1、4.3.2 等比数列的前等比数列的前 n 项和公式项和公式 第第 1 课时课时 等比数列前等比数列前 n 项和公式项和公式 1在等比数列an中，a12，a21，则 S100等于( ) A42100 B42100 C42 98 D42100 答案 C 解析 qa2 a1 1 2. S100a11q 100 1q 2 1 1 2 100 11 2 4(12 100)4298. 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S38，S67，则 a7a8a9等于( ) A.1 8 B 1 8 C. 57 8 D.55 8 答案 A 解析 易知 q1，因为 a7a8a9S9S6， 且 S3，S6S3，S
2、9S6也成等比数列， 即 8，1，S9S6成等比数列， 所以 8(S9S6)1， 即 S9S61 8，所以 a7a8a9 1 8. 3若等比数列an的前 n 项和 Sn2n 1a，则 a 3a5等于( ) A4 B8 C16 D32 答案 C 解析 等比数列an的前 n 项和 Sn2n 1a， n2 时，anSnSn12n 1a(2n2a)， 化简得 an2n 2. 则 a3a522316. 4设 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 27a4a70，则S4 S2等于( ) A10 B9 C8 D5 答案 A 解析 设数列an的公比为 q， 由 27a4a70， 得 a4(27q3)0， 因为
3、 a40， 所以 27q30，则 q3， 故S4 S2 1q4 1q210. 5已知an是首项为 1 的等比数列，Sn是其前 n 项和，且 9S3S6，则数列 1 an 的前 5 项和等 于( ) A.15 8 或 5 B.31 16或 5 C.31 16 D.15 8 答案 C 解析 设数列an的公比为 q，显然 q1， 由已知得91q 3 1q 1q 6 1q ， 解得 q2， 数列 1 an 是以 1 为首项，1 2为公比的等比数列， 前 5 项和为 1 1 1 2 5 11 2 31 16. 6若等比数列an的前 n 项和 Sn2 3nr，则 r_. 答案 2 解析 Sn2 3nr，由
4、等比数列前 n 项和的性质得 r2. 7已知 Sn为等比数列an的前 n 项和，Sn93，an48，公比 q2，则项数 n_， a1_. 答案 5 3 解析 由 Sn93，an48，公比 q2， 得 a12n193， a1 2n 148， 解得 a13， n5. 8设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则 q 的值为 _ 答案 2 解析 由题意知 2SnSn1Sn2， 若 q1，则 Snna1，式子显然不成立， 若 q1，则有 2a11q n 1q a11qn 1 1q a11q n2 1q ， 故 2qnqn 1qn2， 即 q2q20，q2.
5、 9等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列 (1)求数列an的公比 q； (2)若 a1a33，求 Sn. 解 (1)依题意有 a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)， 由于 a10，故 2q2q0. 又 q0，从而 q1 2. (2)由已知可得 a1a1 1 2 23， 故 a14. 从而 Sn 4 1 1 2 n 1 1 2 8 3 1 1 2 n . 10.已知数列an和bn满足 a12，b11，an12an(nN*)，b11 2b2 1 3b3 1 nbnbn1 1(nN*) (1)求 an与 bn； (2)记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 T
6、n. 解 (1)由 a12，an12an， 得 an2n(nN*) 由题意知： 当 n1 时，b1b21，故 b22. 当 n2 时，1 nbnbn1bn. 整理得 bn1 n1 bn n ，又b2 2 b1 1 ， 所以 bnn(nN*) (2)由(1)知 anbnn 2n， 因此 Tn22 223 23n 2n， 2Tn222 233 24n 2n 1， 所以 Tn2Tn222232nn 2n 1. 故 Tn(n1)2n 12(nN*) 11在等比数列an中，a14，q5，则使 Sn107的最小正整数 n 的值是( ) A11 B10 C12 D9 答案 A 解析 由题意可知在等比数列an
7、中，a14，q5， Sn4 15 n 15 5n1. Sn107， 5n1107， n10.01， n 为正整数，n11， 故 n 的最小值为 11. 12等比数列an的首项为 2，项数为奇数，其奇数项之和为85 32，偶数项之和为 21 16，这个等 比数列前 n 项的积为 Tn(n2)，则 Tn的最大值为( ) A.1 4 B. 1 2 C1 D2 答案 D 解析 设数列an共有(2m1)项，由题意得 S奇a1a3a2m185 32， S偶a2a4a2m21 16， 因为项数为奇数时，S 奇a1 S偶 q， 即 221 16q 85 32， 所以 q1 2. 所以 Tna1 a2 an a
8、n1q1 2n1 2 3 22 2, n n- 故当 n1 或 2 时，Tn取最大值，为 2. 13设数列an的前 n 项和为 Sn，称 TnS1S2Sn n 为数列 a1，a2，a3，an的“理想 数”，已知数列 a1，a2，a3，a4，a5的理想数为 2 014，则数列 2，a1，a2，a5的“理想数” 为( ) A1 673 B1 675 C.5 035 3 D.5 041 3 答案 D 解析 因为数列 a1，a2，a5的“理想数”为 2 014， 所以S1S2S3S4S5 5 2 014， 即 S1S2S3S4S552 014， 所以数列 2，a1，a2，a5的“理想数”为22S12S
9、22S5 6 6252 014 6 5 041 3 . 14已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11,2Snan11，则 Sn_. 答案 3n1 2 解析 当 n1 时，则有 2S1a21， a22S112a113； 当 n2 时，由 2Snan11 得出 2Sn1an1， 上述两式相减得 2anan1an， an13an， 得an 1 an 3 且a2 a13， 数列an是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列， Sn13 n 13 3 n1 2 . 15设数列an的前 n 项和为 Sn，点 n，Sn n (nN*)均在直线 yx1 2上若 bn 1 2 3, n a 则数 列bn的前
10、n 项和 Tn_. 答案 9n 19 8 解析 依题意得Sn nn 1 2， 即 Snn21 2n. 当 n2 时，anSnSn1 n21 2n n121 2n1 2n 1 2； 当 n1 时，a1S13 2，符合 an2n 1 2， 所以 an2n1 2(nN *)， 则 1 2 2 3,3 n n n a b 由bn 1 bn 3 2n1 32n 329， 可知bn为公比为 9 的等比数列，b132 19， 故 Tn919 n 19 9 n19 8 . 16已知等差数列an满足 a20，a6a810. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列 an 2n 1的前 n 项和 解 (1)设等差数列an的公差为 d， 由已知条件可得 a1d0， 2a112d10， 解得 a11， d1. 故数列an的通项公式为 an2n，nN*. (2)设数列 an 2n 1的前 n 项和为 Sn， 即 Sna1a2 2 an 2n 1， Sn 2 a1 2 a2 4 an 1 2n 1an 2n. 所以，得 Sn 2 a1a2a1 2 anan 1 2n 1an 2n 1 1 2 1 4 1 2n 12n 2n 1 1 1 2n 12n 2n n 2n. 所以 Sn n 2n 1， 所以数列 an 2n 1的前 n 项和 Sn n 2n 1，nN*.