1、 3.1 课时课时 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 一、单选题。本大题共一、单选题。本大题共 18 小题，每小题只有一个选项符合题意。小题，每小题只有一个选项符合题意。 1函数 2 34xx y x 的定义域为 A 4,1 B 4,0) C(0,1 D 4,0)(0,1 2以下四组函数中表示同一函数的是（ ） A ( ) |f xx ， 2 ( )g tt B 2 ( )f xx ， 2 ( )()g xx C 2 1 ( ) 1 x f x x ，( )1g xx D( )11f xxx ， 2 ( )1g xx 3已知 2 ( )f xxx，则 (1)f x 等于（ ） A 2 1x
2、x B 2 xx C 2 21xx D 2 2xx 4下列函数中，值域为1,的是（ ） A1yx B 1 1 y x C 2 1yx D 1 1 y x 5已知 ( )f x是一次函数，且(1)32f xx ，则 ( )f x解析式为( )f x （ ） A32x B3 5x C31x D32x 6已知函数 2 ( )4 , ,5f xxx xm 的值域是 5,4，则实数m的取值范围是（ ） A( , 1) B( 1,2 C 1,2 D2,5 7某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表 ，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再 增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y
3、与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=x(x表示不大 于 x 的最大整数)可以表示为 Ay 10 x B 3 y 10 x C 4 y 10 x D 5 y 10 x 8已知 2 ( )2018f xxx，若 ( )( )f mf n ，mn，则()f mn等于（ ） A2018 B2018 C0 D10020 二、多选题。本大题共二、多选题。本大题共 4 小题，每小题有两项或以上符合题意小题，每小题有两项或以上符合题意。 9已知 f(x)= 2 2 1 1 x x ，则 f(x)满足的关系有（ ） A ()( )fxf x B 1 f x = ( )f x C 1 f x =f(x)
4、 D 1 ()( )ff x x 10已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 V甲和 V乙(如图所示).那么对于图中给定的 t0和 t1，下列判断中一定正确的是（ ） A在 t1时刻，甲车的速度大于乙车的速度 Bt0时刻后，甲车的速度小于乙车的速度 C在 t0时刻，两车的位置相同 D在 t0时刻，甲车在乙车前面 11已知函数 2 2,1 , 12 xx f x xx ，关于函数 f x的结论正确的是（ ） A f x的定义域为R B f x的值域为( ,4) C若 ( )3f x ，则x的值是3 D ( )1f x 的解集为( 1,1) 1
5、2定义运算 () () a ab ab b ab ，设函数( )12 x f x ，则下列命题正确的有（ ） A ( )f x的值域为 1,) B ( )f x的值域为 (0,1 C不等式 (1)(2 )f xfx 成立的范围是(,0) D不等式 (1)(2 )f xfx 成立的范围是(0,) 三、填空题。本大题共三、填空题。本大题共 4 小题。小题。 13函数 2 1yaxax 的定义域为 R，则a _. 14设函数 2 2,0 ( ) ,0 x f x xbxc x ，若( 4)(0)ff，( 2)2f ，则 ( )f x的解析式为( )f x _ 15已知函数 f(x) 2 32,1,
6、,1, xx xax x 则 f（1）=_，若 f(f(0)=a，则实数 a=_. 16一个变量 y 随另一变量 x 变化对应关系是“2 倍加 1”： （1）填表 x 1 2 3 4 y （2）根据表格填空：2x时，y=_ （3）写出解析式：y=_ 四、解答题。本大题共四、解答题。本大题共 6 小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17 （1）已知 ( )yf x 的定义域为0,1，求函数 2 (1)yf x的定义域； （2）已知(21)yfx的定义域为0,1，求( )yf x的定义域； （3）已知函数( )yf x的定义域为
