1、第七章第七章 随机变量及其分布随机变量及其分布 章末复习课章末复习课 一、条件概率与全概率公式 1求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间 ，先计算 P(A)和 P(AB)，再利用 P(B|A) PAB PA 求解；另一种是缩小样本空间，即以 A 为样本空间计算 AB 的概率 2掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养 例 1 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7.飞机被一人击 中而击落的概率为 0.2，被两人击中而击落的概率为 0.6，若三人都击中，飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率 解 设 B“飞机被击落”，Ai“飞机被 i
2、 人击中”，i1,2,3，则 BA1BA2BA3B， 依题意，P(B|A1)0.2，P(B|A2)0.6，P(B|A3)1. 由全概率公式 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)， 为求 P(Ai)，设 Hi“飞机被第 i 人击中”，i1,2,3，可求得： P(A1)P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3)， P(A2)P(H1H2H3H1H2H3 H1H2H3)， P(A3)P(H1H2H3)， 将数据代入计算得 P(A1)0.36，P(A2)0.41，P(A3)0.14， 于是 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3
3、)P(B|A3)0.360.20.410.60.141 0.458. 即飞机被击落的概率为 0.458. 反思感悟 条件概率的计算要注意以下三点 (1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率 (2)明确 P(A)，P(B|A)以及 P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化 (3)理解全概率公式 P(A) i1 n P(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想 跟踪训练 1 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为 4 或 6 时，两颗骰子的点数之积大 于 20 的概率是( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 5 答案 B 解析 记事件 A“红色骰子的点数为 4 或 6”， 事件 B“
4、两颗骰子的点数之积大于 20” P(A)12 36 1 3，P(AB) 4 36 1 9， P(B|A)PAB PA 1 9 1 3 1 3. 二、n 重伯努利试验及二项分布 1n 重伯努利试验是相互独立事件的延伸，其试验结果出现的次数 XB(n，p)，即 P(Xk) Cknpk(1p)n k. 2学习该部分知识重点提升数学建模及数学运算的核心素养 例 2 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知 只有 5 发子弹， 第一次命中只能使汽油流出， 第二次命中才能引爆， 每次射击是相互独立的， 且命中的概率都是2 3. (1)求油灌被引爆的概率； (2)如果引爆或
5、子弹打光则停止射击，设射击次数为 ，求 不小于 4 的概率 解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是射击 5 次只击中一次或 一次也没有击中，故该事件的概率为 PC152 3 1 3 4 1 3 5， 所以所求的概率为 1P1 C152 3 1 3 4 1 3 5 232 243. (2)当 4 时，记事件为 A， 则 P(A)P(4)C132 3 1 3 22 3 4 27， 当 5 时，意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件 B. 则 P(B)P(5)C142 3 1 3 3 1 3 41 9， 所以所求概率为 P(AB)P(A)P(B) 4 27
6、1 9 7 27. 反思感悟 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的 (2)各次试验中的事件是相互独立的 (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 (4)随机变量是这 n 重伯努利试验中某事件发生的次数 跟踪训练 2 一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H 病毒”的药物，经 试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为1 2， 1 3，现已进入药物临床试用阶段，每个试用 组由 4 位该病毒的感染者组成，其中 2 人试用甲种抗病毒药物，2 人试用乙种抗病毒药物， 如果试用组中， 甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种
7、抗病毒药物的治愈人数， 那么称该组为“甲 类组” (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； (2)观察 3 个试用组，用 表示这 3 个试用组中“甲类组”的个数，求 的分布列和均值 解 (1)设 Ai表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有 i 人”，i0,1,2，Bj 表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有 j 人”，j0,1,2， 依题意有 P(A1)21 2 1 2 1 2， P(A2)1 2 1 2 1 4， P(B0)2 3 2 3 4 9， P(B1)21 3 2 3 4 9， 故一个试用组为“甲类组”的概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)4 9
8、1 2 4 9 1 4 4 9 1 4 4 9. (2) 的可能取值为 0,1,2,3，且 B 3，4 9 ， 则 P(0)C03 14 9 3125 729， P(1)C13 4 9 14 9 2100 243， P(2)C23 4 9 2 14 9 80 243， P(3)C33 4 9 364 729， 故 的分布列为 0 1 2 3 P 125 729 100 243 80 243 64 729 B 3，4 9 ，E()34 9 4 3. 三、离散型随机变量的均值与方差 1均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随 机变量所取的值相对于它的均值的集中
9、与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的 应用比较广泛 2掌握均值和方差的计算，重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养 例 3 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2 3， 中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为2 5，中奖可以得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有 一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品 (1)若小明选择方案甲抽奖， 小红选择方案乙抽奖， 记他们的累计得分为 X， 求 X3 的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖， 累计得分的均值较大？ 解 (1)由已知得，
10、 小明中奖的概率为2 3， 小红中奖的概率为 2 5， 两人中奖与否互不影响， 记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A，则 A 事件的对立事件为“X5” P(X5)2 3 2 5 4 15， P(A)1P(X5)11 15， 这两人的累计得分 X3 的概率为11 15. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为 E(3X2)， 由已知，X1B 2，2 3 ，X2B 2，2 5 ， E(X1)22 3 4 3，E(X2)2 2 5 4 5. E(2X1)2
11、E(X1)8 3，E(3X2)3E(X2) 12 5 . E(2X1)E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大 反思感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 可能的全部取值 (2)求 X 取每个值的概率或求出函数 P(Xk) (3)写出 X 的分布列 (4)由分布列和均值的定义求出 E(X) (5)由方差的定义，求 D(X)，若 XB(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)np，D(X)np(1 p) 跟踪训练 3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀， 且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六个数字) (1)设随机变量
