1、6.16.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第第 1 1 课时课时 两个计数原理及其简单应用两个计数原理及其简单应用 学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计 数问题 知识点一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那 么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共 有 Nmn 种不同
2、的方法 思考 如何区分“完成一件事”是分类还是分步？ 答案 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则， 是分步 1在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( ) 2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事( ) 3在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有 两个步骤都完成后，这件事情才算完成( ) 4从甲地经丙地到乙地是分步问题( ) 一、分类加法计数原理 例 1 设集合 A1,2,3,4，m，nA，则方程x 2 m y2 n1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆有( ) A6 个 B8
3、 个 C12 个 D16 个 答案 A 解析 因为椭圆的焦点在 x 轴上， 所以 mn.当 m4 时， n1,2,3； 当 m3 时， n1,2； 当 m2 时， n1， 即所求的椭圆共有 3216(个) 延伸探究 1条件不变，结论变为“则方程x 2 m y2 n1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆”有( ) A6 个 B8 个 C12 个 D16 个 答案 A 解析 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以 mn. 当 m5 时，n1,2,3,4. 当 m4 时，n1,2,3. 当 m3 时，n1,2. 当 m2 时，n1. 即所求的椭圆共有 432110(个) 反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下
4、问题 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事 (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互 斥的，并列的，独立的 跟踪训练 1 某校高三共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中任选 1 名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选 法？ 解 (1)从三个
5、班中任选 1 名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案 第 1 类，从高三(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法； 第 2 类，从高三(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法； 第 3 类，从高三(3)班中选出 1 名学生，有 55 种不同的选法 根据分类加法计算原理知，从三个班中任选 1 名学生担任学生会主席，共有 506055165(种)不同的选 法 (2)从高三(1)班、 (2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长， 共有三类不同的方案 第 1 类，从高三(1)班男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法； 第 2 类，从高三(2)班
6、男生中选出 1 名学生，有 30 种不同的选法； 第 3 类，从高三(3)班女生中选出 1 名学生，有 20 种不同的选法 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部 长，共有 30302080(种)不同的选法 二、分步乘法计数原理 例 2 已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)问： (1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？ 解 (1)确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成： 第一步，确定 a 的值，共有 6 种方法； 第二步，确定
7、b 的值，也有 6 种方法 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是 6636. (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步，确定 a，由于 a0，所以有 2 种不同的确定方法 根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为 326. 反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步：将完成这件事的过程分成若干步 (2)计数：求出每一步中的方法数 (3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果 跟踪训练 2 从1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)ax2bxc 的系数，可组成不同的二次 函数共_个，其中不同的偶函数共_个(用数字作答) 答案 18 6 解析 一个
8、二次函数对应着 a， b， c(a0)的一组取值， a 的取法有 3 种， b 的取法有 3 种， c 的取法有 2 种， 由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数 33218(个) 若二次函数为偶函数，则 b0.a 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶 函数 326(个) 三、两个原理的综合应用 例 3 现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画 (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解 (
9、1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法根据分类加法计数原理，共有 52714(种)不同的选法 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种，2 种，7 种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有 527 70(种)不同的选法 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 5210(种)不同的选 法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714(种)不同的选法 所以共有 10351459(种)不同的选法 反思感
10、悟 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分 成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤， 然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理 跟踪训练 3 如图，甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地 有 2 条水路可走从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解 要从甲地到丙地共有两类不同的方案： 第 1 类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成： 第 1 步，从甲地到乙地，有 3 条公路可走； 第 2 步，从乙地到丙地，有 2 条公路可走 根据分
11、步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有 326(种)不同的走法 第 2 类，从甲地不经乙地到丙地，有 2 条水路可走，即有 2 种不同的走法 由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有 628(种)不同的走法 1从 A 地到 B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发 3 次，火车发 4 次，轮船发 2 次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( ) A1113 B3429 C34224 D以上都不对 答案 B 2从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( ) A6 B5 C3 D2 答案 B 3现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选 法种数为( ) A7 B64 C12 D81 答案 C 4用 1,2,3 这三个数字能写出_个没有重复数字的两位偶数 答案 2 5一个袋子里放有 6 个球，另一个袋子里放有 8 个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有 _种不同的取法 答案 48 1知识清单： (1)分类加法计数原理 (2)分步乘法计数原理 2方法归纳：分类讨论 3常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误