1、7 7. .3.23.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散 型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法， 会利用公式求它们的方差 知识点一 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量 X 的分布列如表所示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 我们用 X 所有可能取值 xi与 E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2，(xnE(X)2，关 于取值概率的加权平均， 来度量随机变量 X 取值与其均值 E(X)的偏离程度 我们称 D(X)(x1
2、 E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn i1 n (xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差 (variance)，有时也记为 Var(X)，并称 DX为随机变量 X 的标准差(standard deviation)，记为 (X) 知识点二 离散型随机变量方差的性质 1设 a，b 为常数，则 D(aXb)a2D(X) 2D(c)0(其中 c 为常数) 1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定( ) 2若 a 是常数，则 D(a)0.( ) 3离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度( ) 4若 a，b 为常数，则 Daxba Dx.( ) 一、求离散型随机
3、变量的方差 例 1 袋中有 20 个大小相同的球， 其中记上 0 号的有 10 个， 记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4) 现 从袋中任取一球 表示所取球的标号 (1)求 的分布列、均值和方差； (2)若 ab，E()1，D()11，试求 a，b 的值 解 (1) 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 则 E()01 21 1 202 1 103 3 204 1 51.5. D()(01.5)21 2(11.5) 21 20(21.5) 21 10(31.5) 23 20(41.5) 21 52.75. (2)由 D()a2D()，得 a22
4、.7511，得 a 2. 又由 E()aE()b，得 1.5ab1， 所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2； 当 a2 时，由 121.5b，得 b4. 所以 a2， b2 或 a2， b4 即为所求 反思感悟 (1)求离散型随机变量方差的步骤 理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值； 求出 X 取每个值的概率； 写出 X 的分布列； 计算 E(X)； 计算 D(X) (2)线性关系的方差计算：若 ab，则 D()a2D() 跟踪训练 1 已知随机变量 的分布列如下表： 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 (1)求 E()，D()， D； (2)设 23，求 E()，D()
5、 解 (1)E()(1)1 20 1 31 1 6 1 3， D() 11 3 21 2 01 3 21 3 11 3 21 6 5 9， D 5 3 . (2)E()2E()37 3，D()4D() 20 9 . 二、方差的应用 例 2 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： A 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 B 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，A，B分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于 120，试 比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(
6、哪一个的稳定性较好) 解 E(A)1100.11200.21250.41300.11350.2125. E(B)1000.11150.21250.41300.11450.2125. D(A) 0.1(110 125)2 0.2(120 125)2 0.4(125 125)2 0.1(130 125)2 0.2(135125)250. D(B) 0.1(100 125)2 0.2(115 125)2 0.4(125 125)2 0.1(130 125)2 0.2(145125)2165. 由此可见 E(A)E(B)，D(A)D(Y)， 所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次 数相
7、同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护 条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些 三、分布列、均值、方差的综合应用 例 3 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一 次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为1 3， 3 4. (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前 3 次投篮中，乙投篮的次数为 X，求 X 的分布列、均值及标准差 解 (1)P1 3 2 3 2 3 3 4 13 18. (2)由题意，得 X 的所有可能取值为 0,1,2， P(X0)1 3 1 3 1 9. P(X1)1 3
8、 2 3 2 3 1 4 7 18， P(X2)2 3 3 4 1 2. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 9 7 18 1 2 E(X)01 91 7 182 1 2 25 18， D(X) 025 18 21 9 125 18 27 18 225 18 21 2 149 324. (X) DX 149 18 . 反思感悟 处理综合问题的方法 第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立 第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率 第三步：列分布列，并计算均值及方差 跟踪训练 3 有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上 0,1,2，现
9、从中 任意抽取一张， 将其上数字记作 x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作 y， 令 Xxy， 求： (1)X 所取各值的分布列； (2)随机变量 X 的均值与方差 解 (1)由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,4. “X0”是指两次取的卡片上至少有一次为 0，其概率为 P(X0)12 3 2 3 5 9， “X1”是指两次取的卡片上都标着 1，其概率为 P(X1)1 3 1 3 1 9， “X2”是指两次取的卡片上一个标着 1，另一个标着 2，其概率为 P(X2)21 3 1 3 2 9， “X4”是指两次取的卡片上都标着 2，其概率为 P(X4)1 3 1 3 1 9. 则
10、 X 的分布列为 X 0 1 2 4 P 5 9 1 9 2 9 1 9 (2)E(X)05 91 1 92 2 94 1 91， D(X)(01)25 9(11) 21 9(21) 22 9(41) 21 9 16 9 . 1设随机变量 X 的方差 D(X)1，则 D(2X1)的值为( ) A2 B3 C4 D5 答案 C 解析 D(2X1)4D(X)414. 2有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 株的分蘖数据，计算出样本均值 E(X甲)E(X乙)， 方差分别为 D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估计( ) A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C甲、乙两种
11、水稻分蘖整齐程度相同 D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 答案 B 3(多选)下列说法中错误的是( ) A离散型随机变量 X 的均值 E(X)反映了 X 取值的概率的平均值 B离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平 C离散型随机变量 X 的均值 E(X)反映了 X 取值的平均水平 D离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的概率的平均值 答案 ABD 解析 E(X)反映了 X 取值的平均水平，D(X)反映了 X 取值的离散程度 4已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示，若 E(X)0，D(X)1，则 a_，b _. X 1 0 1 2 P a b c 1 12 答案 5 12 1 4 解析 由题意知 abc11 12， ac1 60， ac1 31， 解得 a 5 12， b1 4， c1 4. 5随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(0)1 5，E()1，则 D()_. 答案 2 5 解析 设 P(1)a，P(2)b， 则 1 5ab1， a2b1， 解得 a3 5， b1 5， 所以 D()1 5 3 50 1 51 2 5. 1知识清单： (1)离散型随机变量的方差、标准差 (2)离散型随机变量的方差的性质 2方法归纳：转化化归 3常见误区：方差公式套用错误