1、第第 2 课时课时 函数的最大函数的最大(小小)值值 1设 M,m 分别是函数 f(x)在a,b上的最大值和最小值,若 Mm,则 f(x)( ) A等于 0 B小于 0 C等于 1 D不确定 答案 A 解析 因为 Mm,所以 f(x)为常数函数,故 f(x)0,故选 A. 2.已知函数 f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且 f(x)g(x),则 f(x)g(x) 的最大值为( ) Af(a)g(a) Bf(b)g(b) Cf(a)g(b) Df(b)g(a) 答案 A 解析 令 F(x)f(x)g(x),f(x)g(x), F(x)f(x)g(x)0, F(x)在a,b上
2、单调递减, F(x)maxF(a)f(a)g(a) 3函数 f(x)x33x1 在区间3,0上的最大值和最小值分别是( ) A1,1 B1,17 C3,17 D9,19 答案 C 解析 f(x)3x233(x1)(x1), 令 f(x)0,得 x 1. 又 f(3)279117,f(0)1, f(1)1313,13,0 所以函数 f(x)的最大值为 3,最小值为17. 4某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品若该商品零售价定为 P 元,销量为 Q,销量 Q(单位:件)与零售价 P(单位:元)有如下关系:Q8 300170PP2,则最大毛利 润为(毛利润销售收入进货支出)( ) A3
3、0 元 B60 元 C28 000 元 D23 000 元 答案 D 解析 设毛利润为 L(P) 则 L(P)PQ20Q (8 300170PP2)(P20) P3150P211 700P166 000, 所以 L(P)3P2300P11 700. 令 L(P)0,解得 P30 或 P130(舍去) 此时,L(30)23 000. 根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30 元时,最大毛利润为23 000 元 5(多选)函数 f(x)x33axa 在(0,1)内有最小值,则 a 的值可以为( ) A0 B.1 3 C. 1 2 D1 答案 BC 解析 f(x)3x23a,
4、且 f(x)0 有解,ax2. 又x(0,1),0a1. 6若函数 f(x)x33x 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 m,n,则 m_,n _. 答案 18 2 解析 f(x)3x23, 令 f(x)0,得 x1 或 x1(舍去) 又因为 x0,1)时,f(x)0, 所以当 x1 时,f(x)取得极小值 f(1)2. 又 f(0)0,f(3)18,所以 m18,n2. 7设 0x,则函数 y2cos x sin x 的最小值是_ 答案 3 解析 ysin 2x2cos xcos x sin2x 12cos x sin2x . 因为 0x, 所以当 3x0; 当 0x 3时,y1)在区间1
5、,1上的最大值为 1,最小值 为2,则 ab_,f(x)的解析式为_ 答案 1 3 f(x)x 32x21 解析 f(x)3x23ax3x(xa), 令 f(x)0 得 x10,x2a, 当 x1,0时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x(0,1时,f(x)0,f(x)单调递减, 所以 f(x)maxf(0)b1, 因为 f(1)3 2a,f(1)2 3 2a, 所以 f(x)minf(1)3 2a, 所以3 2a2,即 a 4 3, 所以 ab4 31 1 3, 所以 f(x)x32x21. 9求下列函数的最值: (1)f(x)sin xcos x,x 2, 2 ; (2)f(x)ln(
6、1x)1 4x 2,x0,2 解 (1)f(x)cos xsin x. 令 f(x)0,即 tan x1, 且 x 2, 2 , 所以 x 4. 又因为 f 4 2, f 2 1,f 2 1, 所以当 x 2, 2 时,函数的最大值为 f 4 2, 最小值为 f 2 1. (2)f(x) 1 1x 1 2x, 令 1 1x 1 2x0, 化简为 x2x20, 解得 x12(舍去),x21. 当 0 x0,f(x)单调递增; 当 1x2 时,f(x)0,f(1)f(2) 所以 f(0)0 为函数 f(x)ln(1x)1 4x 2在0,2上的最小值, f(1)ln 21 4为函数在0,2上的最大值
