1、 3.4 课时课时 函数的应用（一）函数的应用（一） 一、单选题。本大题共一、单选题。本大题共 18 小题，每小题只有一个选项符合题意。小题，每小题只有一个选项符合题意。 1某厂印刷某图书总成本 y（元）与图书日印量 x（本）的函数解析式为 y=5x+3000，而图书出厂价格为 每本 10 元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ） A200 本 B400 本 C600 本 D800 本 2某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售（即优惠 10%） ，仍可获利 10%（相对进货价） ，则该家具 的进货价是（ ） A118 元 B105 元 C106 元 D108 元 3面积为S的长方形的某
2、边长度为x，则该长方形的周长L与x的函数关系为（ ） A 0 S Lxx x B0 S LxxS x C 2 20 S Lxx x D 2 20 S LxxS x 4有一个长方形木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型 棱长的最大值为（ ） A2 B2 2 C4 D4 2 5 某企业2012年12月份的产值是这年1月份产值的P倍， 则该企业2012年度产值的月平均增长率为( ) A 1 P P B11P1 C11P D 1 11 P 6某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400平方米的三级污水处理池，如图 R31 所示.已知池 外墙造价为每米20
3、0元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元（池壁的厚度忽略 不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为 A40米，10 米 B20米，20 米 C30 米, 40 3 米 D50米，8 米 7如图，某池塘里浮萍的面积 y（单位： 2 m）与时间 1（单位：月）的关系为 t ya.关于下列说法： 浮萍每月的增长率为 1； 第 5 个月时，浮萍面积就会超过 2 30m； 浮萍每月增加的面积都相等； 若浮萍蔓延到 222 2,3,6mmm所经过的时间分别是 123 , ,t t t，则 123 ttt，其中正确的说法是（ ） A B C D
4、 8 某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)， 以后每 1 km价为 1.8元(不足 1 km按 1 km计价)， 则乘坐出租车的费用 y(元)与行驶的里程 x(km)之间的函数图像大致为( ) A B C D 二、多选题。本大题共二、多选题。本大题共 4 小题，每小题有两项或以上符合题意。小题，每小题有两项或以上符合题意。 9若函数 ( )f x的图像在 R 上连续不断，且满足(0)0f ，(1)0f，(2)0f，则下列说法错误的是 （ ） A ( )f x在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ( )f x在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，
5、2)上一定有零点 C ( )f x在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ( )f x在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 10某公司一年购买某种货物 900 吨，现分次购买，若每次购买 x 吨，运费为 9 万元/次，一年的总储存费 用为 4x 万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ） A10 x 时费用之和有最小值 B45x 时费用之和有最小值 C最小值为850万元 D最小值为360万元 11某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3km（不超过 3km 按起步价付费） ；超过 3km 但不超过 8km
6、时，超过部分按每千米 2.15 元收费：超过 8km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次 乘坐需付燃油附加费 1 元下列结论正确的是（ ） A出租车行驶 2km，乘客需付费 8 元 B出租车行驶 4km，乘客需付费 9.6 元 C出租车行驶 10km，乘客需付费 25.45 元 D某人乘出租车行驶 5km 两次的费用超过他乘出租车行驶 10km 一次的费用 E.某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了 9km 12某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取 固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷
7、费，甲厂的总费用 1 y（千元）乙 厂的总费用 2 y（千元）与印制证书数量 x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（ ） A甲厂的制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元 B甲厂的费用 1 y与证书数量 x 之间的函数关系式为 1 0.51yx C当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 1.5 元 D当印制证书数量超过 2 千个时，乙厂的总费用 2 y与证书数量 x 之间的函数关系式为 2 15 42 yx E.若该单位需印制证书数量为 8 千个，则该单位选择甲厂更节省费用 三、填空题。本大题共三、填空题。本大题共 4 小题。小题。 13某商人将彩电先按原价
8、提高 40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多 赚了 270 元，则每台彩电的原价为_元. 14如图，有一长30AM 米，宽20AN 米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要 求顶点C在地块对角线MN上，,B D分别在边,AM AN上，其他地方建停车场和路，设ABx米. 则矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为_. 15生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 2 1 ( )220 2 C xxx (万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数 量为_万件 16一个车辆制造厂引进
