1、6 6. .2.22.2 排列数排列数 学习目标 1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题 知识点一 排列数的定义 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 列数，用符号 Am n表示 思考 排列与排列数相同吗？ 答案 排列数是元素排列的个数，两者显然不同 知识点二 排列数公式及全排列 1排列数公式的两种形式 (1)Am nn(n1)(n2)(nm1)，其中 m，nN *，并且 mn. (2)Am n n！ nm！. 2全排列：把 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，全
2、排列数为 Annn！(叫 做 n 的阶乘)规定：0！1. 1A23_. 答案 6 2A2n132，则 n_. 答案 12 3Ax520，则 x_. 答案 2 4甲、乙、丙三人站成一排，共有_种不同站队方式(用排列数表示) 答案 A33 5.A 3 7 A38_. 答案 5 8 一、排列数公式的应用 命题角度 1 利用排列数公式求值 例 11 计算：A315和 A66. 解 A3151514132 730， A66654321720. 命题角度 2 利用排列数公式化简 例 12 (1)用排列数表示(55n)(56n)(69n)(nN*且 n55)； (2)化简：n(n1)(n2)(n3)(nm)
3、 解 (1)55n,56n，69n 中的最大数为 69n，且共有(69n)(55n)115(个)数， (55n)(56n)(69n)A15 69n. (2)由排列数公式可知 n(n1)(n2)(n3)(nm)Am 1 nm. 命题角度 3 利用排列数公式证明 例 13 求证：Am n1A m nmA m1 n . 证明 Am n1A m n n1！ n1m！ n！ nm！ n！ nm！ n1 n1m1 n！ nm！ m n1m m n！ n1m！mA m1 n ， Am n1A m nmA m1 n . 反思感悟 排列数公式的选择 (1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数 (2)排列数公式的
4、阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的 性质，提取公因式，可以简化计算 跟踪训练 1 不等式 Ax86Ax 2 8 的解集为( ) A2,8 B2,6 C(7,12) D8 答案 D 解析 由 Ax86Ax 2 8 ，得 8！ 8x！6 8！ 10 x！， 化简得 x219x840，解得 7x12， 又 x8， x20， 所以 2x8， 由及 xN*，得 x8. 二、排队问题 命题角度 1 “相邻”与“不相邻”问题 例 21 3 名男生，4 名女生，这 7 个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)男、女各站在一起； (2)男生必须排在一起
5、； (3)男生不能排在一起； (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把 3 名男生进行全排列，有 A33种排法， 女生必须站一起，即把 4 名女生进行全排列，有 A44种排法， 全体男生、女生各看作一个元素全排列有 A22种排法， 由分步乘法计数原理知，共有 A33 A44 A22288(种)排法 (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列， 故有 A33 A55720(种)不同的排法 (3)(不相邻问题插空法)先排女生有 A44种排法，把 3 名男生安排在 4 名女生隔成的五个空中，有 A35种排法， 故有 A
6、44 A351 440(种)不同的排法 (4)先排男生有 A33种排法，让女生插空，有 A33A44144(种)不同的排法 命题角度 2 定序问题 例 22 7 人站成一排 (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？ 解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有A 7 7 A222 520(种)不同的排法 (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的 1 A33. 故有A 7 7 A33840(种)不同的排法 命题角度 3 元素的“在”与
7、“不在”问题 例 23 从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一列，求解下列问题 (1)甲不在首位的排法有多少种？ (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？ (4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？ 解 (1)方法一 把元素作为研究对象 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他 6 名同学中选出 5 名放在 5 个位置上，有 A56种排法 第二类，含有甲，甲不在首位，先从 4 个位置中选出 1 个放甲，再从甲以外的 6 名同学中选出 4 名排在没 有甲的位置上，有 A46种排法根据分步乘法计数原理，有 4A46种
8、排法 由分类加法计数原理知，共有 A564A462 160(种)排法 方法二 把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 1 名排在首位，有 A16种方法； 第二步，从占据首位以外的 6 名同学中选 4 名排在除首位以外的其他 4 个位置上，有 A46种方法 由分步乘法计数原理知，共有 A16 A462 160(种)排法 方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从 7 人中选出 5 人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有 A57种，甲在首位的情况有 A46种，所以符合要求的排法有 A57A46 2 160(种) (2)把位置作为研究对象，先考虑特殊
