1、6 6. .3.23.2 二项式系数的性质二项式系数的性质 学习目标 1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和 知识点 二项式系数的性质 对称性 在(ab)n的展开式中， 与首末两端“等距离”的两个二项式 系数相等，即 Cm nC nm n 增减性 与最 大值 增减性：当 kn1 2 时，二项式系数是逐渐减小的最大值：当 n 为偶数时，中 间一项的二项式系数 2 C n n 最大；当 n 为奇数时，中间两项的 二项式系数 1 2 C n n ， 1 2 C n n 相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C0nC1nC2nCnn2n； (2)C0nC2nC4nC1n
2、C3nC5n2n 1 思考 若(ab)n的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值可以为多少？ 答案 n7 或 8 或 9. 1令 f(r)Crn(0rn，且 rN)，则 f(r)的图象关于直线 rn 2对称( ) 2二项展开式中各项系数和等于二项式系数和( ) 3二项展开式的二项式系数和为 C1nC2nCnn.( ) 4二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( ) 一、二项展开式的系数和问题 例 1 已知(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值： (1)a0a1a2a5； (2)|a0|a1|a2|a5|； (3)a1a3a5. 解 (1)令 x
3、1，得 a0a1a2a51. (2)令 x1，得35a0a1a2a3a4a5. 由(2x1)5的通项 Tk1Ck5(1)k 25 k x5k， 知 a1，a3，a5为负值， 所以|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243. (3)由 a0a1a2a51， a0a1a2a535， 得 2(a1a3a5)135， 所以 a1a3a513 5 2 121. 延伸探究 在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0a2a4； (2)a1a2a3a4a5； (3)5a04a13a22a3a4. 解 (1)因为 a0a1a2a51， a0a1a2a535. 所以 a0a2a413 5 2 1
4、22. (2)因为 a0是(2x1)5的展开式中 x5的系数， 所以 a02532. 又 a0a1a2a51， 所以 a1a2a3a4a531. (3)因为(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5， 所以两边求导数得 10(2x1)45a0 x44a1x33a2x22a3xa4. 令 x1 得 5a04a13a22a3a410. 反思感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令 x1 即可，对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式的各项 系数之和，只需令
5、xy1 即可 (2)一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0a2a4f1f1 2 ， 偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1 2 . 跟踪训练 1 已知(x22x3)10a0a1(x1)a2(x1)2a20(x1)20. (1)求 a2的值； (2)求 a1a3a5a19的值； (3)求 a0a2a4a20的值 解 (x22x3)10a0a1(x1)a2(x1)2a20(x1)20， 令 x1t，展开式化为(t24)10a0a1ta2t2a20t20. (1)a2C910(4)94910. (2)令 t1，得 a0a
6、1a2a20310， 令 t1，得 a0a1a2a20310， a1a3a5a190. (3)由(2)得 a0a2a4a20310. 二、二项式系数性质的应用 例 2 已知 f(x)( 3 x23x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项 解 令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之 和为 2n. 由题意知，4n2n992.(2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)或 2n32，n5. (1)由于 n5 为奇数， 展开式中二项式系数
7、最大的项为中间的两项，它们分别为 T3C25( 2 3 x)3 (3x2)290 x6， T4C35( 2 3 x)2 (3x2)3 22 3 270 x. (2)展开式的通项公式为 Tk1Ck5 3k 2(5 2 ) 3 k x ， 假设 Tk1项系数最大，则有 Ck53kCk 1 5 3k 1， Ck53kCk 1 5 3k 1， 5！ 5k！k！3 5！ 6k！k1！， 5！ 5k！k！ 5！ 4k！k1！3， 即 3 k 1 6k， 1 5k 3 k1， 7 2k 9 2， kN，k4， 展开式中系数最大的项为 T5C45 2 3 x(3x2)4 26 3 405x. 反思感悟 (1)
8、二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的 n 进行讨论 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； 当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大 (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化 情况进行分析如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设 展开式中各项系数分别为 A0，A1，A2，An，且第 k1 项最大，应用 AkAk1， AkAk1， 解出 k， 即得出系数的最大项 跟踪训练 2 已知 x 2 x2 n(nN*)的展开式中第 5 项的系数与
9、第 3 项的系数的比是 101. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含 3 2 x的项； (3)求展开式中系数的绝对值最大的项 解 x 2 x2 n的展开式的通项是 T k1C k n( x) nk 2 x2 k(2)kCk n 5 2 nk x (0kn， kN)， T5T4124C4n 10 2 n x ，T3T2122C2n 5 2 n x . 2 4C4 n 22C2n 10 1 ， n25n240，解得 n8 或 n3(舍去) (1)令 x1，则 x 2 x2 8(12)81， 即所求各项系数的和为 1. (2)展开式的通项为 Tk1(2)kCk8 8 5 2 k x
10、(0k8，kN) 令85k 2 3 2，解得 k1， 展开式中含 3 2 x的项为 T2T11(2)1C18 3 2 x 3 2 16x. (3)展开式的第 k 项、第 k1 项、第 k2 项的系数的绝对值分别为 Ck 1 8 2k 1，Ck 82 k，Ck1 8 2k 1. 若第 k1 项的系数绝对值最大， 则有 Ck 1 8 2k 1Ck 82 k， Ck82kCk 1 8 2k 1， 解得 5k6， 故系数的绝对值最大的项为第 6 项和第 7 项， 即 T61 792 17 2 x ，T71 792x 11. 1已知(ax1)n的展开式中，二项式系数的和为 32，则 n 等于( ) A5
11、 B6 C7 D8 答案 A 2(多选) x1 x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项 答案 BC 解析 由于 n11 为奇数，则展开式中第111 2 项和第111 2 1 项，即第 6 项和第 7 项的二 项式系数相等，且最大 3设(2x)6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6，则 a0a1a2a3a4a5a6等于 ( ) A4 B71 C64 D199 答案 C 解析 (2x)6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6，令 x0，a0a1a2a3a4 a5a62664. 4. x1 x 10的展开式的各项系数的和为_ 答案 0 5(2x1)6的展开式中各项系数的和为_；各项的二项式系数的和为_ 答案 1 64 解析 令 x1，得各项系数的和为 1；各二项式系数之和为 2664. 1知识清单： (1)二项式系数的性质 (2)赋值法求各项系数的和 2方法归纳：一般与特殊、函数与方程 3常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项