1、第五章第五章 一元函数的导数及其应用一元函数的导数及其应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要 求) 1.设曲线 y ln x x1在点(1，0)处的切线与直线 xay10 垂直，则 a( ) A.1 2 B.1 2 C.2 D.2 解析 由题意得，y（ln x）（x1）ln x（x1） （x1）2 11 xln x （x1）2(x0)，曲线在点(1，0)处的切线与直 线 xay10 垂直，2ln 1 4 a，解得 a1 2，故选 A. 答案 A 2.函数 yx42x25 的单调
2、减区间为( ) A.(，1)和(0，1) B.(1，0)和(1，) C.(1，1) D.(，1)和(1，) 解析 y4x34x4x(x21)，令 y1)有最大值4，则实数 a 的值是( ) A.1 B.1 C.4 D.4 解析 由函数 f(x) ax2 x1(x1)，则 f(x) 2ax（x1）ax2 （x1）2 ax（x2） （x1）2 ，要使得函数 f(x)有最大值4，则 a0，函数 f(x)在(1，2)上单调递增， 当 x(2，)时，f(x)0，函数 f(x)在(2，)上单调递减， 所以当 x2 时，函数 f(x)取得最大值，即 f(x)maxf(2) 4a 214，解得 a1，满足题意
3、，故选 B. 答案 B 5.已知函数 f(x)x 1 ax在(，1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是( ) A.1，) B.(，0)(0，1 C.(0，1 D.(，0)1，) 解析 由题意知 f(x)1 1 ax2，由于 f(x)在(，1)上单调递增，则 f(x)0 在(，1)上恒成立，即 1 a x2在(，1)上恒成立.当 x1，则有1 a1，解得 a1 或 a0.故选 D. 答案 D 6.函数 f(x)e |x| 3x的部分图象大致为( ) 解析 f(x)e |x| 3x，定义域为(，0)(0，)，f(x) e|x| 3x，则 f(x)f(x)，f(x)为奇函数，图象关于 原点对称，
4、故排除 B； f(1)e 30 时， 可得 f(x) （x1）ex 3x2 ， 当 x1 时， f(x)0， f(x)为增函数，故排除 D.故选 C. 答案 C 7.设 ae，b ln ，c 3 ln 3，则 a，b，c 大小关系是( ) A.acb B.bca C.cba D.cae 时，f(x)0，则 f(x)在(e，)上单调递增.又 e3， f(e)f(3)f()，即 e ln e 3 ln 3 ln ，故 ac0)， 则 f(x)1 2x 1 2 1 x x2 2x ， 当 x(0， 4)时， f(x)0，f(x)单调递增，且 f(4)2ln 420，f(e 2)e1ln e2 21
5、e0，结合函数零点存在定理可知函数在区间(0，4)上存在一个零点，在区间(4，)上也存在一个零 点，故方程 xln x20 的根的个数为 2.故选 C. 答案 C 二、 多项选择题(本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求， 全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的不得分) 9.已知函数 f(x)及其导函数 f(x)，若存在 x0，使得 f(x0)f(x0)，则称 x0是 f(x)的一个“巧值点”，则下列函 数中有“巧值点”的是( ) A.f(x)x2 B.f(x)e x C.f(x)ln x D.f(x)1 x 解析 A.f
6、(x)2x，由 x22x 得 x0 或 x2，有“巧值点”； B.f(x)e x，exex无解，无“巧值点”； C.f(x)1 x，方程 ln x 1 x有解，有“巧值点”； D.f(x) 1 x2，由 1 x 1 x2，得 x1，有“巧值点”. 答案 ACD 10.将 yf(x)和 yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( ) 解析 对于 A 选项，由函数 yf(x)的图象可知，f(0)0，但函数 yf(x)在 x0 处的切线斜率不存在，不 合乎题意； 对于 B 选项，由函数 yf(x)的图象可知，函数 yf(x)存在增区间，但 B 选项的图中，函数 yf(x)没有增区 间，不合
