1、三明市三明市 2020-2021 学年第二学期普通高中期末质量检测学年第二学期普通高中期末质量检测 高一数学试题高一数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要 求的. 1.青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况， 该校三个年级的学生人数如下表： 年级 高一 高二 高三 人数 550 500 450 已知在抽取的样本中，高二年级有 20 人，那么该样本中高三年级的人数为（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 2.用斜二测画法画水平放置的ABC的直观图ABC 如图所
2、示，则在ABC的三边及中线AD中，最 长的线段是（ ） A.AB B.AD C.BC D.AC 3.下列结论正确的是（ ） A.事件 A 发生的概率 P A是 01P A B.若事件 A 发生的概率 0.999P A ，则事件 A 是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人治疗， 结果有 380 人有明显的疗效， 现有胃溃疡的病人服用此药， 则有明显疗效的可能性为 76% D.某奖券中奖率为 0.5，若某人购买此券 10 张，则一定有 5 张中奖 4.若某同学连续 3 次考试的名次（3 次考试均没有出现并列名次的情况）均不低于第 3 名，则称该同学为班 级的尖子生.根据甲、乙、丙
3、、丁四位同学过去连续 3 次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（ ） A.甲同学：平均数为 2，方差小于 1 B.乙同学：平均数为 2，众数为 1 C.丙同学：中位数为 2，众数为 2 D.丁同学：众数为 2，方差大于 1 5.设 D，E 分别为ABC两边BC，CA的中点，则ADEB（ ） A. 1 2 AC B. 3 2 AC C. 1 2 AB D. 3 2 AB 6.袋子中有大小、形状、质地完全相同的 4 个小球，分别写有“风” 、 “展” 、 “红” 、 “旗”四个字，若有放回 地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红” 、 “旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生 1 到
4、4 之间取整数值的随机数，用 1，2，3，4 分别代表“风” 、 “展” 、 “红” 、 “旗”这四个字，以每三个随机数 为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下 20 组随机数： 411 231 324 412 112 443 213 144 331 123 114 142 111 344 312 334 223 122 113 133 由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（ ） A. 1 10 B. 3 20 C. 1 5 D. 1 4 7.如图，在三棱锥PABC中，点 D，E 分别为棱PB，BC的中点.若点 F 在线段AC上，且满足/AD平 面PEF，则 AF FC 的值
5、为（ ） A.1 B.2 C. 1 2 D. 2 3 8.ABC中，若5ABAC，6BC ，点 E 满足 21 155 CECACB，直线CE与直线AB相交于点 D，则cosADE（ ） A. 10 10 B. 3 10 10 C. 10 10 D. 3 10 10 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9.从 1 至 9 这 9 个自然数中任取两个，有如下随机事件： A=“恰有一个偶数” ，B=“恰有一个奇数” ， C=“至少有一个是奇数” ，D=“两个
6、数都是偶数” ， E=“至多有一个奇数”. 下列结论正确的有（ ） A.AB B.BC C.DE D.CD ，CD 10.下列命题正确的是（ ） A.若0a b ，则0a 或0b B.已知3,4a ，0,1b ，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为0,4 C.若0a b ，则向量a，b的夹角为钝角 D.设 1 e， 2 e是同一平面内两个不共线的向量，则 12 2aee， 12 2bee可作为该平面的一个基底 11.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E，F 分别是棱 11 C D， 11 AD上的动点. 给出下面四个命题，其中正确的是（ ） A./EF AC B.直线AF与直
7、线CE所成角的最大值是 3 C.若直线AF与直线CE相交，则交点在直线 1 DD上 D.若直线AF与直线CE相交，则二面角EACD的平面角的最小正切值为2 12.在ABC中，90ABC，3AB ，1BC ，P 为ABC内一点，90BPC，下列结论正 确的是（ ） A.若 1 2 PB ，则 13 2 PA B.若150APB，则 3 4 PB PC C.BPC的面积的最大值为 1 4 D.ABP的面积的取值范围是 3 3 0, 8 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 a 为实数，若复数 2 42zaai为纯虚数，则a_. 14.2021 年 1 月 1 日
8、起， 三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作， 生活垃圾需按照 “可回收物” 、 “有害垃圾” 、 “厨余垃圾” 、 “其他垃圾”的标准进行分类投放.若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地 投放到四个分类垃圾桶中的两个，则两袋垃圾均投放准确的概率为_. 15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现 了数学的对称美.如图，是一个棱长为 1 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该正方 体的棱长为_；半正多面体的表面积为_. 16.已知正三棱锥ABCD的底面是边长为3的正三角形， 其外接球O的表面积为16， 且点A到底面
