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第五章 一元函数的导数及其应用 章末检测卷(含答案)2021年新教材人教A版数学选择性必修第二册

1、第五章第五章 一元函数的导数及其应用一元函数的导数及其应用 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要 求) 1.设曲线 y ln x x1在点(1,0)处的切线与直线 xay10 垂直,则 a( ) A.1 2 B.1 2 C.2 D.2 解析 由题意得,y(ln x)(x1)ln x(x1) (x1)2 11 xln x (x1)2(x0),曲线在点(1,0)处的切线与直 线 xay10 垂直,2ln 1 4 a,解得 a1 2,故选 A. 答案 A 2.函数 yx42x25 的单调

2、减区间为( ) A.(,1)和(0,1) B.(1,0)和(1,) C.(1,1) D.(,1)和(1,) 解析 y4x34x4x(x21),令 y1)有最大值4,则实数 a 的值是( ) A.1 B.1 C.4 D.4 解析 由函数 f(x) ax2 x1(x1),则 f(x) 2ax(x1)ax2 (x1)2 ax(x2) (x1)2 ,要使得函数 f(x)有最大值4,则 a0,函数 f(x)在(1,2)上单调递增, 当 x(2,)时,f(x)0,函数 f(x)在(2,)上单调递减, 所以当 x2 时,函数 f(x)取得最大值,即 f(x)maxf(2) 4a 214,解得 a1,满足题意

3、,故选 B. 答案 B 5.已知函数 f(x)x 1 ax在(,1)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( ) A.1,) B.(,0)(0,1 C.(0,1 D.(,0)1,) 解析 由题意知 f(x)1 1 ax2,由于 f(x)在(,1)上单调递增,则 f(x)0 在(,1)上恒成立,即 1 a x2在(,1)上恒成立.当 x1,则有1 a1,解得 a1 或 a0.故选 D. 答案 D 6.函数 f(x)e |x| 3x的部分图象大致为( ) 解析 f(x)e |x| 3x,定义域为(,0)(0,),f(x) e|x| 3x,则 f(x)f(x),f(x)为奇函数,图象关于 原点对称,

4、故排除 B; f(1)e 30 时, 可得 f(x) (x1)ex 3x2 , 当 x1 时, f(x)0, f(x)为增函数,故排除 D.故选 C. 答案 C 7.设 ae,b ln ,c 3 ln 3,则 a,b,c 大小关系是( ) A.acb B.bca C.cba D.cae 时,f(x)0,则 f(x)在(e,)上单调递增.又 e3, f(e)f(3)f(),即 e ln e 3 ln 3 ln ,故 ac0), 则 f(x)1 2x 1 2 1 x x2 2x , 当 x(0, 4)时, f(x)0,f(x)单调递增,且 f(4)2ln 420,f(e 2)e1ln e2 21

5、e0,结合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上存在一个零点,在区间(4,)上也存在一个零 点,故方程 xln x20 的根的个数为 2.故选 C. 答案 C 二、 多项选择题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求, 全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的不得分) 9.已知函数 f(x)及其导函数 f(x),若存在 x0,使得 f(x0)f(x0),则称 x0是 f(x)的一个“巧值点”,则下列函 数中有“巧值点”的是( ) A.f(x)x2 B.f(x)e x C.f(x)ln x D.f(x)1 x 解析 A.f

6、(x)2x,由 x22x 得 x0 或 x2,有“巧值点”; B.f(x)e x,exex无解,无“巧值点”; C.f(x)1 x,方程 ln x 1 x有解,有“巧值点”; D.f(x) 1 x2,由 1 x 1 x2,得 x1,有“巧值点”. 答案 ACD 10.将 yf(x)和 yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不正确的是( ) 解析 对于 A 选项,由函数 yf(x)的图象可知,f(0)0,但函数 yf(x)在 x0 处的切线斜率不存在,不 合乎题意; 对于 B 选项,由函数 yf(x)的图象可知,函数 yf(x)存在增区间,但 B 选项的图中,函数 yf(x)没有增区 间,不合