9、了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的 价值y（元）之间满足二次函数关系已知产量为0时，创造的价值也为 0；当产量为 55 辆时，创造的价 值达到最大 6050 元若这家工厂希望利用这条流水线创收达到 6000 元及以上，则它应该生产的摩托车数 量至少是 _ ； 四、解答题。本大题共四、解答题。本大题共 6 小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量 R 与管道半径 r 的四次方成正比 （1）写出函数解析式（可带参数） ； （2）假设气
10、体在半径为 3 cm 的管道中的流量为 400 cm3/s，求该气体通过半径为 r cm 的管道时，其流量 R 的表达式； 18某车间生产一种仪器的固定成本为 10 000 元，每生产一台该仪器需要增加投入 100 元，已知总收入满 足函数：H(x) 2 400,0200, 40000,200, xxxxN xxN 其中 x 是仪器的月产量. （1）将利润表示为月产量的函数(用 f(x)表示)； （2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入总成本利润) 19某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关系为：P 20,025, 100,2530
11、. tt tt (tN*)设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q40t(0t30，tN*)，求这种商品的日销 售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ 20某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售的这种产品的数量为 t(单位：百件)时， 销售所得的收入约为 2 1 5 2 tt(万元) （1）若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量 x 的函数； （2）当这种产品的年产量为多少时，当年所
12、得利润最大？ 21经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以 30 天计） ，顾客人数( )f t（千人）与时间t （天）的函数关系近似满足 1 ( )4f t t （*tN） ，人均消费( )g t（元）与时间t（天）的函数关系近似 满足 100 (17,*), ( ) 130(730,*). tttN g t tttN （1）求该商场的日收益( )w t（千元）与时间t（天） （130t ，*tN）的函数关系式； （2）求该商场日收益的最小值（千元） 22请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个 全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起
13、，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个 正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AEFBx cm. （1）某广告商要求包装盒的侧面积 2 S cm 最大，试问x应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积 3 V cm 最大，试问x应取何值？ 参考答案参考答案 1C 【解析】该厂为了不亏本，日印图书至少为 x 本， 则利润函数 f（x）=10 x-（5x+3000）0， 解得 x600 该厂为了不亏本，日印图书至少为 600 本 故选 C 2D 【解析】 设进货价为 a 元，由题意知 132 (110%)a10% a，解得 a108，
14、故选 D. 3C 【解析】由条件长方形的一边长度为x，且面积为S. 则另一边长为 S x ，且0 x. 所以该长方形的周长 2 20 S Lxx x . 故选：C. 4B 【解析】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为, ,a b c，则 8 12 24 ab ac bc ，故 2 4 6 a b c ， 若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型， 则该四面体的顶点必在长方体的面内， 过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体， 含正四面体的几何体必为正方体， 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长， 而从长方体切割出一个正方体，使得面对角线的长最大， 需以最小棱长2为切割后的正
15、方体的棱长切割才可， 故所求的正四面体模型棱长的最大值2 2. 故选：B. 5B 【解析】 设月平均增长率为 r,1 月份产值为 1， 则 2012 年 12 月的产值为： P1 (1r)11， 所以(1r)11P， 即 r11P 1，故选 B. 6C 【解析】设污水池的宽为x米，则长为 400 x 米，总造价为y， 则 400160000 200 222 25080 40090032000yxxx xx 160000 2 9003200056000 x x （元） ， 当且仅当 160000 900 x x 时，即当 40 3 x 时，总造价最低， 此时，污水池的宽为 40 3 米，长为30
16、米. 故选：C. 7C 【解析】图象过1,2点 1 2a，即2a 2ty 1 22 122 1 22 t tt tt 每月的增长率为1，正确； 当5t 时， 5 23230y ，正确； 第二个月比第一个月增加 22 21 222yym 第三个月比第二个月增加 322 3221 224yymyy ，错误； 1 22t ， 2 32t， 3 62t 12 log 2t， 22 log 3t ， 32 log 6t 122223 log 2log 3log 6ttt ，正确. 故选：C 8B 【解析】出租车起步价为 5 元（起步价内行驶的里程是3km). 0,3对应的值都是 5， 以后每1km价为1
17、.8元， 不足1km按1km计价， 34x 时， 5 1.86.8,y 45x时， 51.81.88.6y ，故选 B. 9ABD 【解析】由题知 010ff，所以根据函数零点存在定理可得 f x在区间0,1上一定有零点， 又 120ff，无法判断 f x在区间1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点 故选：ABD 10BD 【解析】一年购买某种货物 900 吨，若每次购买 x 吨，则需要购买 900 x 次，运费是 9 万元/次， 一年的总储存费用为4x万元， 所以一年的总运费与总储存费用之和为 900 94x x ， 因为 9008100 94242 180360 xx xx ，
