1、 5.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性函数的单调性 1(多选)如图是函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象，则下列判断正确的是( ) A在区间(2,1)上，f(x)单调递增 B在(1,2)上，f(x)单调递增 C在(4,5)上，f(x)单调递增 D在(3，2)上，f(x)单调递增 答案 BC 解析 由题图知当 x(1,2)，x(4,5)时，f(x)0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是单调递增， 当 x(3，2)时，f(x)0，所以在(3，2)上，f(x)是单调递减 2函数 f(x)x33x21 的单调递减区间为( ) A(2，) B(，2)
2、 C(，0) D(0,2) 答案 D 解析 f(x)3x26x3x(x2)，令 f(x)0，得 0x0， f(x)1 x4 14x x ， 当f(x)0时， 解得0x0， e x0，得 x1. 5函数 f(x)xcos x 的导函数 f(x)在区间，上的图象大致是( ) 答案 A 解析 因为 f(x)xcos x，所以 f(x)cos xxsin x. 因为 f(x)f(x)， 所以 f(x)为偶函数， 所以函数图象关于 y 轴对称 由 f(0)1 可排除 C，D. 而 f(1)cos 1sin 10，排除 B. 6函数 f(x)(x2x1)ex的单调递减区间为_ 答案 (2，1) 解析 f(
3、x)(2x1)ex(x2x1)exex(x23x2)ex(x1)(x2)， 令 f(x)0，解得2x1， 所以函数 f(x)的单调递减区间为(2，1) 7函数 f(x)的图象如图所示，f(x)为函数 f(x)的导函数，则不等式fx x 0 的解集为 _ 答案 (3，1)(0,1) 解析 由题图知，当 x(，3)(1,1)时， f(x)0， 故不等式fx x 0 时，x1. 9试求函数 f(x)kxln x 的单调区间 解 函数 f(x)kxln x 的定义域为(0，)， f(x)k1 x kx1 x . 当 k0 时，kx10，f(x)0 时，由 f(x)0，即kx1 x 0， 解得 0x0，
4、即kx1 x 0，解得 x1 k. 当 k0 时，f(x)的单调递减区间为 0，1 k ， 单调递增区间为 1 k， . 综上所述，当 k0 时，f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间； 当 k0 时，f(x)的单调递减区间为 0，1 k ，单调递增区间为 1 k， . 10已知函数 f(x)x3ax2a2x2. (1)若 a1，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间 解 (1)a1，f(x)x3x2x2， f(x)3x22x1，f(1)4.又 f(1)3， 切点坐标为(1,3)，所求切线方程为 y34(x1)， 即 4xy10
5、. (2)f(x)3x22axa2(xa)(3xa)， 由 f(x)0 得 xa 或 xa 3. 又 a0，由 f(x)0，得ax0，得 xa 3， 故 f(x)的单调递减区间为 a，a 3 ，单调递增区间为(，a)和 a 3， . 11已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为单调递减，函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为单调递 增，则 a 等于( ) A1 B2 C0 D. 2 答案 B 解析 因为函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上单调递减， 所以a 21，解得 a2.g(x)2x a x， 依题意得，g(x)0 在(1,2)上恒成立， 即 2x2a 在(1,2)上恒成
6、立，故 a2.所以 a2. 12 设 f(x)， g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数， 且 f(x)g(x)f(x)g(x)0， 则当 axf(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x) Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a) 答案 C 解析 因为 fx gx fxgxfxgx g2x . 又因为 f(x)g(x)f(x)g(x)0， 所以fx gx在 R 上为减函数 又因为 ax fx gx fb gb， 又因为 f(x)0，g(x)0， 所以 f(x)g(b)f(b)g(x) 13已知函数 f(x)x312x，若 f(x)在区间(2m，m
7、1)上单调递减，则实数 m 的取值范围是 _ 答案 1,1) 解析 令 f(x)0，即 3x2120，解得2x2. f(x)的单调递减区间为2,2， 由题意得(2m，m1)2,2， 2m2， m12， 2mm1， 解得1m0，若 f(1)0，则关于 x 的 不等式 xf(x)0， 所以 f(x)在(0，)上单调递增， 又 f(x)为偶函数， 所以 f(1)f(1)0， 且 f(x)在(，0)上单调递减， f(x)的草图如图所示， 所以 xf(x)f(x)，则下列不等式一定成立 的是( ) A3f(4)5f(3) C3f(3)4f(2) 答案 BD 解析 由(x1)f(x)f(x)， 得(x1)
8、f(x)f(x)0， 令 g(x) fx x1，则 g(x) x1fxfx x12 0， g(x)在(0，)上单调递增，g(2)g(3)g(4)， 则f2 3 f3 4 f4 5 ， 即 4f(2)3f(3)，5f(3)1)， f(x)1 2x 1 x1 x2x1 2x1 (x1) 当 f(x)0 时，解得1x1； 当 f(x)1. 故函数 f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1，) (2)因为函数 f(x)在区间1，)上单调递减， 所以 f(x)2ax 1 x10 对任意 x1，)恒成立， 即 a 1 2xx1对任意 x1，)恒成立 令 g(x) 1 2xx1，x1，)， 易求得在区间1，)上 g(x)0， 故 g(x)在区间1，)上单调递增， 故 g(x)ming(1)1 4，故 a 1 4. 即实数 a 的取值范围为 ，1 4 .