7、0,2，求函数 (2 ) ( ) 21 fx g x x 的定义域 18已知 f(x)= 1 2x (xR，x-2)，g(x)=x2+1(xR). (1)求 f(2)，g(2)的值； (2)求 f(g(3)的值； (3)作出 f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域. 19设 1 ( ) 1 x f x x ，求 1 ( )( )f xf x 的值 20在未实行大规模绿化造林之前，我国是世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，如图 1 表示我国土地 沙化总面积在 1950-2000 年的变化情况，由图 1 中的相关信息，试将上述有关年份中，我国从 1950-1970、 1970-1990、1990
8、-2000 年的平均土地沙化面积在图 2 中表示出来 21已知函数 | 122 2 xx f xx ，用分段函数的形式表示该函数. 22已知函数 2 2 1 x f x x . （1）求 1 2 2 f ， 1 3 3 ff 的值； （2）求证： 1 f xf x 是定值； （3）求 111 232012 232012 ffffff 的值 参考答案参考答案 1D 【解析】由 2 340 xx可得 / 41xx ，又因为分母0 x，所以原函数的定义域为 4,0)(0,1 2A 【解析】解：对于 A，两个函数的定义域为R，而 2 ( )| |g ttt ，所以这两个函数是同一个函数； 对于 B，
9、2 ( )f xx 的定义域为R，而 2 ( )()g xx的定义域为 0 x x ，定义域不相同，所以这两 个函数不是同一个函数； 对于 C， 2 1 ( ) 1 x f x x 的定义域为1x x ，而( )1g xx的定义域为R，定义域不相同，所以这两个 函数不是同一个函数； 对于 D，( )11f xxx 的定义域为1x x ， 而 2 ( )1g xx 的定义域为 , 11, ， 定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数； 故选：A 3B 【解析】解：因为 2 ( )f xxx， 所以 22 (1)(1)(1)f xxxxx 故选：B 4C 【解析】对于 A，当1x 时，01,y
10、，故 A 不符合题意； 对于 B，当0 x时，11,y ，故 B 不符合题意； 对于 C， 2 111yx ，满足题意； 对于 D，当5x 时， 11 1, 25 1 y ，故 D 不符合题意， 故选：C. 5C 【解析】因为 ( )f x是一次函数，所以设 ,0f xaxb a， 又因为(1)32f xx， 即32axabx， 所以 3 2 a ab ，解得 3 1 a b ， 所以( )f x 31x. 故选：C 6C 【解析】二次函数 2 4f xxx的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x时取得，而当5x 或1时， 5f x . 结合函数 ( )f x图象可知m的取值范围是 1
11、,2 故选:C 7B 【解析】根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别 为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为 3 10 x y ，也可以用特殊取值法，若56,5xy，排除 C，D，若57,6xy，排除 A，故选 B 8C 【解析】由( )( )f mf n知m，n关于抛物线 2 2018yxx的对称轴对称，故2018mn， (2018)0f 故选：C 9BD 【解析】因为 f(x)= 2 2 1 1 x x ， 所以()fx= 2 2 1 () 1 () x x = 2 2 1 1 x x (
12、 )f x ，即不满足 A 选项； 1 f x = 2 2 1 1 1 1 x x = 2 2 1 1 x x ， 1 f x =( )f x，即满足 B 选项，不满足 C 选项， 1 ()f x = 2 2 1 1 1 1 x x = 2 2 1 1 x x ， 1 ()( )ff x x ，即满足 D 选项 故选：BD 10BD 【解析】由图可知，当时间为 t1时，甲车的速度小于乙车的速度，所以选项 B 正确，选项 A 错误； t0时刻之前，甲车的速度一直大于乙车，时间相同的情况下，甲车行驶路程大于乙车行驶路程，故 t0时刻 甲车在乙车前面.所以选项 D 正确，选项 C 错误. 故选：BD
13、 11BC 【解析】由题意知函数 ( )f x的定义域为(,2) ，故 A 错误； 当1x时， ( )f x的取值范围是(,1 当12x 时， ( )f x的取值范围是0,4)， 因此 ( )f x的值域为(,4) ，故 B 正确； 当1x时，23x，解得1x （舍去)， 当12x 时， 2 3x ，解得3x 或3x （舍去） ，故 C 正确； 当1x时，21x，解得1x，当12x 时， 2 1x ，解得- 11x ， 因此( )1f x 的解集为(, 1)( 1,1) ，故 D 错误. 故选：BC 12AC 【解析】由函数( )12 x f x ，有 112 ( ) 212 x xx f x