7、乎题意； 对于 C 选项，由函数 yf(x)的图象可知，函数 yf(x)在 R 上为增函数，合乎题意； 对于 D 选项，由函数 yf(x)的图象可知，函数 yf(x)有两个单调区间，但 D 选项的图中，函数 yf(x)有三 个单调区间，不合乎题意.故选：ABD. 答案 ABD 11.定义在区间 1 2，4 上的函数 f(x)的导函数 f(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A.函数 f(x)在区间(0，4)单调递增 B.函数 f(x)在区间 1 2，0 单调递减 C.函数 f(x)在 x1 处取得极大值 D.函数 f(x)在 x0 处取得极小值 解析 根据导函数图象可知，f(x)在区间
8、 1 2，0 上，f(x)0，f(x) 单调递增.所以 f(x)在 x0 处取得极小值，没有极大值.所以 A，B，D 选项正确，C 选项错误.故选 ABD. 答案 ABD 12.定义在(0，)上的函数 f(x)的导函数为 f(x)，且(x1)f(x)f(x)5 B.若 f(1)2，x1，则 f(x)x21 2x 1 2 C.f(3)2f(1)7 D.若 f(1)2，0xx21 2x 1 2 解析 设函数 g(x)f（x）x 2 x1 ， 则 g(x)f（x）2x（x1）（f（x）x 2） （x1）2 （x1）f（x）f（x）（x 22x） （x1）2 因为(x1)f(x)f(x)x22x，所以
9、 g(x)g(2)g(3)，整理得 2f(2)3f(1)5， f(3)2f(1)7，故 A 错误，C 正确. 当 0xg(1)1 2，即 f（x）x2 x1 1 2，即 f(x)x 2 1 2x 1 2.故 D 正确，从而 B 不正确. 即结论正确的是 CD，故选 CD. 答案 CD 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上) 13.已知函数 f(x)f 4 cos xsin x，则 f 4 的值为_. 解析 因为 f(x)f 4 sin xcos x， 所以 f 4 f 4 sin 4cos 4. 整理，得 f 4 21. 故由 f 4 f 4 c
10、os 4sin 4，解得 f 4 1. 答案 1 14.某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运 费 y2(单位：万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 km 处建仓库，y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么当仓库建在离车站_ km 处时，两项费用之和最小，最小费用为_万元.(本题第一 空 3 分，第二空 2 分) 解析 依题意，可设每月土地占用费 y1k1 x ，每月库存货物的运费 y2k2x，其中 x 是仓库到车站的距离， k1，k2是比例系数， 于是由 2k1 10，得 k120；由 810k2，得 k2 4
11、5. 因此，两项费用之和为 y20 x 4x 5 (x0)， y20 x2 4 5. 令 y0，得 x5 或 x5(舍去). 当 0 x5 时，y0；当 x5 时，y0， 因此，当 x5 时，y 取得极小值，也是最小值，其值为 8. 答案 5 8 15.当 x1，2时，x3x2xm 恒成立，则实数 m 的取值范围是_. 解析 记 f(x)x3x2x， 所以 f(x)3x22x1. 令 f(x)0，得 x1 3或 x1. 又因为 f 1 3 5 27，f(2)2，f(1)1，f(1)1， 所以当 x1，2时，f(x)max2，所以 m2. 答案 (2，) 16.法国数学家拉格朗日于 1797 年
12、在其著作解析函数论中给出一个定理：如果函数 yf(x)满足条件： (1)在闭区间a，b上是连续不断的； (2)在区间(a，b)上都有导数. 则在区间(a，b)上至少存在一个实数 t，使得 f(b)f(a)f(t)(ba)，其中 t 称为“拉格朗日中值”.函数 g(x) x2在区间0，1上的“拉格朗日中值”t_. 解析 因为 g(x)x2，所以 g(x)2x，结合“拉格朗日中值”定义可得 g(t)g（1）g（0） 10 1，所以 2t 1，即 t1 2. 答案 1 2 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设函数 f