7、 10已知 a 为常数,求函数 f(x)x33ax(0 x1)的最大值 解 f(x)3x23a3(x2a) 若 a0,则 f(x)0,函数 f(x)单调递减, 所以当 x0 时,f(x)有最大值 f(0)0. 若 a0,则令 f(x)0,解得 x a. 因为 x0,1, 所以只考虑 x a的情况 (1)若 0 a1,即 0a1,则当 x a时,f(x)有最大值 f( a)2a a.(如下表所示) x 0 (0, a) a ( a,1) 1 f(x) 0 f(x) 0 2a a 3a1 (2)若 a1,即 a1,则当 0 x1 时,f(x)0,函数 f(x)在0,1上单调递增,当 x1 时, f
8、(x)有最大值 f(1)3a1. 综上可知,当 a0,x0 时,f(x)有最大值 0, 当 0a0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A(1,) B(,1) C1,) D(,1 答案 A 解析 f(x)ex1,令 f(x)0,解得 x0,令 f(x)0,解得 x0 恒成立,则 1a0,解得 a1,故选 A. 12下列关于函数 f(x)(2xx2)ex的判断正确的是( ) f(x)0 的解集是x|0x0 得 0x2,故正确 f(x)(2x2)ex, 令 f(x)0,得 x 2, 当 x 2时,f(x)0, 当 2x0, 当 x 2时,f(x)取得极小值, 当 x 2时,f(x)取得极大值,
9、故正确 当 x时,f(x)0,当 x时,f(x)0, 结合函数的单调性可知,函数 f(x)有最大值无最小值, 故不正确 13函数 f(x) 4x x21(x2,2)的最大值是_,最小值是_ 答案 2 2 解析 f(x)4x 214x2x x212 41x 2 x212 41x1x x212 , 令 f(x)0,得 x11,x21. 又 f(2)8 5,f(1)2,f(1)2,f(2) 8 5, f(x)max2,f(x)min2. 14.一个帐篷,它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥 (如图所示)当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为_ m 时,
10、帐篷的体积最大 答案 2 解析 设 OO1x m,则 1x4. 由题设可得正六棱锥底面边长为 32x12 82xx2. 于是底面正六边形的面积为 6 3 4 ( 82xx2)23 3 2 (82xx2) 帐篷的体积为 V(x)3 3 2 (82xx2) 1 3x11 3 2 (1612xx3) 则 V(x) 3 2 (123x2) 令 V(x)0,解得 x2(不合题意,舍去)或 x2. 当 1x0,V(x)单调递增; 当 2x4 时,V(x)1),若对于任意的 x1,1,都有 f(x)0 成立,则实数 a 的值为_ 答案 4 解析 由题意得,f(x)3ax23,当 a1 时,令 f(x)3ax
11、230,解得 x a a , a a 1,1 当1x0,f(x)单调递增; 当 a a x a a 时,f(x)0,f(x)单调递减; 当 a a x0,f(x)单调递增 所以只需 f a a 0,且 f(1)0 即可, 由 f a a 0,得 a a a 33a a 10,解得 a4, 由 f(1)0,可得 a4,综上可得 a4. 16已知函数 f(x)ln xa x. (1)当 a0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在1,e上的最小值是3 2,求 a 的值 解 函数 f(x)ln xa x的定义域为(0,), f(x)1 x a x2 xa x2 , (1)a0,
12、故函数在其定义域(0,)上单调递增 f(x)的单调递增区间为(0,),无单调递减区间 (2)当 x1,e时,分如下情况讨论: 当 a0,函数 f(x)单调递增,其最小值为 f(1)a1,这与函数在1,e上的最 小值是3 2相矛盾; 当 a1 时,函数 f(x)在1,e上单调递增,其最小值为 f(1)1,同样与最小值是3 2相矛盾; 当 1ae 时,函数 f(x)在1,a)上有 f(x)0,f(x)单 调递增, 函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1,由 ln a13 2,得 a e. 当 ae 时,函数 f(x)在1,e上有 f(x)0,f(x)单调递减,其最小值为 f(e)2,这与最小 值是3 2相矛盾; 当 ae 时,显然函数 f(x)在1,e上单调递减,其最小值为 f(e)1a e2,仍与最小值是 3 2相 矛盾 综上所述,a 的值为 e.