12、表示一次掷得的点数和，求 的分布列； (2)若连续投掷 10 次，设随机变量 表示一次掷得的点数和大于 5 的次数，求 E()，D() 解 (1)由已知，随机变量 的取值为 2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为 0， 则 0的分布列为 0 1 2 3 P 1 6 1 3 1 2 所以 P(2)1 6 1 6 1 36， P(3)21 6 1 3 1 9， P(4)21 6 1 2 1 3 1 3 5 18， P(5)21 3 1 2 1 3， P(6)1 2 1 2 1 4. 故 的分布列为 2 3 4 5 6 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 (2)由已知，满足条件
13、的一次投掷的点数和取值为 6，设某次发生的概率为 p，由(1)知，p1 4. 因为随机变量 B 10，1 4 ， 所以 E()np101 4 5 2， D()np(1p)101 4 3 4 15 8 . 四、正态分布 1正态分布是连续型随机变量 X 的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计 学中的 3 原则在生产生活中有广泛的应用 2熟记正态分布的特征及应用 3 原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观 想象、数据分析的素养 例 4 在某校举行的数学竞赛中， 全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布 N(70,100) 已 知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 1
14、2 人 (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？ (2)若成绩在 80 分以上(含 80 分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 解 (1)设参赛学生的成绩为 X，因为 XN(70,100)， 所以 70，10. 则 P(X90)P(X50)1 21P(50X90) 1 21P(2X2) 1 2(10.954 5) 0.022 75， 12 0.022 75527(人) 因此，此次参赛学生的总数约为 527 人 (2)由 P(X80)P(X60)1 21P(60X80) 1 21P(X) 1 2(10.682 7) 0.158 65， 5270.158 6584(人) 因此，此次竞赛
15、成绩为优的学生约为 84 人 反思感悟 正态曲线的应用及求解策略 (1)正态曲线是轴对称图形，常借助其对称性解题 (2)正态分布的概率问题常借助，2，2，3，3三个区间内的 概率值求解 (3)注意正态曲线与频率分布直方图的结合 跟踪训练 4 为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少 居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准 点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况 正常、非节假日的情况下，乘客候车时间 X 满足正态分布 N(，2)在公交车准点率正常、 交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查
16、了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所 示的频率分布直方图 (1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计 ，2的值； (2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一 次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了 该站的 10 名乘客的候车时间，发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 分钟，试判断该天公交 车准点率是否正常，说明理由 (参考数据： 19.24.38， 21.44.63， 26.65.16， 0.841 370.298 3,0.841 360.354 6,0.158 730.004 0，
17、0.158 740.000 6，P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5， P(314.38)1P0.003， 准点率正常 1(2020 全国)在一组样本数据中，1,2,3,4 出现的频率分别为 p1，p2，p3，p4，且 i1 4 pi1， 则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) Ap1p40.1，p2p30.4 Bp1p40.4，p2p30.1 Cp1p40.2，p2p30.3 Dp1p40.3，p2p30.2 答案 B 解析 X的可能取值为1,2,3,4， 四种情形的均值E(X)1p12p23p34p4都为2.5， 方差 D(X)1E(X)2p12E(X)2p23
18、E(X)2p34E(X)2p4，标准差为 DX. A 选项的方差 D(X)0.65； B 选项的方差 D(X)1.85； C 选项的方差 D(X)1.05； D 选项的方差 D(X)1.45. 所以选项 B 的情形对应样本的标准差最大 2(2018 全国)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独 立设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则 p 等于( ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 答案 B 解析 由题意可知，10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二项分布，即 XB(10，p)，所 以 D(X)1
19、0p(1p)2.4，所以 p0.4 或 0.6. 又因为 P(X4)P(X6)， 所以 C410p4(1p)6C610p6(1p)4，所以 p0.5， 所以 p0.6. 3(2019 全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队 获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲 队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 答案 0.18 解析 记事件 M 为甲队以 41 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队 胜三场负一场，所以 P(M)0.6(0.620.
20、5220.60.40.522)0.18. 4 (2017 全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随机 抽取 16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(，2) (1)假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3， 3)之外的零 件数，求 P(X1)及 X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检
21、验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 995 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 1026 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 x 1 16 i1 16 xi9.97，s 1 16 i1 16 xi x 2 1 16 i1 16 x2i16 x 20.212，其中 x i为 抽取的第 i 个零件的尺寸，i1,2，16. 用样本平均数 x 作为 的估计值 ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查？剔除( 3 ， 3 )之外的数据， 用剩下的数据估计 和 (精
22、确到 0.01) 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z3)0.997 3,0.997 3160.957 7， 0.0080.09. 解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率约为 0.997 3，从而零件的尺寸在 (3，3)之外的概率约为 0.002 7，故 XB(16,0.002 7) 因此 P(X1)1P(X0)10.997 3160.042 3. X 的数学期望 E(X)160.002 70.043 2. (2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有 0.002 7，一天内抽 取的 16 个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有
23、 0.042 3，发生的概率很 小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常 情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 由 x 9.97，s0.212，得 的估计值为 9.97， 的估计值为 0.212，由样本数据可 以看出有一个零件的尺寸在( 3 ， 3 )之外，因此需对当天的生产过程进行检查 剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 1 15(169.979.22)10.02. 因此 的估计值为 10.02. i1 16 x2i160.2122169.9721 591.134. 剔除( 3 ， 3 )之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 1 15(1 591.1349.22 2 1510.022)0.008， 因此 的估计值为 0.0080.09.