1、7 7. .4.24.2 超几何分布超几何分布 学习目标 1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系 知识点 超几何分布 1定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽取 n 件 (不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(Xk)C k MC nk NM CnN ，km，m1，m2，r. 其中 n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布 2均值：E(X)nM N . 1超几何分布是不放回抽样( ) 2超几何分
2、布的总体是只有两类物品( ) 3超几何分布与二项分布的均值相同( ) 4超几何分布与二项分布没有任何联系( ) 一、超几何分布的辨析 例 1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由 (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是 6 的骰子的个数记为 X，求 X 的分布列； (2)有一批种子的发芽率为 70%，任取 10 颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记 为 X，求 X 的分布列； (3)盒子中有红球 3 只，黄球 4 只，蓝球 5 只，任取 3 只球，把不是红色的球的个数记为 X， 求 X 的分布列； (4)某班级有男生 25 人，女生 20 人选派 4 名学生参加学校组织的活动，班长
3、必须参加，其 中女生人数记为 X，求 X 的分布列； (5)现有 100 台平板电脑未经检测，抽取 10 台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数 记为 X，求 X 的分布列 解 (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题 (3)(4)符合超几何分布的特征， 样本都分为两类， 随机变量 X 表示抽取 n 件样本某类样本被抽 取的件数，是超几何分布 (5)中没有给出不合格产品数，无法计算 X 的分布列，所以不属于超几何分布问题 反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象 (2)是否为不放回抽样 (3)随机变量是否为样本中其中一
4、类个体的个数 跟踪训练 1 (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( ) A在 10 件产品中有 3 件次品，一件一件地不放回地任意取出 4 件，记取到的次品数为 X B从 3 台甲型彩电和2 台乙型彩电中任取2 台，记X 表示所取的2 台彩电中甲型彩电的台数 C一名学生骑自行车上学，途中有 6 个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量 X D从 10 名男生，5 名女生中选 3 人参加植树活动，其中男生人数记为 X 答案 ABD 解析 依据超几何分布模型定义可知，ABD 中随机变量 X 服从超几何分布而 C 中显然不 能看作一个不放回抽样问题，故随机变量 X 不服从超几何分布 二、超几何
5、分布的概率 例 2 某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中 学推荐了 3 名男生、 4 名女生， 两校所推荐的学生一起参加集训 由于集训后队员水平相当， 从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列 解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有 6 人 代表队中的学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 3 3C 3 4 C3
6、6C36 1 100. 因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 1 100 99 100. (2)根据题意，知 X 的所有的可能取值为 1,2,3. P(X1)C 1 3C 3 3 C46 1 5， P(X2)C 2 3C 2 3 C46 3 5， P(X3)C 3 3C 1 3 C46 1 5. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤 跟踪训练 2 现有来自甲、乙两班学生共 7 名，从中任选 2 名都是甲班的概率为1 7. (1)求 7 名学生中甲班的学生数； (2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 ，求 1
7、的概率 解 (1)设甲班的学生人数为 M，则C 2 M C27 MM1 42 1 7， 即 M2M60，解得 M3 或 M2(舍去) 7 名学生中甲班的学生共有 3 人 (2)由题意可知， 服从超几何分布 P( 1)P(1)p(2)C 1 3C 1 4 C27 C 2 3C 0 4 C27 4 7 1 7 5 7. 三、超几何分布与二项分布间的关系 例 3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况， 随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的质量(单位： 克)， 质量的分组区间为(490,495， (495， 500， ， (510,515， 由此得到样本的频率分布直方图如图