7、乎题意; 对于 C 选项,由函数 yf(x)的图象可知,函数 yf(x)在 R 上为增函数,合乎题意; 对于 D 选项,由函数 yf(x)的图象可知,函数 yf(x)有两个单调区间,但 D 选项的图中,函数 yf(x)有三 个单调区间,不合乎题意.故选:ABD. 答案 ABD 11.定义在区间 1 2,4 上的函数 f(x)的导函数 f(x)图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A.函数 f(x)在区间(0,4)单调递增 B.函数 f(x)在区间 1 2,0 单调递减 C.函数 f(x)在 x1 处取得极大值 D.函数 f(x)在 x0 处取得极小值 解析 根据导函数图象可知,f(x)在区间

8、 1 2,0 上,f(x)0,f(x) 单调递增.所以 f(x)在 x0 处取得极小值,没有极大值.所以 A,B,D 选项正确,C 选项错误.故选 ABD. 答案 ABD 12.定义在(0,)上的函数 f(x)的导函数为 f(x),且(x1)f(x)f(x)5 B.若 f(1)2,x1,则 f(x)x21 2x 1 2 C.f(3)2f(1)7 D.若 f(1)2,0xx21 2x 1 2 解析 设函数 g(x)f(x)x 2 x1 , 则 g(x)f(x)2x(x1)(f(x)x 2) (x1)2 (x1)f(x)f(x)(x 22x) (x1)2 因为(x1)f(x)f(x)x22x,所以

9、 g(x)g(2)g(3),整理得 2f(2)3f(1)5, f(3)2f(1)7,故 A 错误,C 正确. 当 0xg(1)1 2,即 f(x)x2 x1 1 2,即 f(x)x 2 1 2x 1 2.故 D 正确,从而 B 不正确. 即结论正确的是 CD,故选 CD. 答案 CD 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 13.已知函数 f(x)f 4 cos xsin x,则 f 4 的值为_. 解析 因为 f(x)f 4 sin xcos x, 所以 f 4 f 4 sin 4cos 4. 整理,得 f 4 21. 故由 f 4 f 4 c

10、os 4sin 4,解得 f 4 1. 答案 1 14.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运 费 y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 km 处建仓库,y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元,那么当仓库建在离车站_ km 处时,两项费用之和最小,最小费用为_万元.(本题第一 空 3 分,第二空 2 分) 解析 依题意,可设每月土地占用费 y1k1 x ,每月库存货物的运费 y2k2x,其中 x 是仓库到车站的距离, k1,k2是比例系数, 于是由 2k1 10,得 k120;由 810k2,得 k2 4

11、5. 因此,两项费用之和为 y20 x 4x 5 (x0), y20 x2 4 5. 令 y0,得 x5 或 x5(舍去). 当 0 x5 时,y0;当 x5 时,y0, 因此,当 x5 时,y 取得极小值,也是最小值,其值为 8. 答案 5 8 15.当 x1,2时,x3x2xm 恒成立,则实数 m 的取值范围是_. 解析 记 f(x)x3x2x, 所以 f(x)3x22x1. 令 f(x)0,得 x1 3或 x1. 又因为 f 1 3 5 27,f(2)2,f(1)1,f(1)1, 所以当 x1,2时,f(x)max2,所以 m2. 答案 (2,) 16.法国数学家拉格朗日于 1797 年

12、在其著作解析函数论中给出一个定理:如果函数 yf(x)满足条件: (1)在闭区间a,b上是连续不断的; (2)在区间(a,b)上都有导数. 则在区间(a,b)上至少存在一个实数 t,使得 f(b)f(a)f(t)(ba),其中 t 称为“拉格朗日中值”.函数 g(x) x2在区间0,1上的“拉格朗日中值”t_. 解析 因为 g(x)x2,所以 g(x)2x,结合“拉格朗日中值”定义可得 g(t)g(1)g(0) 10 1,所以 2t 1,即 t1 2. 答案 1 2 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设函数 f