13、(x)x3bx2cx(xR)，已知 g(x)f(x)f(x)是奇函数. (1)求 b，c 的值； (2)求 g(x)的单调区间. 解 (1)因为 f(x)x3bx2cx， 所以 f(x)3x22bxc. 从而 g(x)f(x)f(x) x3bx2cx(3x22bxc) x3(b3)x2(c2b)xc. 因为 g(x)是一个奇函数，且 xR， 所以 g(0)0，得 c0. 由奇函数的定义，得 b3. (2)由(1)，知 g(x)x36x， 从而 g(x)3x26. 令 g(x)0，得 x 2或 x 2； 令 g(x)0，得 2x 2. 所以(， 2)和( 2，)是函数 g(x)的单调递增区间，(
14、 2， 2)是函数 g(x)的单调递减区间. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ax 2x1 ex . (1)求曲线 yf(x)在点(0，1)处的切线方程； (2)证明：当 a1 时，f(x)e0. (1)解 f(x)ax 2（2a1）x2 ex ，f(0)2. 因此曲线 yf(x)在(0，1)处的切线方程是 2xy10. (2)证明 当 a1 时，f(x)e(x2x1ex 1)ex. 令 g(x)x2x1ex 1，则 g(x)2x1ex1. 当 x1 时，g(x)1 时， g(x)0，g(x)单调递增；所以 g(x)g(1)0. 因此 f(x)e0. 19.(本小题满分 12
15、分)设函数 f(x)a(x5)26ln x，其中 aR，f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与 y 轴相交 于点(0，6). (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 (1)f(x)a(x5)26ln x(x0)， f(x)2a(x5)6 x(x0). 令 x1，得 f(1)16a，f(1)68a， f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 y16a(68a)(x1). 切线与 y 轴相交于点(0，6)， 616a8a6，a1 2. (2)由(1)知，f(x)1 2(x5) 26ln x(x0)， f(x)(x5)6 x （x2）（x3） x (x0). 令
16、 f(x)0，得 x2 或 x3. 当 0x3 时，f(x)0，f(x)在区间(0，2)，(3，)上为增函数； 当 2x3 时，f(x)0； 当 x(1，0)时，f(x)0，g(x)为增函数， 而 g(0)0，从而当 x0 时，g(x)0，即 f(x)0. 若 a1，则当 x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而 g(0)0， 从而当 x(0，ln a)时，g(x)0，即 f(x)0，不符合题意. 综上，实数 a 的取值范围为(，1. 21.(本小题满分 12 分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 13 万元/ 辆.本年度为适应市场需求，计
17、划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为 x(0x0，f(x)是增函数； 当 x 5 9，1 时，f(x) 1 ex 1 2 e2x成立. (1)解 当 a1 时，f(x)xln xx，f(x)ln x2(x0). 由 f(x)0，得 x 1 e2. 当 x 0，1 e2 时，f(x) 1 e2时，f(x)0. 所以 f(x)在 0， 1 e2 上是减函数，在 1 e2， 上是增函数. 因此 f(x)在 x 1 e2处取得最小值， 即 f(x)minf 1 e2 1 e2. 显然，当 x时，f(x)，f(x)没有最大值. (2)证明 当 x0 时，ln x1 1 ex 1 2 e2x等价于 x(ln x1) x ex 1 2 e2. 由(1)知 a1 时，f(x)xln xx 的最小值是1 e2，当且仅当 x 1 e2时取等号. 设 g(x) x ex 1 2 e2，x(0，)， 则 g(x)1x ex 1，易知 g(x)maxg(1) 1 e2， 当且仅当 x1 时取到，从而可知对一切 x(0，)，都有 f(x)g(x)，即 ln x1 1 ex 1 2 e2x.