18、当且仅当 8100 4x x ，即45x 时，等号成立， 所以当45x 时，一年的总运费与总储存费用之和最小为360万元， 故选：BD 11CDE 【解析】解：在A中，出租车行驶 2km，乘客需付起步价 8 元和燃油附加费 1 元，共 9 元，A错误；在B 中，出租车行驶 4km，乘客需付费8 1 2.15 1 11.15 元，B错误； 在C中，出租车行驶 10km，乘客需付费82.15 52.8510 8125.45 元，C正确； 在D中， 乘出租车行驶 5km， 乘客需付费8 2 2.15 1 13.30 元， 乘坐两次需付费 26.6 元，26.625.45， D正确； 在E中，设出租车
19、行驶xkm时，付费y元，由8 5 2.15 1 19.722.65 知8x ，因此由 82.15 52.858122.6yx ，解得9x，E正确 故选：CDE 12ABCD 【解析】由题图知甲厂制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元，故 A 正确； 甲厂的费用 1 y与证书数量 x 满足的函数关系为 1 0.51yx，故 B 正确； 当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为3 21.5 元，故 C 正确； 易知当2x 时， 2 y与 x 之间的函数关系式为 2 15 42 yx，故 D 正确 当8x 时， 12 159 0.5 8 15,8 422 yy ，因为 12
20、 yy，所以当印制 8 千个证书时，选择乙厂 更节省费用，故 E 不正确. 故选 ABCD 132250 【解析】设彩电的原价为 a 元，a(140%) 80%a270，0.12a270，解得 a2 250. 每台彩电的原价为 2 250 元. 故答案为：2250. 14 2 2 20030 3 Sxxx 【解析】解：在直角NAM中 N DC AM DN A ， 所以 20 3020 xAD ， 2 20 3 ADx， 2 22 (20)20030 33 Sxxxxx ， 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为 2 2 20030 3 Sxxx . 1518 【解析】设利润为( )L x
21、，则 2 1 ( )=20( )(18)142 2 L xxC xx ，当=18x时，( )L x有最大值， 故答案为：18. 1650 辆 【解析】由题意，设摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间满足二次函数 2 5560500ya xa,又0,0,2xya ， 故 2 22 2 0yxx， 则 2 22 2 06 0 0 0 xx， 解得5060 x， 故答案为 50 辆 17 （1） 4 0,0Rkkrr； （2） 4 400 0 81 Rrr. 【解析】(1)由于流量 R 与管道半径 r 的四次方成正比，所以函数解析式为 4 0,0Rkkrr (2)由 r3 cm，R400 cm3
22、/s，得 k 34400， 400 81 k ，流量 R 的表达式为 4 400 0 81 Rrr. 18 （1） 2 30010000,0200, 30000 100 ,200, xxxxN f x x xxN ； （2）每月生产 150 台仪器时，利润最大，最 大利润为 12 500 元. 【解析】(1)设每月产量为x台，则总成本为10000 100tx.又( )( )f xH xt， 2 30010000,0200, 30000 100 ,200, xxxxN f x x xxN (2)当0200 x时， 2 ( )(150)12500f xx ，所以当150 x 时，有最大值 12 5
23、00； 当200 x时，( )30000 100f xx是减函数，( )30000 100 20012500f x . 所以当150 x 时，f(x)取最大值，最大值为 12 500. 所以每月生产 150 台仪器时，利润最大，最大利润为 12 500 元. 19销售额的最大值为 1125 元，且在第 25 天时日销售金额达到最大 【解析】设日销售金额为 f t元，则 2040025, 10040,2530, ttttN f t ttttN ， 即 2 2 20800,025, 1404000,2530, ttttN f t ttttN ， 当025t 时， 2 20800f ttt，10t
24、时 f t有最大值 900； 当2530t 时， f t是减函数，25t 时 f t有最大值 1125. 综上所述，25t 时 f t有最大值 1125， 所以，第 25 天日销售金额最大，最大值为 1125 元. 20 （1）f(x) 2 1 4.750.5,05 2 120.25 ,5 xxx x x ； （2）475 件 【解析】 （1）当 05 时，产品只能售出 500 件 所以 2 2 1 50.50.25,05 2 1 5 550.50.25,5 2 xxxx f x xx , 即 f(x) 2 1 4.750.5,05 2 120.25 ,5 xxx x x . （2）当 05
25、时，f(x)120.25 510.75(万元) 故当年产量为 475 件时，当年所得利润最大 21 （1） 400100,17,*, ( ) 130 5194,730,*. tttN w t tttN t ； （2）1210 3 千元 【解析】 （1）根据该商场的日收益=顾客人数 人均消费的钱数得 w（t）与 t 的解析式； （2）根据第一问得 到 w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次 函数求出最值比较即可 （1） 400100,17,*, 130 5194,730,*. tttN w tf t g t tttN t （2）17t 时，
26、w t单调递增，最小值在1t 处取到， 1500w； 730t 时，519 4t单调递减，最小值在30t 时取到， 130 t 单调递减，最小值在30t 时取到，则 w t最小值为 1301210 30519 120 303 w， 由 1210 500 3 ，可得 w t最小值为1210 3 答：该商场日收益的最小值为 1210 3 千元 22 （1）15x ； （2）20 x= . 【解析】 （1）设包装盒的底面边长为a，高为h， 则由题意可得， 2ax ， 602 2 30 2 x hx ，其中030 x， 所以 2 483081518001800Sahxxx ， 因此，当15x 时，S取得最大值； （2）根据题意，由（1）有 2 2 2 26022 230030 2 Vxxxxx ， 6 220Vxx ，由由0V得，0 x（舍）或20 x=. 当0,20 x时，0V；当(20,30)x时，0V. 所以，函数 2 2 230Vxx在区间0,20上单调递增，在区间20,30上单调递减， 所以，当20 x=时，函数 2 2 230Vxx取得极大值，也是最大值.