14、 ， 即 2(0) ( ) 1(0) x x f x x ，作出函数 ( )f x的图像如下， 根据函数图像有 ( )f x的值域为1,)，所以 A 选项正确，B 选项错误. 若不等式(1)(2 )f xfx成立，由函数图像有 当210 xx 即1x时成立， 当 20 10 x x 即10 x 时也成立. 所以不等式(1)(2 )f xfx成立时，0 x.所以 C 选项正确，D 选项错误. 故选：AC. 13|0 4aa 【解析】因为任意xR，根式 2 1axax 恒有意义，所以 2 10axax 的解集为 R， 即不等式 2 10axax 在 R 上恒成立. 当0a时，1 0 恒成立，满足题
15、意； 当0a时， 2 0 40 a aa ，解得04a， 综上， 04aaa 故答案为：|04aa 14 2 2,0 ( ) 42,0 x f x xxx ， 【解析】由题意，函数 2 2,0 ( ) ,0 x f x xbxc x ， 因为( 4)(0)ff，( 2)2f ，可得 2 2 4( 4) 2( 2)2 bcc bc ， 即 1640 260 b bc ，解得4,2bc， 所以函数的解析式为 2 2,0 ( ) 42,0 x f x xxx . 故答案为： 2 2,0 ( ) 42,0 x f x xxx 155 4 3 【解析】 2 32,1 ,1 xx f x xax x ，
16、13 1 25f ， 03 022f 所以 2 0222fffaa， 解得 4 3 a 故答案为：5， 4 3 16 （1）填表见解析； （2）41； （3）y=2x+1 【解析】解： （1）因为变量 y 随另一变量 x 变化，对应关系是“2 倍加 1”： 完整的表格如表所示： x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 （2）根据表格填空：2x时，2 2141y ； （3）根据题意，函数的解析式：y=2x+1 故答案为： （1）填表见解析； （2）41； （3）2x+1. 17 （1）0； （2） 1,1 ； （3） 11 0, )( ,1 22 . 【解析】 （1） 2 (1)yf x中的 2
17、 1x 的范围与 ( )yf x 中的 x 的取值范围相同 2 011x ， 0 x， 即 2 (1)yf x的定义域为0 （2）由题意知(21)yfx中的0,1x， 121 1 x. 又(21)yfx中21x的取值范围与( )yf x中的 x 的取值范围相同， ( )yf x的定义域为 1,1 （3）函数( )yf x的定义域为0,2， 由20,2x，得01x， (2 )yfx的定义域为0,1 又210 x ，即 1 2 x ， 函数 ( )yg x 的定义域为 11 0, )( ,1 22 . 18(1) 1 4 ，5；(2) 1 12 ；(3)图见解析，f(x)的值域为(-，0)(0，+
18、)，g(x)的值域为1，+). 【解析】(1)f(2)= 1 22 = 1 4 ，g(2)=22+1=5； (2)g(3)=32+1=10，f(g(3)=f(10)= 1 102 = 1 12 ； (3)函数 f(x)的图象如图： 函数 g(x)的图象如图： 观察图象得 f(x)的值域为(-，0)(0，+)，g(x)的值域为1，+). 190 【解析】 1 1 11 ( ) 1 1 1 x x f xx x ， 111 ( )( )0 11 xx f xf xxx . 20答案见解析 【解析】由题图 1 可知： 1950-1970：土地沙化面积增加了 3.2(万平方千米)， 年平均沙化面积为：
19、 3.2 20 0.16(万平方千米)=16(百平方千米) 1970-1990：土地沙化面积增加了 4.2(万平方千米)， 年平均沙化面积为： 4.2 20 0.21(万平方千米)=21(百平方千米) 1990-2000：土地沙化面积增加了 2.5(万平方千米)， 年平均沙化面积为： 2.5 10 0.25(万平方千米)=25(百平方千米) 如图： 21 1,02 1, 20 x f x xx . 【解析】因为 | 122 2 xx f xx ， 当20 x 时， 2 11 2 x f xx ； 当02x时， 1f x ； 综上， 1,02 1, 20 x f x xx . 22 （1）1；1； （2）证明见解析； （3）2011. 【解析】 （1） 2 2 1 x f x x ， 2 22 2222 1 12212 21 2121212 1 1 2 ff ， 2 22 222 1 13313 31 31 31 31 3 1 1 3 ff ; (2)证明： 2 2 1 x f x x ， 2 22 1 11 1 1 1 x f xx x ， 1 1f xf x ， (3)由(2)知 1 1f xf x ， 1 12,3,4,2012f ifi i 111 232012 232012 ffffff 2011.