65 109 1 3，所以 P(A2|A1) PA1A2 PA1 1 3 3 5 5 9. 14某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关某 选手射中第一个目标的概率为 0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为 0.5，则这个选手过 关的概率为_ 答案 0.4 解析 记“射中第一个目标”为事件 A， “射中第二个目标”为事件 B， 则 P(A)0.8， P(B|A) 0.5， 所以 P(AB)P(B|A) P(A)0.80.50.4， 即这个选手过关的概率为 0.4. 15从 1100 共 100
11、 个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于 50，则此数是 2 或 3 的倍数的概率为_ 答案 33 50 解析 设事件 C 为“取出的数不大于 50”，事件 A 为“取出的数是 2 的倍数”，事件 B 是 “取出的数是 3 的倍数”，则 P(C)1 2，且所求概率为 P(AB|C)P(A|C)P(B|C)P(AB|C) PAC PC PBC PC PABC PC 2 25 100 16 100 8 100 33 50. 16如图，三行三列的方阵有 9 个数 aij(i1,2,3，j1,2,3)，从中任取三个数，已知取到 a22 的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 解 设事件 A“任取的三个数中有 a22”， 事件 B“三个数至少有两个数位于同行或同列”， 则 B “三个数互不同行且不同列”， 依题意得 n(A)C2828，n(A B )2， 故 P( B |A) nA B nA 2 28 1 14， 则 P(B|A)1P( B |A)1 1 14 13 14. 即已知取到 a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为13 14.