1、7.27.2 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布 知识点一 随机变量的概念、表示及特征 1概念：一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 都有唯一的实数 X()与之对应，我们称 X 为随机变量 2表示：用大写英文字母表示随机变量，如 X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如 x，y，z. 3特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点 (2)所有可能取值是明确的
2、知识点二 离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量 知识点三 离散型随机变量的分布列及其性质 1定义：一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2，xn，我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(X xi)pi，i1,2,3，n 为 X 的概率分布列，简称分布列 2分布列的性质 (1)pi0，i1,2，n. (2)p1p2pn1. 知识点四 两点分布 如果 P(A)p，则 P( A )1p，那么 X 的分布列为 X 0 1 P 1p p 我们称 X 服从两点分布或 01 分布 思考 随机变量 X 只取两个值，该分布是两点分布吗？ 答案 不一定，
3、如果 X 只取 0 和 1，则是两点分布，否则不是 1离散型随机变量的取值是任意的实数( ) 2随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个( ) 3离散型随机变量是指某一区间内的任意值( ) 4手机电池的使用寿命 X 是离散型随机变量( ) 一、随机变量的概念及分类 例 1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为 500 2 mL. 解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为 0,1,2,3，是随
4、机变化的，因此是随机变量，也是离散 型随机变量 (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型 随机变量 (3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间，所查酒驾的人数可能为 0,1,2,3，是随机变化的，因此是随机变量， 也是离散型随机变量 (4)由于果汁的容量在 498 mL502 mL 之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量 反思感悟 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则
5、不是 跟踪训练 1 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由 (1)从 10 张已编好号码的卡片(1 号到 10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数； (3)某林场的树木最高达 30 m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 解 (1)只要取出一张， 便有一个号码， 因此被取出的卡片号数可以一一列出， 符合离散型随机变量的定义 (2)从 10 个球中取 3 个球，所得的结果有以下几种：3 个白球；2 个白球和 1 个黑球；1 个白球和 2 个黑球； 3 个黑球
6、，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义 (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量 (4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量 二、求离散型随机变量的分布列 例 2 一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸出 2 个球 (1)求摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率； (2)用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个数，求 X 的分布列 解 一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸出 2 个球，有 C2510(种)情况 (1)设摸出的
7、2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的事件为 A， P(A)C 1 3C 1 2 10 3 5， 即摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率为3 5. (2)用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个数，X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X0)C 2 2 10 1 10，P(X1) C13C12 10 3 5， P(X2)C 2 3 10 3 10. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 反思感悟 求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值 (2)每一个取值所对应的概率 (3)用所有概率之和是否为 1 来检验 跟踪训练 2 袋中有 1
8、 个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球 为止，求取球次数 X 的分布列 解 X 的可能取值为 1,2,3,4,5， 则第 1 次取到白球的概率为 P(X1)1 5， 第 2 次取到白球的概率为 P(X2)41 54 1 5， 第 3 次取到白球的概率为 P(X3)431 543 1 5， 第 4 次取到白球的概率为 P(X4)4321 5432 1 5， 第 5 次取到白球的概率为 P(X5)43211 54321 1 5， 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 三、分布列的性质及应用 例 3 设随机
9、变量 X 的分布列 P Xk 5 ak(k1,2,3,4,5) (1)求常数 a 的值； (2)求 P X3 5 . 解 由题意，所给分布列为 X 1 5 2 5 3 5 4 5 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得 a2a3a4a5a1， 解得 a 1 15. (2)方法一 P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1) 3 15 4 15 5 15 4 5. 方法二 P X3 5 1P X2 5 1 1 15 2 15 4 5. 延伸探究 本例条件不变，求 P 1 10X 7 10 . 解 1 10X 7 10，X 1 5， 2 5， 3 5. P 1 10X0
10、， 38c38 3 1 30； 当 c2 3时，9c 2c9 2 3 22 31， 38c316 3 0(不适合，舍去)故 c1 3. 故所求分布列为 X 0 1 P 2 3 1 3 1下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( ) A. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 B. X 2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 C. X 1 2 3 P 1 3 1 2 2 3 D. X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 答案 C 解析 C 项中，P(X1)0 不符合 P(Xxi)0 的特点，也不符合 P(X1)P(X2)P(X3)1 的特点 所以 C 项不是随机变量
11、的分布列 2(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是( ) A到 2020 年 5 月 1 日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数 B一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C某人在车站等出租车的时间 D某人投篮 10 次，可能投中的次数 答案 ABC 3设离散型随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 P 1 6 1 3 1 6 p 则 p 的值为( ) A.1 2 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 4 答案 C 解析 由分布列的性质可知 p11 6 1 3 1 6 1 3. 4 已知X， Y均为离散型随机变量， 且X2Y， 若X的所有可能取值为0,2,4， 则Y的所有可能取值为_ 答案 0,1,2 解析 由题意 Y1 2X 且 X0,2,4， 得 Y0,1,2 5若随机变量 X 服从两点分布，且 P(X0)0.8，P(X1)0.2.令 Y3X2，则 P(Y2)_. 答案 0.8 解析 因为 Y3X2，所以当 Y2 时，X0， 所以 P(Y2)P(X0)0.8. 1知识清单： (1)随机变量的概念、特征 (2)离散型随机变量的概念 (3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质 (4)两点分布 2方法归纳：转化化归 3常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误