9、位置 第一步，从甲以外的 6 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置上，有 A26种方法； 第二步，从剩下的 5 名同学中选 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法 根据分步乘法计数原理，共有 A26 A351 800(种)方法 (3)把位置作为研究对象 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法； 第二步，从剩下的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法 根据分步乘法计数原理，共有 A25 A351 200(种)方法 (4)间接法 总的可能情况有 A57种，减去甲在首位的 A46种排法，再减去乙在末位的 A46种排法
10、，注意到甲在首位，同时 乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次 A35种排法，所以共有 A572A46A351 860(种)排法 反思感悟 排队问题的解题策略 排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题 (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决即将相邻的元素视为一个整体进行排列 (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中 (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数 (4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决 跟踪训练 2 三个女生
11、和五个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 解 (1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起， 所以可以先把她们看成一个整体， 这样同五个男生合在一起共 有六个元素， 排成一排有 A66种不同的排法， 对于其中的每一种排法， 三个女生之间又有 A33种不同的排法 因 此共有 A66 A334 320(种)不同的排法 (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个
12、空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位 置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有 A55种不同排法，对于其 中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有 A36种排法，因此共有 A55 A3614 400(种) 不同的排法 (3)方法一 (位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有 A25种不同的排 法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有 A66种不同的排法，所以共有 A25 A6614 400(种)不 同的排法 方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一
13、排共有 A88种不同的排法， 从中扣除女生排在首位的 A13 A77种排 法和女生排在末位的 A13 A77种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣 除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有 A23 A66种不同的排法， 所以共有 A882A13 A77A23 A6614 400(种)不同的排法 方法三 (元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有 A36种不同的排法，对于其中的任意一 种排法，其余五个位置又都有 A55种不同的排法，所以共有 A36 A5514 400(种)不同的排法 (4)方法一 (位置分析法)因为只
14、要求两端不都排女生， 所以如果首位排了男生， 那么末位就不再受条件限制 了， 这样可有A15 A77种不同的排法； 如果首位排女生， 有A13种排法， 那么末位就只能排男生， 这样可有A13 A15 A66 种不同的排法，因此共有 A15 A77A13 A15 A6636 000(种)不同的排法 方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有 A88种不同的排法， 从中扣除两端都是女生的排法 A23 A66 种，就得到两端不都是女生的排法种数因此共有 A88A23 A6636 000(种)不同的排法 1A39等于( ) A93 B93 C987 D9876543 答案 C 289909192
15、100 可表示为( ) AA10 100 BA 11 100 CA 12 100 DA 13 100 答案 C 解析 8990919210012100 1288 100！ 88！ A12 100. 33 位老师和 3 名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为( ) A144 B72 C36 D12 答案 A 解析 先将老师排好，有 A33种排法，形成 4 个空，将 3 名学生插入 4 个空中，有 A34种排法，故共有 A33A34 144(种)排法 4.A 6 7A 5 6 A45 _. 答案 36 解析 A67A56 A45 76A 4 56A 4 5 A45 36. 5用 1,2,3,4,5,6,7 组成没有重复数字的七位数，若 1,3,5,7 的顺序一定，则有_个七位数符合条件 答案 210 解析 若 1,3,5,7 的顺序不定，则 4 个数字有 A4424(种)排法，故 1,3,5,7 的顺序一定的排法只占全排列种数 的 1 24.故有 1 24A 7 7210(个)七位数符合条件 1知识清单： (1)排列数、排列数公式 (2)全排列、阶乘、0！1. (3)排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题) 2方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法 3常见误区：忽视 Am n中“n，mN *”这个条件