1、 7.3 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 1某便利店记录了 100 天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 18 20 频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 试估计该商品日平均需求量为( ) A16 B16.2 C16.6 D16.8 答案 D 解析 估计该商品日平均需求量为 140.1150.2160.3180.2200.216.8， 故 选 D. 2(多选)已知某一随机变量 X 的分布列如下，且 E(X)6.3，则( ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a7 B
2、b0.4 CE(aX)44.1 DE(bXa)2.62 答案 ABC 解析 由题意和分布列的性质得 0.50.1b1， 且 E(X)40.50.1a9b6.3， 解得 b0.4，a7. E(aX)aE(X)76.344.1， E(bXa)bE(X)a0.46.379.52， 故 ABC 正确 3现有一个项目，对该项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元，1.18 万元，1.17 万元 的概率分别为1 6， 1 2， 1 3，随机变量 X 表示对此项目投资 10 万元一年后的利润，则 X 的均值为 ( ) A1.18 B3.55 C1.23 D2.38 答案 A 解析 因为 X 的所有
3、可能取值为 1.2,1.18,1.17， P(X1.2)1 6，P(X1.18) 1 2，P(X1.17) 1 3， 所以 X 的分布列为 X 1.2 1.18 1.17 P 1 6 1 2 1 3 所以 E(X)1.21 61.18 1 21.17 1 31.18. 4袋中有 10 个大小相同的小球，其中记为 0 号的有 4 个，记为 n 号的有 n 个(n1,2,3)现 从袋中任取一球，X 表示所取到球的标号，则 E(X)等于( ) A2 B.3 2 C. 4 5 D. 7 5 答案 D 解析 由题意，可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X0)2 5，P(X1) 1 10，P
4、(X2) 1 5， P(X3) 3 10. E(X)02 51 1 102 1 53 3 10 7 5. 5一个课外兴趣小组共有 5 名成员，其中 3 名女性成员，2 名男性成员，现从中随机选取 2 名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为 X，则 X 的均值是( ) A.6 5 B. 3 10 C. 4 5 D. 1 5 答案 A 解析 由题意得，X 的所有可能的取值为 0,1,2， P(X0)C 2 2 C25 1 10， P(X1)C 1 2C 1 3 C25 6 10 3 5， P(X2)C 2 3 C25 3 10. E(X)0 1 101 3 52 3 10 6 5，故 A 正确
5、 6已知 E(Y)6，Y4X2，则 E(X)_. 答案 2 解析 Y4X2，E(Y)4E(X)2， 4E(X)26，即 E(X)2. 7离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4，P(Xk)akb(k1,2,3,4)，E(X)3，则 a _，b_. 答案 1 10 0 解析 易知 E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3， 即 30a10b3. 又(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1， 即 10a4b1， 由，得 a 1 10，b0. 8某射手射击所得环数 X 的分布列如下： X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 E(X)8.9，则 y 的值为_ 答
6、案 0.4 解析 由 xy0.6， 7x10y8.90.82.7， 解得 x0.2， y0.4. 9 盒中装有 5 节同牌号的五号电池， 其中混有两节废电池 现无放回地每次取一节电池检验， 直到取到好电池为止，求抽取次数 X 的分布列及均值 解 X 的可能取值为 1,2,3， 则 P(X1)3 5，P(X2) 2 5 3 4 3 10， P(X3)2 5 1 41 1 10. 所以抽取次数 X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 所以 E(X)13 52 3 103 1 10 3 2. 10春节期间，小王用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下
7、 车的概率均为1 3，用 表示 4 位朋友在第三个景点下车的人数，求： (1)随机变量 的分布列； (2)随机变量 的均值 解 (1) 的所有可能值为 0,1,2,3,4. 则 P(0) 2 3 416 81，P(1) C14 23 34 32 81， P(2)C 2 4 2 2 34 8 27，P(3) C34 2 34 8 81， P(4) 1 3 41 81. 从而 的分布列为 0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 (2)由(1)得 的均值为 E()016 811 32 812 8 273 8 814 1 81 4 3. 11某船队若出海后天气好，
8、可获得 5 000 元；若出海后天气坏，将损失 2 000 元根据预测 知天气好的概率为 0.6，则出海的期望效益是( ) A2 000 元 B2 200 元 C2 400 元 D2 600 元 答案 B 解析 出海的期望效益 E(X)5 0000.6(10.6)(2 000)3 0008002 200(元) 12若 X 是一个随机变量，则 E(XE(X)的值为( ) A无法确定 B0 CE(X) D2E(X) 答案 B 解析 E(aXb)aE(X)b，而 E(X)为常数， E(XE(X)E(X)E(X)0. 13若 p 为非负实数，随机变量 的分布列为 0 1 2 P 1 2p p 1 2
9、则 E()的最大值为( ) A1 B.3 2 C. 2 3 D2 答案 B 解析 由 p0，1 2p0，得 0p 1 2，则 E()p1 3 2，故选 B. 14甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为4 9，乙、丙应聘成功的概率均为 t 3 (0t1.75，则 p 的取值可以为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 7 12 答案 AB 解析 根据题意，X 的所有的可能取值为 1,2,3，且 P(X1)p， P(X2)p(1p)， P(X3)(1p)2， 则 E(X)p2p(1p)3(1p)2p23p3， 依题意有 E(X)1.75，则 p23p31.75， 解得 p5
10、 2或 p 1 2， 结合 p 的实际意义，可得 0p1 2，即 p 0，1 2 . 结合选项可知 AB 正确 16某牛奶店每天以每盒 3 元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒 5 元的价格出 售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理 (1)若牛奶店一天购进 50 盒鲜牛奶，求当天的利润 x(单位：元)关于当天需求量 n(单位：盒， nN*)的函数解析式； (2)牛奶店老板记录了某 100 天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表： 日需求量 48 49 50 51 52 53 54 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这 100 天记录的各需求量的频率作为各需求
11、量发生的概率 若牛奶店一天购进 50 盒鲜牛奶，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列及均值； 若牛奶店计划一天购进 50 盒或 51 盒鲜牛奶， 从统计学角度分析， 你认为应购进 50 盒还是 51 盒？请说明理由 解 (1)当 n50 时，y5n5035n150， 当 n50 时，y50(53)100， y 5n150，n50， 100，n50 (nN*) (2)由(1)可知，n48 时，X90，当 n49 时，X95，当 n50 时，X100. X 的可能取值为 90,95,100. P(X90) 10 100 1 10， P(X95) 20 100 1 5， P(X100)10030 100 7 10. X 的分布列为 X 90 95 100 P 1 10 1 5 7 10 E(X) 1 1090 1 595 7 1010098. 由知当购进 50 盒时，E(X)98. 当购进 51 盒时，y 5n153，n97.7，每天购进 50 盒比较合理