9、BCD 的距离小于外接球 O 的半径，E 为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在复平面内，O 为坐标原点，复数 1 3zi， 2 13zi 所对应的向量分别为OA，OB. （1）求 2 1 z z 所对应的点 C 的坐标； （2）求 AOB BOC S S 的值. 18.（12 分） 三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BCC B是边长为3的菱形， 111 2ACBC， 11 AB 平面 11 BCC B，E， F 分别是AC， 1 BB的中点. （1）求证：/
10、EF平面 11 ABC； （2）求直线 11 AC与平面 11 ABC所成的角. 19.（12 分） 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sincosabCC. （1）求 B； （2）若1a ， 6 C ，求ABC的面积. 20.（12 分） 为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从 3 道 选择题、2 道填空题中随机抽取 2 道题作答，若甲每道题答对的概率为 2 3 ，乙每道题答对的概率为 3 4 ，且 甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.求： （1）甲至少抽到 1 道填空题的概率； （2）甲答对的题数比乙多的
11、概率. 21.（12 分） 已知 A，B 两家公司的员工月均工资情况如下： （1）以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平，根据图 1 估计 A 公司员工月均工资的平均数、中 位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请简要说明理由. （2）小明拟到 A，B 两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公 司？ 22.（12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60BAD，PAD是正三角形，E 为线段AD 的中点，0PFFC. （1）求证：平面PBC 平面PBE； （2）是否存在点 F，使得 5 8 B PAED PFB VV ？
12、若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）若平面PAD 平面ABCD，在平面PBE内确定一点 H，使CHFH的值最小，并求此时 BH BP 的 值. 三明市三明市 2020-2021 学年第二学期普通高中期末质量检测学年第二学期普通高中期末质量检测 高一数学参考答案及评分细则高一数学参考答案及评分细则 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给
13、分数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再给分. 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1.A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分. 9.ABD 10.BD 11.BCD 12.BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 13.2 14. 1 2 15.2 1；12 12 22 3 1
14、6. 22 88 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解： （1）因为 1 3zi， 2 13zi ， 所以 2 1 133 1331 223 33 ii zi i zi ii ，.3 分 所以点 C 的坐标为 3 1 , 22 .5 分 （2）依题意 3,1OA， 1, 3OB ， 3 1 , 22 OC ， 所以 1 2 OCOA，.7 分 所以2 AOB BOC OA S S OC .10 分 18.解法一： （1）证明： 如图，取BC的中点 G，连接EG，FG， 则/EG AB， 1 /FG BC， 11 /AB AB， 11
15、/EG AB, EG 平面 11 ABC， 11 AB 平面 11 ABC， /EG平面 11 ABC； FG 平面 11 ABC， 1 BC 平面 11 ABC，/FG平面 11 ABC；.4 分 又EGFGG，EG，FG 平面EFG，平面/EFG平面 11 ABC； EF 平面EFG，/EF平面 11 ABC.6 分 （2）解：设 1 BC与 1 BC交于点 H，连接 1 AH， 侧面 11 BCC B是边长为3的菱形， 111 2ACBC， 11 BCHC， 1 1B H ， 1 2HC ； 11 AB 平面 11 BCC B， 1 HC 平面 11 BCC B， 111 ABHC， 1
16、111 BCABB， 1 BC， 11 AB 平面 11 ABC， 1 HC 平面 11 ABC， 11 C AH为直线 11 AC与平面 11 ABC所成的角；.9 分 1 AH 平面 11 ABC， 11 HCAH； 又 1 2HC ， 11 2AC ， 11 2 sin 2 C AH， 11 4 C AH ，即直线 11 AC与平面 11 ABC所成的角为 4 .12 分 解法二： （1）如图，取 1 AC的中点I，连接EI， 1 B I，则 1 /EI AA， 1 1 2 EIAA， 11 /BBAA， 1 /EI BB， 11 1 2 EIBBB F， 四边形 1 EFB I是平行四
