1、 8.2 一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用 1如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其 R2的值应接近于( ) A0.5 B2 C0 D1 答案 D 解析 R2越接近于 1，相关程度越高，故选 D. 2对变量 x，y 进行回归分析时，依据得到的 4 个不同的回归模型画出残差图，则下列模型 拟合精度最高的是( ) 答案 A 解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样 的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高 3工人工资 y(元)与劳动生产率 x(千元)的相关关系的经验回归方程为y 5080 x，下列判断 正确的是( ) A劳
2、动生产率为 1 000 元时，工人工资为 130 元 B劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 80 元 C劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 130 元 D当月工资为 250 元时，劳动生产率为 2 000 元 答案 B 解析 因为经验回归方程的斜率为 80，所以 x 每增加 1，y 平均增加 80，即劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 80 元 4两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( ) Aya xb Byabln x Cya ebx Dyae b x 答案 B 解析 由散点图可知， 此曲线类似对数函数型曲线， 因此可用函
3、数 yabln x 模型进行拟合 5(多选)对于经验回归方程y b xa (b 0)，下列说法正确的是( ) A当 x 增加一个单位时，y 的值平均增加b 个单位 B点( x ， y )一定在y b xa 所表示的直线上 C当 xt 时，一定有 yb ta D当 xt 时，y 的值近似为b ta 答案 ABD 解析 经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其 大致变化规律，所以有些散点不一定在经验回归直线上 6 某地区近 10 年居民的年收入 x 与年支出 y 之间的关系大致符合y 0.8x0.1(单位： 亿元)， 预计今年该地区居民收入为 15 亿元，则今年支
4、出估计是_亿元 答案 12.1 解析 将 x15 代入y 0.8x0.1，得y 12.1. 7若经验回归直线方程中的回归系数b 0，则样本相关系数 r_. 答案 0 解析 样本相关系数 r i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 i1 n yi y 2 与b i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 的分子相同， 故 r0. 8某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量 y(件)与平均气温 x()之间的关系，随机统计 了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表： 时间 二月 上旬 二月 中旬 二月 下旬 三月 上旬 旬平均气温 x() 3 8 12 17 旬销售量 y(
5、件) 55 m 33 24 由表中数据算出经验回归方程y b xa 中的b 2，样本点的中心为(10,38) (1)表中数据 m_； (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为 22 ，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬 的销售量约为_件 答案 (1)40 (2)14 解析 (1)由 y 38，得 m40. (2)由a y b x 得a 58，故y 2x58， 当 x22 时，y 14， 故三月中旬的销售量约为 14 件 9已知变量 x，y 有如下对应数据： x 1 2 3 4 y 1 3 4 5 (1)作出散点图； (2)用最小二乘法求关于 x，y 的经验回归方程 解 (1)散点图如图所示
6、(2) x 1234 4 5 2， y 1345 4 13 4 ， i1 4 xiyi16122039， i1 4 x2i1491630， b 3945 2 13 4 304 5 2 2 13 10， a 13 4 13 10 5 20， 所以y 13 10 x 即为所求的经验回归方程 10 由某种设备的使用年限 xi(年)与所支出的维修费 yi(万元)的数据资料算得如下结果， i1 5 x2i 90， i1 5 xiyi112， i1 5 xi20， i1 5 yi25. (1)求所支出的维修费 y 关于使用年限 x 的经验回归方程y b xa ； (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还
7、是负相关； 当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少？ 解 (1) i1 5 xi20， i1 5 yi25， x 1 5 i1 5 xi4， y 1 5 i1 5 yi5， b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x2i5 x 2 112545 90542 1.2， a y b x 51.240.2. 所求经验回归方程为y 1.2x0.2. (2)由(1)知b 1.20，变量 x 与 y 之间是正相关 由(1)知，当 x8 时，y 1.280.29.8， 即使用年限为 8 年时，支出的维修费约是 9.8 万元 11设两个变量 x 和 Y 之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是
8、 r，Y 关于 x 的经验回 归方程的回归系数为b ，回归截距是a ，那么必有( ) A.b 与 r 的符号相同 B.a 与 r 的符号相同 C.b 与 r 的符号相反 D.a 与 r 的符号相反 答案 A 解析 b 与 r 的符号相同 12恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重据某机构预测，n(n10)个城 市职工购买食品的人均支出 y(千元)与人均月消费支出 x(千元)具有线性相关关系，且经验回 归方程为y 0.4x1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为 5 千元， 则该城市职工的月恩 格尔系数约为( ) A60% B64% C58% D55% 答案 B 解析 把 x5 代入
9、经验回归方程y 0.4x1.2 中，得y 0.451.23.2，则该城市职工的 月恩格尔系数约为3.2 5 0.6464%，故选 B. 13(多选)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系根据一 组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为y 0.85x85.71， 则下列结论中正确的是( ) Ay 与 x 具有正的线性相关关系 B经验回归方程过样本点的中心( x ， y ) C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D若该大学某女生身高为 170 cm，则可判定其体重必为 58.79 kg 答案 AB
10、C 解析 A，B，C 均正确，是经验回归方程的性质，D 项是错误的，经验回归方程只能预测学 生的体重，应为大约 58.79 kg. 14某数学老师身高 176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm,170 cm,182 cm.因儿 子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_ cm. 答案 185 解析 因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为 Y(单位：cm)，父亲身高为 X(单位：cm)，根据数据列表： X 173 170 176 Y 170 176 182 由表中数据，求得回归系数b 1，a 3. 于是儿子身高与父亲身高的关系式为 YX
11、3， 当 X182 时，Y185. 故预测该老师的孙子的身高为 185 cm. 15已知变量 y 关于 x 的非线性经验回归方程为y eb x 0.5，其一组数据如下表所示： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 若 x5，则预测 y 的值可能为( ) Ae5 B 11 2 e Ce7 D 15 2 e 答案 D 解析 将式子两边取对数，得到 ln y b x0.5， 令 zln y ，得到 zb x0.5， 列出 x，z 的取值对应的表格如下： x 1 2 3 4 z 1 3 4 6 则 x 1234 4 2.5， z 1346 4 3.5， ( x ， z )满足 zb x0.5，
12、 3.5b 2.50.5，解得b 1.6， z1.6x0.5，y e1.6x 0.5， 当 x5 时，y e1.6 50.5 15 2 e. 16某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销， 得到如下数据： 单价 x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求经验回归方程y b xa ，其中b 20； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 4 元/件，为 使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本) 解 (1)由于 x 1 6(88.28.48.68.89)8.5， y 1 6(908483807568)80. 所以a y b x 80208.5250， 从而经验回归方程为y 20 x250. (2)设工厂获得的利润为 L 元， 依题意得 Lx(20 x250)4(20 x250)20 x2330 x1 00020(x8.25)2361.25. 故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润