1、 7.5 正态分布正态分布 1关于正态分布 N(，2)，下列说法正确的是( ) A随机变量落在区间长度为 3 的区间之外是一个小概率事件 B随机变量落在区间长度为 6 的区间之外是一个小概率事件 C随机变量落在3，3之外是一个小概率事件 D随机变量落在3，3之外是一个小概率事件 答案 D 解析 P(3X3)0.997 3，P(X3 或 X2 C12 D21，120)，P(4)0.84，则 P(0)等于( ) A0.16 B0.32 C0.68 D0.84 答案 A 解析 随机变量 服从正态分布 N(2，2)，2， P(1230 B01212130 D01213 答案 D 解析 当 0，1 时，
2、正态曲线 f(x) 1 2 2 2 e x 在 x0 处取最大值 1 2，故 21.由正态 曲线的性质， 当 一定时， 曲线的形状由 确定， 越小， 曲线越“瘦高”， 反之越“矮胖” 故 选 D. 6已知随机变量 X 服从正态分布 N(a,4)，且 P(X1)0.5，则实数 a 的值为 答案 1 解析 X 服从正态分布 N(a,4)， 正态曲线关于直线 xa 对称， 又 P(X1)0.5，故 a1. 7已知随机变量 XN(2，2)，如图所示，若 P(X4a)P(Xa)0.32， P(aX4a)1P(X4a)12P(Xa) 0.36. 8已知 XN(4，2)，且 P(2X6)0.682 7，则
3、，P(|X2|4) . 答案 2 0.84 解析 XN(4，2)，4. P(2X6)0.682 7， 6， 2， 2. P(|X2|4)P(2X6) P(2X2)P(2X6) 1 2P(2X10)P(2X6)P(2X6) 1 2P(2X10) 1 2P(2X4)的值 解 随机变量 XN(3，2)， 正态曲线关于直线 x3 对称， 又 P(2X4)0.68，可得 P(X4)1 21P(2X4) 1 2(10.68)0.16. 10一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润 X(万元)分别服从正态分 布 N(8,32)和 N(7,12)，投资者要求“利润超过 5 万元”的概率尽量大，那
4、么他应该选择哪一个 方案？ 解 对于第一个方案有 XN(8,32)，其中 8，3，P(X5)1P5X11 2 P(5X11) 1P55)1P5108)1 21P(88X108) 1 21P(X) 1 2(10.682 7)0.158 65.所以 0.158 659 4551 500. 12一批电阻的电阻值 X(单位：)服从正态分布 N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中 各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为 1 011 和 982 ，可以认为( ) A甲、乙两箱电阻均可出厂 B甲、乙两箱电阻均不可出厂 C甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 答案 C
5、 解析 XN(1 000,52)，1 000，5， 31 00035985， 31 000351 015. 1 011(985,1 015)，982(985,1 015)， 甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 13某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径 X(单位：mm)服从正态分布 X N(100,1)现加工 10 个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2， 103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.XN(，2)，有 P(2X2)0.954，P(3X 3)0.997.根据行业标准，概率低于 0.003 视为小概率事件，工人随机将
6、其中的 8 个交与质 检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为( ) A.44 45 B. 4 5 C. 3 5 D. 41 45 答案 B 解析 10 个螺栓的尺寸， 只有 103.2 不在区间97,103内， 工人随机将其中的 8 个交与质检 员检验，质检员认为设备需检修的概率为 C79 C810 4 5，故选 B. 14已知随机变量 XN(2,22)，且 aXb(a0)服从标准正态分布 N(0,1)，则 a ，b . 答案 1 2 1 解析 随机变量 XN(2,22)， E(X)2，D(X)224. E(aXb)aE(X)b2ab0， D(aXb)a2D(X)4a21， 又 a0，a1
7、2，b1. 15(多选)设 XN(1，21)，YN(2，22)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中 错误的是( ) AP(Y2)P(Y1) BP(X2)P(X1) C对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) D对任意正数 t，P(Xt)P(Yt) 答案 ABD 解析 由题图可知 102，12， P(Y2)P(X1)，故 B 错； 当 t 为任意正数时，由题图可知 P(Xt)P(Yt)， 而 P(Xt)1P(Xt)，P(Yt)1P(Yt)， P(Xt)t)，故 C 正确，D 错 16十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村 地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋
8、力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也 逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2019 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入 x (单位：千元)(同一组数据用该组数 据区间的中点值表示)； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入 X 服从正态分布 N(，2)，其中 近似 为年平均收入 x ，2近似为样本方差 s2，经计算得 s26.92，利用该正态分布，求： 在扶贫攻坚工作中， 若使该地区约有 84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入 标准，则最低年收入大约为
9、多少千元？ 为了调研“精准扶贫， 不落一人”的政策要求落实情况， 扶贫办随机走访了1 000位农民 若 每位农民的年收入互相独立，记这 1 000 位农民中的年收入高于 12.14 千元的人数为 ，求 E() 附参考数据： 6.922.63， 若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X3)0.997 3. 解 x 120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.04 17.40(千元)， 故估计 50 位农民的年平均收入 x 为 17.40 千元 (2)由题意知 XN(17.40,6.92)， P(X)0.50.682 7 2 0.841 4， 所以 17.402.6314.77 时，满足题意， 即最低年收入大约为 14.77 千元 由 P(X12.14)P(X2)0.50.954 5 2 0.977 3， 每个农民的年收入高于 12.14 千元的事件的概率为 0.977 3， 则 B(1 000，p)，其中 p0.977 3， 所以 E()1 0000.977 3977.3.