8、(1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量； (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件， 设 X 为质量超过 505 克的产品数量， 求 X 的分布列， 并求其均值； (3)从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列 解 (1)质量超过 505 克的产品的频率为 50.0550.010.3， 所以质量超过 505 克的产品数量为 400.312(件) (2)质量超过 505 克的产品数量为 12 件，则质量未超过 505 克的产品数量为 28 件，X 的取值 为 0,1,2，X 服从超几何分布 P(X0)C 2 28 C240
9、 63 130，P(X1) C112C128 C240 28 65， P(X2)C 2 12 C240 11 130， X 的分布列为 X 0 1 2 P 63 130 28 65 11 130 X 的均值为 方法一 E(X)0 63 1301 28 652 11 130 3 5. 方法二 E(X)212 40 3 5. (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 505 克的概率为12 40 3 10. 从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 重伯努利试验，质量超过 505 克的件数 Y 的可能取值为 0,1,2，且 YB 2， 3 10 ， P(Yk)Ck2
10、3 10 k 1 3 10 2k，k0,1,2， P(Y0)C02 7 10 249 100， P(Y1)C12 3 10 7 10 21 50， P(Y2)C22 3 10 2 9 100. Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 49 100 21 50 9 100 反思感悟 二项分布与超几何分布的关系 在 n 次试验中，某事件 A 发生的次数 X 可能服从超几何分布或二项分布 区别 当这 n 次试验是 n 重伯努利试验时(如有放 回摸球)，X 服从二项分布； 当 n 次试验不是 n 重伯努利试验时(如不放 回摸球)，X 服从超几何分布 联系 在不放回 n 次试验中，如果总体数量 N 很大，
11、而试验次数 n 很小，此时超几何分布可近似 转化成二项分布如本例(3) 跟踪训练 3 (1)100 件产品中有10 件次品， 从中有放回地任取5 件， 求其中次品数 的分布列； (2)某批数量较大的商品的次品率为10%， 从中任意地连续抽取5 件， 求其中次品数 的分布列 解 (1)任取一件得到次品的概率为 10 1000.1，有放回的取出 5 件，相当于 5 重伯努利试验， 故 B(5,0.1)，所以 的分布列为 0 1 2 3 4 5 P 0.590 49 0.328 05 0.072 9 0.008 1 0.000 45 0.000 01 (2)由于商品数量较大，从中只抽取 5 件，故
12、的分布列近似地为 的分布列 1(多选)下列随机事件中的随机变量 X 不服从超几何分布的是( ) A将一枚硬币连抛 3 次，正面向上的次数 X B从 7 名男生与 3 名女生共 10 名学生干部中选出 5 名优秀学生干部，选出女生的人数为 X C某射手的命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中目标的次数为 X D盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次 数 答案 ACD 解析 由超几何分布的定义可知仅 B 是超几何分布，故选 ACD. 2在 100 张奖券中，有 4 张能中奖，从中任取 2 张，则 2 张都能中奖的概率是( ) A. 1 5
13、0 B. 1 25 C. 1 825 D. 1 4 950 答案 C 解析 记 X 为 2 张中的中奖数，则 P(X2)C 2 4C 0 96 C2100 1 825. 3从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中任意抽出 5 张，则至少有 3 张是 A 的概率为( ) A.C 3 4C 2 48 C552 B.C 3 48C 2 4 C552 C1C 1 48C 4 4 C552 D.C 3 4C 2 48C 4 4C 1 48 C552 答案 D 解析 设 X 为抽出的 5 张扑克牌中含 A 的张数，则 P(X3)P(X3)P(X4)C 3 4C 2 48 C552 C44C148 C552
14、. 4盒子里有 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为 ，则 E()_. 答案 6 5 解析 E()23 5 6 5. 5某 12 人的兴趣小组中，有 5 名“三好学生”，现从中任意选 6 人参加竞赛，用 X 表示这 6 人中“三好学生”的人数，则当 X 取_时，对应的概率为C 3 5C 3 7 C612 . 答案 3 解析 由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的 C35可以看出“从 5 名三好学生中选取 了 3 名” 1知识清单： (1)超几何分布的概念及特征 (2)超几何分布的均值 (3)超几何分布与二项分布的区别与联系 2方法归纳：类比 3常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样