17、边形， 1 /EF B I，.4 分 EF 平面 11 ABC， 1 B I 平面 11 ABC，/EF平面 11 ABC.6 分 （2）同解法一.12 分 19.解： （1）sincosabCC， 由正弦定理 sinsin ab AB 得，sinsinsincosABCC，.1 分 sinsinsincosBCBCC， sincoscossinsinsinsincosBCBCBCBC，.3 分 cossinsinsinBCBC， cossinBB，tan1B ， 又0,B， 4 B ；.5 分 （2） 7 12 ABC ，.6 分 62 sin 4 A .8 分 由正弦定理 sinsin a
18、c AC 得， sin62 sin2 aC c A ，.10 分 1162231 sin1 22224 ABC SacB .12 分 20.解： （1）记 3 道选择题的题号为 1，2，3， 2 道填空题的题号为 4，5， 则试验的样本空间 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5，.2 分 共有 10 个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 记事件 A=“甲至少抽到 1 道填空题” ，则 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5A，.4 分 所以， 7n A
19、，.5 分 所以， 7 10 n A P A n . 因此，甲至少抽到 1 道填空题的概率为 7 10 .6 分 （2）设 1 A， 2 A分别表示甲答对 1 道题，2 道题的事件 0 B， 1 B分别表示乙答对 0 道题，1 追题的事件，根据独立性假定，得 1 21124 33339 P A， 2 224 339 P A. 0 111 4416 P B， 1 31133 44448 P B.9 分 记事件 B= “甲答对的题数比乙多” ， 则 102021 BABA BA B， 且 10 AB， 20 A B， 21 A B两两互斥， 1 A与 0 B， 2 A与 0 B， 2 A与 1 B
20、分别相互独立，所以 102021 P BP ABP A BP A B 102021 P A P BP A P BP A P B.10 分 4141432 916916989 . 因此，甲答对的题数比乙多的概率为 2 9 .12 分 21.解： （1）A 公司员工月均工资的平均数为 0.3 0.18 0.5 0.29 0.7 0.3 0.9 0.21 29 0.02 1.178（万元）.2 分 由 A 公司员工月均工资的扇形图知，在 0.6 万元以下的比例为 0.18 0.290.47 A 公司员工月均工资在 0.8 万元以下的比例为 0.18 0.29 0.30.77 A 公司员工月均工资的中
21、位数为 0.50.47 0.60.20.62 0.770.47 （万元）.4 分 用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平. 理由：因为平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，该公司少数员工的月收入很 高，在这种情况下平均数明显右偏，并不能较好的反映普通员工的收入水平，而中位数不受少数极端数据 的影响，可以较好的反映普通员工的收入水平.6 分 （2）B 公司员工月均工资的平均数为 0.3 0.375 0.5 0.75 0.7 2.75 0.9 1 1.1 0.1250.20.69 （万元） 由 B 公司员工月均工资的频率分布直方图知，在 0.6 万元以下的比例为 0.3750
22、.750.20.225 B 公司员工月均工资在 0.8 万元以下的比例为 0.375 0.752.750.20.775 所以，B 公司员工月均工资的中位数为 0.50.225 0.60.20.7 0.7750.225 （万元）.9 分 小明应选择 B 公司应聘. 理由：B 公司员工工资数据较为集中，月工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平， B 公司员工月工资（万元）平均数为 0.69，中位数为 0.7 均大于反映 A 公司普通员工的收入水平的中位数 0.62，所以以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选 B 公司应聘.12 分 22.解： （1）证明：因为PAD是正
23、三角形，E 为线段AD的中点， 所以PEAD. 因为ABCD是菱形，所以ADAB. 因为60BAD， 所以ABD是正三角形， 所以BEAD，而BEPEE， 所以AD 平面PBE. 又/AD BC， 所以BC 平面PBE.3 分 因为BC 平面PBC 所以平面PBC 平面PBE.4 分 （2）由PFFC，知1PCPFFCFC.5 分 所以， 111 222 B PAEP ADBP BCDF BCD VVVV ， D PFBP BDCF BCCF BCD VVVV .7 分 因此， 5 8 B PAED PFB VV 的充要条件是 15 28 ， 所以，4. 即存在满足0PFFC的点 F，使得 5
24、 8 B PAED PFB VV ，此时4.8 分 （3）延长CB到 C ，使得BC BC ， 由（1）知CB平面PBE， 则 C 是点 C 关于面PBE的对称点，.9 分 在平面PBC中，过点 C 作CFPC ，垂足为 F，交PB于 H，则点 H 是使CHFH的值最小时，在平 面PBE上的一点.10 分 设2BCa，则3PEBEa， 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PEAD， 所以PE 平面ABCD，因为BE 平面ABCD， 所以PEBE，所以6PBa， 所以 2 tantan 6 BC BC HBPC PB ， 所以 4 tan 6 BHBCBC Ha， 所以 2 3 BH BP .12 分