1、5.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 1(多选)下列运算中正确的是( ) A(ax2bxc)a(x2)b(x) B(sin x2x2)(sin x)2(x2) C. sin x x2 sin xx 2 x2 D(cos x sin x)(cos x)sin xcos x(sin x) 答案 AD 解析 A 项中，(ax2bxc)a(x2)b(x)，故正确； B 项中，(sin x2x2)(sin x)2(x2)，故错误； C 项中， sin x x2 sin xx 2sin xx2 x22 ，故错误； D 项中，(cos x sin x)(cos x)sin xcos x(sin
2、x)，故正确 2函数 f(x)excos x 的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为( ) A0 B. 4 C1 D. 2 答案 B 解析 对函数求导得 f(x)ex(cos xsin x)， f(0)1， 函数 f(x)excos x 的图象在点(0， f(0)处的切线的倾斜角为 4. 3设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0等于( ) Ae2 Be C.ln 2 2 Dln 2 答案 B 解析 f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，由 f(x0)2，得 ln x012，即 ln x01，解 得 x0e. 4若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(
3、1)等于( ) A1 B2 C2 D0 答案 B 解析 f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数， f(1)f(1)2. 5(多选)当函数 yx 2a2 x (a0)在 xx0处的导数为 0 时，那么 x0可以是( ) Aa B0 Ca Da2 答案 AC 解析 y x2a2 x 2x xx 2a2 x2 x 2a2 x2 ， 由 x20a20 得 x0 a. 6已知 f(x) sin x 1cos x，则 f 3 _. 答案 2 3 解析 因为 f(x) sin x1cos xsin x1cos x 1cos x2 cos x1cos xsin xsin x 1cos x2 cos xcos
4、 2xsin2x 1cos x2 cos x1 1cos x2 1 1cos x. 所以 f 3 1 1cos 3 2 3. 7已知 f(x)e x x，则 f(1) _，若 f(x0)f(x0)0，则 x0_. 答案 0 1 2 解析 因为 f(x)e xxexx x2 e xx1 x2 (x0) 所以 f (1)0. 由 f(x0)f(x0)0，得 0 0 0 2 0 e1e 0. x x x xx 解得 x01 2. 8已知函数 f(x)ex sin x，则曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_ 答案 yx 解析 f(x)ex sin x，f(x)ex(sin xcos x)
5、，f(0)1，f(0)0，曲线 yf(x)在点(0,0) 处的切线方程为 y01(x0)，即 yx. 9若曲线 yx2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围 解 yx2axln x，y2xa1 x， 由题意可知，存在实数 x0 使得 2xa1 x0， 即 a2x1 x成立， a2x1 x2 2(当且仅当 2x 1 x，即 x 2 2 时等号成立) a 的取值范围是2 2，) 10已知函数 f(x)ax2bx3(a0)，其导函数 f(x)2x8. (1)求 a，b 的值； (2)设函数 g(x)exsin xf(x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程 解 (1)因为
6、 f(x)ax2bx3(a0)， 所以 f(x)2axb， 又 f(x)2x8，所以 a1，b8. (2)由(1)可知 g(x)exsin xx28x3， 所以 g(x)exsin xexcos x2x8， 所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087， 又 g(0)3， 所以曲线 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0)， 即 7xy30. 11已知曲线 f(x)x 2a x1 在点(1，f(1)处切线的倾斜角为3 4 ，则实数 a 等于( ) A1 B1 C7 D7 答案 C 解析 f(x)2xx1x 2a x12 x 22xa x12 ， 又 f(1)tan 3 4 1，a
7、7. 12已知曲线 f(x)(xa) ln x 在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy0 垂直，则 a 等于( ) A.1 2 B1 C 3 2 D1 答案 C 解析 因为 f(x)(xa) ln x，x0， 所以 f(x)ln x(xa) 1 x， 所以 f(1)1a. 又因为 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy0 垂直， 所以 f(1)1 2，所以 a 3 2，故选 C. 13已知函数 f(x)f(1)x 2 22x3，则 f(1)的值为_ 答案 9 2 解析 f(x)f(1) x2， f(1)f(1)2， 解得 f(1)1. f(x)x 2 22x3， f(1)9 2.
8、14已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程 为_ 答案 xy10 解析 点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点坐标为(x0，y0) 又f(x)1ln x(x0)， y0 x0ln x0， y011ln x0 x0， 解得 x01，y00. 切点坐标为(1,0)，f(1)1ln 11. 直线 l 的方程为 yx1，即 xy10. 15 等比数列an中， a12， a84， 函数 f(x)x(xa1)(xa2) (xa8)， 则 f(0)_. 答案 212 解析 因为 f(x)(x) (xa1)(xa2) (xa8)
9、(xa1) (xa2) (xa8) x(x a1)(xa2) (xa8)(xa1) (xa2) (xa8) x， 所以 f(0)(0a1)(0a2) (0a8)0a1a2 a8. 因为数列an为等比数列， 所以 a1a8a2a7a3a6a4a58， 所以 f(0)84212. 16偶函数 f(x)ax4bx3cx2dxe 的图象过点 P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为 yx 2，求 f(x)的解析式 解 f(x)的图象过点 P(0,1)，e1. 又f(x)为偶函数，f(x)f(x) 故 ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe. b0，d0.f(x)ax4cx21. 函数 f(x)在 x1 处的切线方程为 yx2， 切点坐标为(1，1) ac11. f(1)4a2c，4a2c1. a5 2，c 9 2. 函数 f(x)的解析式为 f(x)5 2x 49 2x 21.