1、6.26.2 排列与组合排列与组合 6 6. .2.12.1 排排 列列 学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题 知识点一 排列的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 知识点二 排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同 (2)元素的排列顺序也相同 1123 与 321 是相同的排列( ) 2同一个排列中，同一个元素不能重复出现( ) 3在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化( ) 4从 4 个不同元素中任取 3 个元素
2、，只要元素相同得到的就是相同的排列( ) 一、排列的概念 例 1 判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互打电话 解 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题 (5)每个人的职务不同，
3、例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题 (6)A 给 B 打电话与 B 给 A 打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题 反思感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 跟踪训练 1 判断下列问题是否为排列问题： (1)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合 M1,2，9中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程x 2 a2 y2 b2 1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方
4、程x 2 a2 y2 b21? (3)平面上有 5 个点，其中任意三个点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选 3 个 座位安排三位客人是排列问题 (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题 若方程x 2 a2 y2 b21 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 ab，a，b 的大小关系一定； 在双曲线x 2 a2 y2 b21 中，不管 ab 还是 ab，方程 x2 a2 y2 b21 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲 线，故是排列问题 (3)确定直线不是排列问题，确
5、定射线是排列问题 二、画树形图写排列 例 2 将 A，B，C，D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且 A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法 解 树形图(如图)： 由树形图知，所有排法有 BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA. 反思感悟 树形图的画法 (1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位 (2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类 (3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止 跟踪训练 2 (1)从 1,2,3,4 四
6、个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列 解 (1)由题意作树形图，如图 故所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个 (2)由题意作树形图，如图 故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd， cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有 24 个 三、简单的排列问题 例 3 (1)有 7 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名
7、同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2)有 7 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 解 (1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个排列，所以共有 765210(种)不同的送法 (2)从 7 种不同的书中买 3 本书， 这 3 本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理， 共有 777343(种) 不同的送法 反思感悟 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分 析法求解 跟踪训练 3 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇
8、江、南京，铁路部门应为沪宁线 上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为( ) A15 B30 C12 D36 答案 B 解析 对于两个大站 A 和 B，从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站 和一个终点站，因此，每张火车票对应从 6 个不同元素(大站)中取出 2 个不同元素(起点站和终点站)的一种 排列，故不同的火车票有 6530(种) (2)3 盆不同品种的花排成一排，共有_种不同的排法 答案 6 解析 共有 3216(种)不同的排法 1(多选)下面问题中，不是排列问题的是( ) A由 1,2,3 三个数字组成无重复数字的三位数 B从
9、 40 人中选 5 人组成篮球队 C从 100 人中选 2 人抽样调查 D从 1,2,3,4,5 中选 2 个数组成集合 答案 BCD 解析 选项 A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项 B，C，D 只需取出元素即可，与元素的排列顺 序无关 2从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( ) A甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B甲乙丙、乙丙甲 C甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D甲乙、甲丙、乙丙 答案 C 解析 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下 6 种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、 丙甲、丙乙 3从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学，每人一本，则不同的送书方法的种
10、数为( ) A5 B10 C20 D60 答案 C 解析 不同的送书种数为 5420. 4从 1,2,3,4 这 4 个数字中选出 3 个数字构成无重复数字的三位数有_个 答案 24 5有 8 种不同的菜种，任选 4 种种在不同土质的 4 块地里，有_种不同的种法 答案 1 680 解析 将 4 块不同土质的地看作 4 个不同的位置， 从 8 种不同的菜种中任选 4 种种在 4 块不同土质的地里， 则本题即为从 8 个不同元素中任选 4 个元素的排列问题，所以不同的种法共有 87651 680(种) 1知识清单： (1)排列的定义：顺序性 (2)“树形图”法列举排列 (3)排列的简单应用 2方法归纳：数形结合 3常见误区：排列的定义不明确