13、(x)x3bx2cx(xR),已知 g(x)f(x)f(x)是奇函数. (1)求 b,c 的值; (2)求 g(x)的单调区间. 解 (1)因为 f(x)x3bx2cx, 所以 f(x)3x22bxc. 从而 g(x)f(x)f(x) x3bx2cx(3x22bxc) x3(b3)x2(c2b)xc. 因为 g(x)是一个奇函数,且 xR, 所以 g(0)0,得 c0. 由奇函数的定义,得 b3. (2)由(1),知 g(x)x36x, 从而 g(x)3x26. 令 g(x)0,得 x 2或 x 2; 令 g(x)0,得 2x 2. 所以(, 2)和( 2,)是函数 g(x)的单调递增区间,(

14、 2, 2)是函数 g(x)的单调递减区间. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ax 2x1 ex . (1)求曲线 yf(x)在点(0,1)处的切线方程; (2)证明:当 a1 时,f(x)e0. (1)解 f(x)ax 2(2a1)x2 ex ,f(0)2. 因此曲线 yf(x)在(0,1)处的切线方程是 2xy10. (2)证明 当 a1 时,f(x)e(x2x1ex 1)ex. 令 g(x)x2x1ex 1,则 g(x)2x1ex1. 当 x1 时,g(x)1 时, g(x)0,g(x)单调递增;所以 g(x)g(1)0. 因此 f(x)e0. 19.(本小题满分 12

15、分)设函数 f(x)a(x5)26ln x,其中 aR,f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线与 y 轴相交 于点(0,6). (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 (1)f(x)a(x5)26ln x(x0), f(x)2a(x5)6 x(x0). 令 x1,得 f(1)16a,f(1)68a, f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为 y16a(68a)(x1). 切线与 y 轴相交于点(0,6), 616a8a6,a1 2. (2)由(1)知,f(x)1 2(x5) 26ln x(x0), f(x)(x5)6 x (x2)(x3) x (x0). 令

16、 f(x)0,得 x2 或 x3. 当 0x3 时,f(x)0,f(x)在区间(0,2),(3,)上为增函数; 当 2x3 时,f(x)0; 当 x(1,0)时,f(x)0,g(x)为增函数, 而 g(0)0,从而当 x0 时,g(x)0,即 f(x)0. 若 a1,则当 x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,而 g(0)0, 从而当 x(0,ln a)时,g(x)0,即 f(x)0,不符合题意. 综上,实数 a 的取值范围为(,1. 21.(本小题满分 12 分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/ 辆.本年度为适应市场需求,计

17、划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为 x(0x0,f(x)是增函数; 当 x 5 9,1 时,f(x) 1 ex 1 2 e2x成立. (1)解 当 a1 时,f(x)xln xx,f(x)ln x2(x0). 由 f(x)0,得 x 1 e2. 当 x 0,1 e2 时,f(x) 1 e2时,f(x)0. 所以 f(x)在 0, 1 e2 上是减函数,在 1 e2, 上是增函数. 因此 f(x)在 x 1 e2处取得最小值, 即 f(x)minf 1 e2 1 e2. 显然,当 x时,f(x),f(x)没有最大值. (2)证明 当 x0 时,ln x1 1 ex 1 2 e2x等价于 x(ln x1) x ex 1 2 e2. 由(1)知 a1 时,f(x)xln xx 的最小值是1 e2,当且仅当 x 1 e2时取等号. 设 g(x) x ex 1 2 e2,x(0,), 则 g(x)1x ex 1,易知 g(x)maxg(1) 1 e2, 当且仅当 x1 时取到,从而可知对一切 x(0,),都有 f(x)g(x),即 ln x1 1 ex 1 2 e2x.